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Vidéo de la leçon : Simplifier des Fonctions Rationnelles Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à simplifier les fonctions rationnelles et à trouver leurs ensembles de définitions.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à simplifier les fonctions rationnelles et à trouver leurs ensembles de définitions.

On commence par rappeler qu’une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes. La fonction 𝑓 de 𝑥, qui est égale à 𝑝 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥, est une fonction rationnelle si à la fois 𝑝 de 𝑥 et 𝑞 de 𝑥 sont des polynômes, où 𝑞 de 𝑥 n’est pas le polynôme zéro. Alors que la simplification des fonctions rationnelles suit un processus similaire à la simplification des fractions, il y a une complication supplémentaire. Cela implique l’ensemble de définition de la fonction, et nous allons considérer cela en premier.

Si 𝑓 de 𝑥, qui est égal à 𝑝 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥, est une fonction rationnelle, alors l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥 est constitué de tous les nombres réels sauf ceux où 𝑞 de 𝑥 est égal à zéro. Cela est dû au fait que lorsque le dénominateur d’une fonction est zéro, la fonction est indéfinie. Considérons que la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 plus quatre sur 𝑥 moins six. Cette fonction sera indéfinie lorsque le dénominateur sera égal à zéro. Donc, nous posons 𝑥 moins six égal à zéro et résolvons cette équation pour trouver l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥. En ajoutant six aux deux membres de notre équation, nous avons 𝑥 égal à six. Et nous pouvons donc conclure que l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥 est l’ensemble de toutes les valeurs réelles à l’exception de six. En effet, la fonction est définie pour toutes les valeurs de 𝑥 à l’exception de six.

Avant d’examiner quelques exemples, nous examinerons brièvement un processus en quatre étapes que nous pouvons utiliser pour simplifier les fonctions rationnelles. Pour simplifier la fonction rationnelle 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑝 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥, nous suivons les étapes suivantes. Premièrement, nous trouvons toutes les valeurs de 𝑥 où 𝑞 de 𝑥 est égal à zéro, car l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥 est constitué de toutes les valeurs réelles à l’exception de ces racines. Notre deuxième étape consiste à factoriser entièrement à la fois 𝑝 de 𝑥 et 𝑞 de 𝑥. Ensuite, nous simplifions tous les facteurs communs dans le numérateur et le dénominateur, notant que nous devons toujours restreindre les valeurs de 𝑥 pour qu’elles soient dans l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥. Enfin, nous assimilons 𝑓 de 𝑥 à l’expression simplifiée restreinte à l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥. Nous allons maintenant examiner comment nous pouvons appliquer ce processus à un exemple.

Simplifiez la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 au carré plus deux 𝑥 sur 𝑥 au carré moins quatre et trouvez son ensemble de définition.

On commence par remarquer que la fonction 𝑓 de 𝑥 est le quotient de deux polynômes et est donc une fonction rationnelle. Et afin de simplifier une fonction rationnelle, nous trouvons son ensemble de définition, factorisons le numérateur et le dénominateur, puis nous simplifions les facteurs communs sur l’ensemble de définition. On va donc commencer par trouver l’ensemble de définition de la fonction. Pour ce faire, rappelons que l’ensemble de définition d’une fonction rationnelle est constitué de toutes les valeurs réelles de 𝑥 sauf celles dont le dénominateur est égal à zéro.

En mettant le dénominateur 𝑞 de 𝑥 égal à zéro, nous avons 𝑥 au carré moins quatre égal à zéro. Le membre de gauche peut être factorisé en utilisant la différence de deux carrés. 𝑥 au carré moins quatre est égal à 𝑥 plus deux multiplié par moins deux. Pour que cela soit égal à zéro, nous savons que l’un des facteurs doit être égal à zéro : soit 𝑥 plus deux égale zéro, soit 𝑥 moins deux égale zéro. Ceci nous donne deux solutions de 𝑥 égale moins deux et 𝑥 égale plus deux. Et c’est pour ces deux valeurs que la fonction 𝑓 de 𝑥 est indéfinie. Nous pouvons donc conclure que l’ensemble de définition de notre fonction est l’ensemble de toutes les valeurs réelles moins l’ensemble contenant moins deux et deux.

Comme nous avons déjà factorisé le dénominateur, notre prochaine étape consiste à factoriser le numérateur. 𝑥 au carré et deux 𝑥 ont un facteur commun de 𝑥. Donc, nous pouvons réécrire cela comme 𝑥 multiplié par 𝑥 plus deux. 𝑓 de 𝑥 est donc égal à 𝑥 multiplié par 𝑥 plus deux divisé par 𝑥 plus deux multiplié par 𝑥 moins deux. Nous pouvons maintenant simplifier un facteur commun de plus deux du numérateur et du dénominateur. Nous pouvons le faire puisque nous avons déjà établi que 𝑥 est égal à moins deux n’est pas dans l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥. Et la fonction se simplifie en 𝑥 sur 𝑥 moins deux.

