Vidéo question :: 1 Physique

Transcription de la vidéo

Calculez 𝐣 fois 𝐢.

Nous pouvons voir qu’il s’agit d’une question sur les produits vectoriels. Et on nous demande de calculer le produit vectoriel entre les vecteurs unitaires 𝐣 et 𝐢. Rappelons que 𝐣 est le vecteur unitaire dans le sens de l’axe des 𝑦 et 𝐢 est le vecteur unitaire dans le sens de l’axe des 𝑥. On nous demande de calculer un produit vectoriel, donc commençons par rappeler l’expression générale du produit vectoriel entre deux vecteurs. Nous allons appeler ces vecteurs quelconques 𝚨 et 𝚩, et nous pouvons supposer que les deux font partie du plan 𝑥𝑦.

Nous pouvons écrire ces vecteurs sous forme de composantes de la manière suivante : 𝚨 est égal à A indice 𝑥 multiplié par 𝐢 plus 𝐴 indice 𝑦 multiplié par 𝐣, et de même pour le vecteur 𝚩. Ensuite, le produit vectoriel de 𝚨 fois 𝚩 est défini comme la composante 𝑥 de 𝐴 multipliée par la composante 𝑦 de 𝐵 moins la composante 𝑦 de 𝐴 multipliée par la composante 𝑥 de 𝐵, le tout multiplié par le vecteur unitaire 𝐤, qui pointe dans le sens des axes des 𝑧. Ainsi, le produit vectoriel 𝚨 fois 𝚩 donne un vecteur avec cette norme et dont le sens est perpendiculaire au sens de 𝚨 et de 𝚩.

Voilà donc le cas général. Appliquons ceci à nos deux vecteurs 𝐣 et 𝐢. Nous pouvons écrire ces deux vecteurs unitaires sous forme de composantes comme nous l’avons fait pour les vecteurs quelconques 𝚨 et 𝚩. Nous pouvons écrire que 𝐣 est égal à zéro fois 𝐢 plus un fois 𝐣. Cela nous indique que 𝐣, le vecteur unitaire dans la direction 𝑦, a zéro unité dans le sens des axes des 𝑥 et une unité dans le sens des axes des 𝑦, ce qui est logique. De même, nous pouvons écrire le vecteur 𝐢 égal à un multiplié par 𝐢 plus zéro multiplié par 𝐣. La question nous demande de calculer le produit vectoriel de 𝐣 fois 𝐢. Ainsi, dans l’expression générale 𝚨 fois 𝚩, nous allons remplacer le vecteur 𝚨 par le vecteur 𝐣 et le vecteur 𝚩 par le vecteur 𝐢. Le premier terme de notre expression du produit vectoriel est donné par la composante 𝑥 de 𝐴 multipliée par la composante 𝑦 de 𝐵.

Nous avons dit que pour calculer notre produit vectoriel spécifique, lorsque nous voyons le vecteur 𝚨, nous devons le remplacer par le vecteur 𝐣. Donc, pour la composante 𝑥 de 𝐴, nous devons utiliser la composante 𝑥 du vecteur 𝐣, qui est zéro. De même, lorsque nous voyons le vecteur 𝚩, nous devons le remplacer par le vecteur 𝐢. Ainsi, pour la composante 𝑦 de 𝐵, nous devons utiliser la composante 𝑦 du vecteur 𝐢, qui est également zéro. À partir de ce premier terme de l’expression de notre produit vectoriel, nous soustrayons ensuite un deuxième terme. Ce deuxième terme est la composante 𝑦 du vecteur 𝚨 multipliée par la composante 𝑥 du vecteur 𝚩. Et dans notre cas, le vecteur 𝚨 est remplacé par le vecteur 𝐣.

Donc pour la composante 𝑦 de 𝐴, nous avons besoin de la composante 𝑦 de 𝐣, qui est un. Et puisque le vecteur 𝚩 est remplacé par le vecteur 𝐢, alors pour la composante 𝑥 de 𝐵, nous avons besoin de la composante 𝑥 de 𝐢, qui est aussi un. Enfin, toute cette expression est multipliée par 𝐤, le vecteur unitaire dans le sens de l’axe des 𝑧. En effectuant le calcul, nous avons que le premier terme est donné par zéro multiplié par zéro, ce qui nous donne zéro. Et le deuxième terme, que nous soustrayons de ce premier, est donné par un fois un, ce qui nous donne un. Tout cela est ensuite multiplié par 𝐤, le vecteur unitaire dans le sens des axes des 𝑧.

Puisque zéro moins un est égal à moins un, cela nous donne moins 𝐤. Et donc nous avons notre réponse à la question : le produit vectoriel de 𝐣 et 𝐢 est égal à moins 𝐤 ; autrement dit, le vecteur unitaire dans le sens négatif de de l’axe des 𝑧.