Transcription de la vidéo
Dans cette vidĂ©o, nous allons apprendre Ă simplifier les fonctions rationnelles et Ă
trouver leurs ensembles de définitions.
On commence par rappeler quâune fonction rationnelle est le quotient de deux
polynĂŽmes. La fonction đ de đ„, qui est Ă©gale Ă đ de đ„ sur đ de đ„, est une fonction
rationnelle si Ă la fois đ de đ„ et đ de đ„ sont des polynĂŽmes, oĂč đ de đ„ nâest
pas le polynĂŽme zĂ©ro. Alors que la simplification des fonctions rationnelles suit un processus similaire Ă
la simplification des fractions, il y a une complication supplĂ©mentaire. Cela implique lâensemble de dĂ©finition de la fonction, et nous allons considĂ©rer cela
en premier.
Si đ de đ„, qui est Ă©gal Ă đ de đ„ sur đ de đ„, est une fonction rationnelle,
alors lâensemble de dĂ©finition de đ de đ„ est constituĂ© de tous les nombres rĂ©els
sauf ceux oĂč đ de đ„ est Ă©gal Ă zĂ©ro. Cela est dĂ» au fait que lorsque le dĂ©nominateur dâune fonction est zĂ©ro, la fonction
est indĂ©finie. ConsidĂ©rons que la fonction đ de đ„ est Ă©gale Ă đ„ plus quatre sur đ„ moins six. Cette fonction sera indĂ©finie lorsque le dĂ©nominateur sera Ă©gal Ă zĂ©ro. Donc, nous posons đ„ moins six Ă©gal Ă zĂ©ro et rĂ©solvons cette Ă©quation pour trouver
lâensemble de dĂ©finition de đ de đ„. En ajoutant six aux deux membres de notre Ă©quation, nous avons đ„ Ă©gal Ă six. Et nous pouvons donc conclure que lâensemble de dĂ©finition de đ de đ„ est lâensemble
de toutes les valeurs rĂ©elles Ă lâexception de six. En effet, la fonction est dĂ©finie pour toutes les valeurs de đ„ Ă lâexception de
six.
Avant dâexaminer quelques exemples, nous examinerons briĂšvement un processus en
quatre Ă©tapes que nous pouvons utiliser pour simplifier les fonctions
rationnelles. Pour simplifier la fonction rationnelle đ de đ„ est Ă©gal Ă đ de đ„ sur đ de đ„,
nous suivons les Ă©tapes suivantes. PremiĂšrement, nous trouvons toutes les valeurs de đ„ oĂč đ de đ„ est Ă©gal Ă zĂ©ro, car
lâensemble de dĂ©finition de đ de đ„ est constituĂ© de toutes les valeurs rĂ©elles Ă
lâexception de ces racines. Notre deuxiĂšme Ă©tape consiste Ă factoriser entiĂšrement Ă la fois đ de đ„ et đ de
đ„. Ensuite, nous simplifions tous les facteurs communs dans le numĂ©rateur et le
dĂ©nominateur, notant que nous devons toujours restreindre les valeurs de đ„ pour
quâelles soient dans lâensemble de dĂ©finition de đ de đ„. Enfin, nous assimilons đ de đ„ Ă lâexpression simplifiĂ©e restreinte Ă lâensemble de
dĂ©finition de đ de đ„. Nous allons maintenant examiner comment nous pouvons appliquer ce processus Ă un
exemple.
Simplifiez la fonction đ de đ„ Ă©gale Ă đ„ au carrĂ© plus deux đ„ sur đ„ au carrĂ©
moins quatre et trouvez son ensemble de définition.
On commence par remarquer que la fonction đ de đ„ est le quotient de deux polynĂŽmes
et est donc une fonction rationnelle. Et afin de simplifier une fonction rationnelle, nous trouvons son ensemble de
définition, factorisons le numérateur et le dénominateur, puis nous simplifions les
facteurs communs sur lâensemble de dĂ©finition. On va donc commencer par trouver lâensemble de dĂ©finition de la fonction. Pour ce faire, rappelons que lâensemble de dĂ©finition dâune fonction rationnelle est
constituĂ© de toutes les valeurs rĂ©elles de đ„ sauf celles dont le dĂ©nominateur est
égal à zéro.