Nous avons maintenant les deux réponses à cette question. La fonction 𝑓 de 𝑥 se simplifie en 𝑥 sur 𝑥 moins deux, et l’ensemble de définition de la fonction est l’ensemble des valeurs réelles moins l’ensemble contenant moins deux et deux. Dans notre prochain exemple, nous utiliserons une simplification d’une fonction rationnelle pour déterminer la valeur d’une inconnue dans la fonction.

Étant donné que 𝑛 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré plus 12𝑥 plus 36 sur 𝑥 au carré moins 𝑎 se simplifie en de 𝑥 est égal à 𝑥 plus six sur 𝑥 moins six, quelle est la valeur de 𝑎 ?

On commence par rappeler que pour simplifier une fonction rationnelle, on trouve son ensemble de définition, on factorise le numérateur et le dénominateur, puis on annule les facteurs communs sur l’ensemble de définition. Dans cette question, la fonction simplifiée a un dénominateur linéaire, alors que la fonction originale a un dénominateur de second degré. Nous devons donc pouvoir factoriser 𝑥 au carré moins 𝑎 en deux facteurs linéaires, et l’un d’eux doit être 𝑥 moins six. Nous remarquons que notre expression originale semble être de la forme 𝑥 au carré moins 𝑦 au carré. Et cela peut être factorisé en utilisant la différence de deux carrés en deux facteurs linéaires : 𝑥 moins 𝑦, 𝑥 plus 𝑦. Puisque 𝑦 est égal à six, nous avons 𝑥 au carré moins 𝑎 est égal à 𝑥 moins six multiplié par 𝑥 plus six. Et en distribuant les parenthèses ou en notant que 𝑎 est égal à 𝑦 au carré, la valeur de 𝑎 est égale à 36.

Nous pouvons vérifier ceci en considérant l’expression initiale de 𝑛 de 𝑥. Si 𝑎 est égal à 36, 𝑛 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré plus 12𝑥 plus 36 sur 𝑥 au carré moins 36. Le numérateur peut être factorisé en deux ensembles de parenthèses, où le premier terme est 𝑥. Les deuxièmes termes de chacune des parenthèses doivent avoir un produit de 36 et une somme de 12. 𝑥 au carré plus 12𝑥 plus 36 est égal à 𝑥 plus six multiplié par 𝑥 plus six ou 𝑥 plus six le tout au carré. Comme nous avons déjà factorisé le dénominateur, 𝑛 de 𝑥 est égal à 𝑥 plus six multiplié par 𝑥 plus six sur 𝑥 moins six multiplié par 𝑥 plus six. Le dénominateur a des racines en 𝑥 est égal six et moins six. Par conséquent, la fonction n’est pas définie en ces valeurs. Cela signifie que l’ensemble de définition de 𝑛 de 𝑥 est l’ensemble de toutes les valeurs réelles moins l’ensemble contenant moins six et six. Comme moins six ne se trouve pas dans l’ensemble de définition, on peut simplifier le facteur 𝑥 plus six. Et la fonction 𝑛 de 𝑥 se simplifie en plus six sur 𝑥 moins six comme requis. Cela confirme que la valeur de 𝑎 est 36.

Jusqu’à présent dans cette vidéo, nous n’avons traité que des polynômes de second degré, mais nous allons maintenant en examiner un impliquant un polynôme cubique.

Simplifiez la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré moins 81 sur 𝑥 au cube plus 729 et trouvez son ensemble de définition.

Dans cette question, nous commencerons par trouver l’ensemble de définition de la fonction puis le simplifierons en factorisant le numérateur et le dénominateur et en simplifiant tous les facteurs communs. On rappelle que l’ensemble de définition d’une fonction rationnelle est constitué de toutes les valeurs réelles de 𝑥 sauf où le dénominateur est égal à zéro. Nous devons donc mettre le polynôme cubique 𝑥 au cube plus 729 égal à zéro. Afin de résoudre cette équation, nous commencerons par factoriser le membre de gauche. 729 est un nombre cubique. Il est égal à neuf au cube. Cela signifie que au cube plus 729 s’écrit sous la forme 𝑥 au cube plus 𝑎 au cube. La formule de la somme des cubes indique que cela est égal à 𝑥 plus 𝑎 multiplié par 𝑥 au carré moins 𝑎𝑥 plus 𝑎 au carré. 𝑥 au cube plus 729 est donc égal à 𝑥 plus neuf multiplié par 𝑥 au carré moins neuf 𝑥 plus 81.

A ce stade, nous avons le produit d’un terme linéaire et d’un terme de second degré égal à zéro. Fixer le facteur linéaire égal à zéro nous donne 𝑥 est égal à moins neuf. L’équation de second degré 𝑥 au carré moins neuf 𝑥 plus 81 égale zéro n’a pas de solutions réelles. En effet, le discriminant au carré moins quatre est inférieur à zéro. Nous n’avons donc qu’une seule solution réelle de l’équation cubique 𝑥 au cube plus 729 égale zéro. C’est 𝑥 égal à moins neuf. Comme c’est la seule valeur de 𝑥 qui rend la fonction indéfinie, nous pouvons conclure que l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥 est l’ensemble de toutes les valeurs réelles moins l’ensemble contenant moins neuf.

