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Vidéo question :: Utiliser les identités pythagoriciennes et périodiques pour évaluer la fonction cosinus étant donné la fonction sinus et le quadrant d’un angle Mathématiques • Première secondaire

Calculez cos (180° - 𝜃) sachant que sin 𝜃 = −3/5 et 270° < 𝜃 < 360°.

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Transcription de la vidéo

Calculez de cosinus de 180 degrés moins 𝜃 sachant que le sinus de 𝜃 est égal à moins trois cinquièmes, et 𝜃 est compris entre 270 degrés et 360 degrés.

En clair, nous recherchons un cosinus, et on nous a donné un sinus. Nous pouvons donc utiliser certaines identités trigonométriques pour nous aider. Le cosinus carré de 𝜃 plus le sinus carré de 𝜃 est égal à un et nous savons que le sinus 𝜃 est moins trois cinquièmes. Nous pouvons donc trouver le cosinus. Alors allons-y et élevons au carré les trois cinquièmes. Moins trois au carré donne plus neuf et cinq au carré donne 25.

Alors maintenant, nous devons soustraire neuf 25ièmes des deux côtés de l’équation. Maintenant, quand nous avons un moins neuf 25ièmes, nous pouvons écrire un comme 25 25ièmes. Alors maintenant, nous soustrayons les numérateurs 25 moins neuf et nous gardons le dénominateur. Le cosinus carré de 𝜃 est donc égal à 16 25ièmes. Et maintenant, nous prenons la racine carrée des deux côtés. La racine carrée de 16 est quatre et la racine carrée de 25 est cinq. Donc le cosinus de 𝜃 est quatre cinquièmes.

Maintenant, on nous demande le cosinus de 180 degrés moins 𝜃. Nous pouvons réécrire ceci. Nous pouvons séparer les 180 degrés en 90 degrés plus 90 degrés. Maintenant, en utilisant une autre identité trigonométrique, nous avons cela égal à moins sinus de 90 degrés moins 𝜃. Et la façon dont nous avons obtenu cela était de poser que 90 degrés moins 𝜃 représente un 𝜃 en général. Nous avons donc cosinus de 90 degrés plus 𝜃 égale moins sinus 𝜃.

Maintenant, moins sinus de 90 degrés moins 𝜃 est égal à moins cosinus 𝜃. Et cela parce que d’après d’autres identités trigonométriques, le sinus de 90 degrés moins 𝜃 est égal au cosinus de 𝜃. La seule différence étant que nous avions un signe moins à gauche, ce qui signifie que nous devons avoir également un signe moins à droite. Donc si ces expressions sont égales et que nous avons déterminé que le cosinus de 𝜃 était quatre cinquièmes, alors nous pouvons remplacer le cosinus de 𝜃 par cela. Donc moins cosinus de 𝜃 est égal à moins quatre cinquièmes.

Nous obtenons donc que notre réponse est moins quatre cinquièmes. Maintenant, on nous donne également une autre information. On nous dit que 𝜃 est compris entre 270 degrés et 360 degrés. Cela signifie donc que nous sommes dans le quatrième quadrant, entre 270 et 360 degrés. Et nous savons aussi que le cosinus de 𝜃 représente notre abscisse et le sinus de 𝜃 représente notre ordonnée. Donc si nous savons que le cosinus de 𝜃 est plus quatre cinquièmes, nous allons chercher alors une abscisse dans le quatrième quadrant, soit positive.

Cependant, ce qu’on nous demande de trouver est le cosinus de 180 degrés moins 𝜃, que nous avons déterminé comme étant égal à moins cosinus de 𝜃. Et nous savons que puisque c’est dans le quatrième quadrant, le cosinus de 𝜃 est positif. Mais maintenant, nous devons ajouter ce signe moins. Cela signifie donc que notre réponse finale est moins quatre cinquièmes.

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