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Vidéo question :: Identifier la relation de de Broglie Physique • Troisième secondaire

Laquelle des formules suivantes décrit correctement la relation entre la longueur d’onde de de Broglie d’une particule, 𝜆, sa quantité de mouvement 𝑝 et la constante de Planck ℎ ? [A] 𝜆 = 𝑝 / ℎ [B] 𝜆 = ℎ 𝑝² [C] 𝜆 = ℎ/𝑝² [D] 𝜆 = ℎ/𝑝 [E] 𝜆 = ℎ²𝑝²

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Laquelle des formules suivantes montre la relation entre la longueur d’onde de Broglie 𝜆 d’une particule, sa quantité de mouvement 𝑝 et la constante de Planck ℎ ? (A) 𝜆 égale 𝑝 divisé par ℎ. (B) 𝜆 égale ℎ𝑝 au carré. (C) 𝜆 égale ℎ divisé par 𝑝 au carré. (D) 𝜆 égale ℎ divisé par 𝑝. Ou (E) 𝜆 égale ℎ au carré 𝑝 au carré.

La question nous demande d’identifier la formule de la longueur d’onde de Broglie d’une particule. Et on nous dit ce que signifient nos variables. La longueur d’onde de la particule est 𝜆, la quantité de mouvement est 𝑝 et la constante de Planck est ℎ. La façon la plus simple de répondre correctement à cette question est de connaître la formule de Broglie par cœur. Et si nous la connaissons, nous pourrons immédiatement identifier (D) comme étant la bonne réponse.

Mais si nous ne connaissons pas cette formule par cœur, nous pourrons toujours savoir que (D) est la bonne réponse en prêtant attention aux dimensions de nos grandeurs. 𝜆 est une longueur d’onde qui a évidemment une dimension de longueur. Nous allons utiliser la lettre 𝐿 majuscule pour représenter la longueur. Et ce que signifie que la dimension de 𝜆 est une longueur, c’est que si nous donnions une valeur pour 𝜆, nous utiliserions des unités comme les mètres, les centimètres ou les kilomètres. Mais nous ne pouvons jamais utiliser des unités comme les secondes ou les coulombs ou les ampères.

De même, la quantité de mouvement est la masse fois la vitesse, et la vitesse est la distance par le temps. Ainsi, les dimensions de la quantité de mouvement sont la masse fois la longueur divisée par le temps. La lettre 𝑀 majuscule désigne la masse, et la lettre 𝑇 majuscule désigne le temps. Et par convention, nous écrivons 𝑇 à la puissance moins un plutôt que un divisé par 𝑇.

Enfin, la constante de Planck. Rappelons qu’une valeur courante de la constante de Planck est 6,626 fois 10 à la puissance moins 34 joules secondes. Les joules sont une unité d’énergie et les secondes une unité de temps. Ainsi, les dimensions de la constante de Planck sont l’énergie fois le temps. Pour exprimer l’énergie en fonction des dimensions que nous avons déjà utilisées, la longueur, la masse et le temps, nous pouvons rappeler la formule de l’énergie cinétique, un demi fois la masse fois la vitesse au carré.

Comme nous pouvons le voir dans cette formule, les dimensions de l’énergie sont les mêmes que la masse fois la vitesse au carré. Et nous savons que les dimensions de la vitesse sont la longueur par le temps. Ainsi, les dimensions de l’énergie sont la masse fois la longueur au carré par le temps au carré. Ces dimensions ne sont pas seulement pour l’énergie cinétique, mais pour toute énergie. Ainsi, la constante de Planck avec des unités d’énergie fois le temps a des dimensions de masse fois la longueur au carré fois le temps à la puissance moins un.

Maintenant que nous connaissons les dimensions de chacune des trois grandeurs avec lesquelles nous travaillons, nous sommes prêts à trouver la réponse à la question. Tout d’abord, nous remarquons que la masse et le temps n’apparaissent pas dans la formule dimensionnelle de la longueur d’onde. Mais ils apparaissent dans les formules dimensionnelles pour la quantité de mouvement et la constante de Planck. Ainsi, la formule finale que nous recherchons doit combiner ℎ et 𝑝 de telle sorte que la masse dans la quantité de mouvement annule la masse dans la constante de Planck, et que le temps dans la quantité de mouvement annule le temps dans la constante de Planck, laissant les dimensions de la longueur.

En regardant nos formules données dans la question, nous pouvons immédiatement éliminer le choix (B), ℎ fois 𝑝 au carré, et le choix (E), ℎ au carré fois 𝑝 au carré. C’est parce que nous devons éliminer la masse et le temps de notre formule dimensionnelle finale. Mais chaque fois que nous multiplions 𝑝 par ℎ, nous nous retrouvons avec plus de diviseurs de masse et de temps, car la masse fois la masse est la masse au carré, et le temps à la puissance moins un fois le temps à la puissance moins un donne le temps à la puissance moins deux. Notre formule finale doit donc inclure une division, non pas une multiplication.

Nous pouvons utiliser un argument similaire pour éliminer le choix (C), ℎ divisé par 𝑝 au carré. Les dimensions de 𝑝 au carré sont 𝑀 au carré fois 𝐿 au carré fois 𝑇 à la puissance moins deux, en doublant tous les exposants de la formule dimensionnelle de 𝑝. Mais comme nous pouvons le voir, 𝑝 au carré a en fait un diviseur de masse et de temps plus que ℎ. Donc, la division de ℎ par 𝑝 au carré nous laisse toujours avec des dimensions qui incluent la masse et le temps. Cela nous laisse avec 𝑝 divisé par ℎ et ℎ divisé par 𝑝. Comme ces deux sont l’une inverses de l’autre, une fois que nous aurons trouvé les dimensions de l’une, nous connaîtrons les dimensions de l’autre en changeant simplement le signe de tous les exposants.

Alors trouvons les dimensions de 𝑝 sur ℎ. Les dimensions de 𝑝 sur ℎ sont données par 𝑀 fois 𝐿 fois 𝑇 à la puissance moins un fois 𝑀 à la puissance moins un fois 𝐿 à la puissance moins deux fois 𝑇. Les trois premières dimensions sont de 𝑝, et les trois autres sont de ℎ, avec le signe inversé sur chaque exposant. Comme diviser par un certain nombre revient à multiplier par ce nombre élevé à la puissance moins un.

Lorsque nous simplifions cette formule, nous notons que 𝑀 fois 𝑀 à la puissance moins un est sans dimension, tout comme 𝑇 à la puissance moins un fois 𝑇. 𝐿 fois 𝐿 à la puissance moins deux est égal à 𝐿 à la puissance moins deux plus un, ce qui est juste 𝐿 à la puissance moins un. Ainsi, les dimensions de 𝑝 sur ℎ sont 𝐿 à la puissance moins un.

Mais ce n’est pas ce dont nous avons besoin car nous cherchons les dimensions de 𝐿. Cependant, c’est très proche. C’est l’inverse de ce dont nous avons besoin. Cela signifie que ℎ sur 𝑝, l’inverse de 𝑝 sur ℎ, aura des dimensions de 𝐿, ce qui est exactement ce que nous recherchons. Par conséquent, nous savons que (D) est la bonne réponse.

Bien que, comme nous l’avons montré, nous puissions dériver la réponse correcte à l’aide de l’analyse dimensionnelle, la relation entre la longueur d’onde de Broglie est si importante et si simple qu’il vaut la peine de la mémoriser et de connaître la réponse sans avoir à faire tant de travail.

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