Passons maintenant à la simplification de la fonction. Le numérateur s’écrit sous la forme 𝑥 au carré moins 𝑎 au carré et peut donc être factorisé en utilisant la différence de deux carrés. Ceci est égal à 𝑥 plus 𝑎 multiplié par 𝑥 moins 𝑎. Puisque la racine carrée de 81 est neuf, 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 plus neuf multiplié par 𝑥 moins neuf sur 𝑥 plus neuf multiplié par 𝑥 au carré moins neuf 𝑥 plus 81. Puisque 𝑥 ne peut pas être égal à moins neuf, nous pouvons simplifier le facteur commun de plus neuf du numérateur et du dénominateur. 𝑓 de 𝑥 se simplifie en 𝑥 moins neuf sur 𝑥 au carré moins neuf 𝑥 plus 81. Et nous avons maintenant les réponses aux deux parties de la question.

Avant de passer à un dernier exemple, nous examinerons ce que signifie pour deux fonctions rationnelles d’être égales et équivalentes. Si 𝑛 indice un de 𝑥 et 𝑛 indice deux de 𝑥 sont des fonctions rationnelles, on dit que 𝑛 indice un est égal à 𝑛 indice deux si elles ont le même ensemble de définition et sont égales sur tout cet ensemble de définition. Notez que cela revient à dire que les racines des dénominateurs des deux fonctions sont égales et que 𝑛 indice un est égal à 𝑛 indice deux sur cet ensemble de définition. La différence entre cela et l’équivalence des fonctions rationnelles est la suivante. Si 𝑛 indice un de 𝑥 et 𝑛 indice deux de 𝑥 sont des fonctions rationnelles, on dit que 𝑛 indice un est équivalent à 𝑛 indice deux si elles sont égales sur leur ensemble de définition commun. Nous allons maintenant examiner un exemple qui considère cela.

Étant donné les fonctions 𝑛 indice un de 𝑥 est égal à 𝑥 sur 𝑥 au carré moins 10𝑥 et 𝑛 indice deux de 𝑥 est égal à un sur 𝑥 moins 10, quel est l’ensemble des valeurs sur lesquelles 𝑛 indice un est égal à 𝑛 indice deux ?

Dans cette question, nous voulons déterminer l’ensemble des valeurs pour lesquelles les deux fonctions données sont égales. On note que si les fonctions sont égales sur tout leur ensemble de définition partagé, alors elles sont équivalentes. Et puisque les deux fonctions sont rationnelles, nous pouvons simplifier les fonctions en trouvant leurs ensembles de définition et en simplifiant les facteurs communs. Étant donné que le numérateur et le dénominateur de 𝑛 indice deux de 𝑥 n’ont pas de facteurs communs, cette fonction ne peut pas être simplifiée. Nous allons donc commencer par la première fonction.

Rappelons que le domaine d’une fonction rationnelle est l’ensemble de tous les nombres réels à l’exception de ceux où le dénominateur est égal à zéro. En posant 𝑥 au carré moins 10𝑥 égal à zéro, nous pouvons factoriser un facteur commun de 𝑥 tel que 𝑥 multiplié par 𝑥 moins 10 est égal à zéro. Cela nous donne deux solutions : 𝑥 est égal à zéro et 𝑥 est égal à 10. Le dénominateur est égal à zéro et la fonction est indéfinie lorsque 𝑥 est égal à zéro et 𝑥 est égal à 10. Et nous pouvons ainsi conclure que l’ensemble de définition de 𝑛 indice un de est l’ensemble de tous les nombres réels moins l’ensemble contenant zéro et 10.

En simplifiant le dénominateur de 𝑛 indice un de 𝑥, on peut alors annuler un facteur commun de 𝑥. Cela signifie que 𝑛 indice un de 𝑥 est égal à un sur 𝑥 moins 10 lorsque 𝑥 est un nombre réel autre que zéro ou 10. C’est la même expression que 𝑛 indice deux de 𝑥. Et on peut donc conclure que les deux fonctions sont égales pour l’ensemble de toutes les valeurs réelles à l’exception de l’ensemble contenant zéro et 10. Il est à noter que comme les fonctions sont égales sur cet ensemble, elles sont équivalentes.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu dans cette vidéo que l’ensemble de définition d’une fonction rationnelle est constitué de toutes les valeurs réelles sauf celles qui rendent le dénominateur égal à zéro. Pour simplifier une fonction rationnelle 𝑓 de 𝑥, qui est égale à 𝑝 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥, nous trouvons l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥 en trouvant les racines de 𝑞 de 𝑥. Nous factorisons ensuite entièrement à la fois 𝑝 de 𝑥 et 𝑞 de 𝑥, annulons les facteurs communs dans le numérateur et le dénominateur, et assimilons 𝑓 de 𝑥 à l’expression simplifiée sur l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥. Nous avons également vu que si deux fonctions rationnelles ont les mêmes expressions simplifiées, alors elles sont égales aux intersections de leurs ensembles de définition. Enfin, si les formes simplifiées de deux fonctions rationnelles sont égales, alors les deux fonctions sont équivalentes.

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