En mettant le dĂ©nominateur đ de đ„ Ă©gal Ă zĂ©ro, nous avons đ„ au carrĂ© moins quatre
Ă©gal Ă zĂ©ro. Le membre de gauche peut ĂȘtre factorisĂ© en utilisant la diffĂ©rence de deux
carrĂ©s. đ„ au carrĂ© moins quatre est Ă©gal Ă đ„ plus deux multipliĂ© par moins deux. Pour que cela soit Ă©gal Ă zĂ©ro, nous savons que lâun des facteurs doit ĂȘtre Ă©gal Ă
zĂ©ro : soit đ„ plus deux Ă©gale zĂ©ro, soit đ„ moins deux Ă©gale zĂ©ro. Ceci nous donne deux solutions de đ„ Ă©gale moins deux et đ„ Ă©gale plus deux. Et câest pour ces deux valeurs que la fonction đ de đ„ est indĂ©finie. Nous pouvons donc conclure que lâensemble de dĂ©finition de notre fonction est
lâensemble de toutes les valeurs rĂ©elles moins lâensemble contenant moins deux et
deux.
Comme nous avons dĂ©jĂ factorisĂ© le dĂ©nominateur, notre prochaine Ă©tape consiste Ă
factoriser le numĂ©rateur. đ„ au carrĂ© et deux đ„ ont un facteur commun de đ„. Donc, nous pouvons rĂ©Ă©crire cela comme đ„ multipliĂ© par đ„ plus deux. đ de đ„ est donc Ă©gal Ă đ„ multipliĂ© par đ„ plus deux divisĂ© par đ„ plus deux
multipliĂ© par đ„ moins deux. Nous pouvons maintenant simplifier un facteur commun de plus deux du numĂ©rateur et du
dĂ©nominateur. Nous pouvons le faire puisque nous avons dĂ©jĂ Ă©tabli que đ„ est Ă©gal Ă moins deux
nâest pas dans lâensemble de dĂ©finition de đ de đ„. Et la fonction se simplifie en đ„ sur đ„ moins deux.
Nous avons maintenant les deux rĂ©ponses Ă cette question. La fonction đ de đ„ se simplifie en đ„ sur đ„ moins deux, et lâensemble de
dĂ©finition de la fonction est lâensemble des valeurs rĂ©elles moins lâensemble
contenant moins deux et deux. Dans notre prochain exemple, nous utiliserons une simplification dâune fonction
rationnelle pour dĂ©terminer la valeur dâune inconnue dans la fonction.
Ătant donnĂ© que đ de đ„ est Ă©gal Ă đ„ au carrĂ© plus 12đ„ plus 36 sur đ„ au carrĂ©
moins đ se simplifie en de đ„ est Ă©gal Ă đ„ plus six sur đ„ moins six, quelle est
la valeur de đ ?
On commence par rappeler que pour simplifier une fonction rationnelle, on trouve son
ensemble de définition, on factorise le numérateur et le dénominateur, puis on
annule les facteurs communs sur lâensemble de dĂ©finition. Dans cette question, la fonction simplifiĂ©e a un dĂ©nominateur linĂ©aire, alors que la
fonction originale a un dĂ©nominateur de second degrĂ©. Nous devons donc pouvoir factoriser đ„ au carrĂ© moins đ en deux facteurs linĂ©aires,
et lâun dâeux doit ĂȘtre đ„ moins six. Nous remarquons que notre expression originale semble ĂȘtre de la forme đ„ au carrĂ©
moins đŠ au carrĂ©. Et cela peut ĂȘtre factorisĂ© en utilisant la diffĂ©rence de deux carrĂ©s en deux
facteurs linĂ©aires : đ„ moins đŠ, đ„ plus đŠ. Puisque đŠ est Ă©gal Ă six, nous avons đ„ au carrĂ© moins đ est Ă©gal Ă đ„ moins six
multipliĂ© par đ„ plus six. Et en distribuant les parenthĂšses ou en notant que đ est Ă©gal Ă đŠ au carrĂ©, la
valeur de đ est Ă©gale Ă 36.
Nous pouvons vĂ©rifier ceci en considĂ©rant lâexpression initiale de đ de đ„. Si đ est Ă©gal Ă 36, đ de đ„ est Ă©gal Ă đ„ au carrĂ© plus 12đ„ plus 36 sur đ„ au
carrĂ© moins 36. Le numĂ©rateur peut ĂȘtre factorisĂ© en deux ensembles de parenthĂšses, oĂč le premier
terme est đ„. Les deuxiĂšmes termes de chacune des parenthĂšses doivent avoir un produit de 36 et une
somme de 12. đ„ au carrĂ© plus 12đ„ plus 36 est Ă©gal Ă đ„ plus six multipliĂ© par đ„ plus six ou đ„
plus six le tout au carrĂ©. Comme nous avons dĂ©jĂ factorisĂ© le dĂ©nominateur, đ de đ„ est Ă©gal Ă đ„ plus six
multipliĂ© par đ„ plus six sur đ„ moins six multipliĂ© par đ„ plus six. Le dĂ©nominateur a des racines en đ„ est Ă©gal six et moins six. Par consĂ©quent, la fonction nâest pas dĂ©finie en ces valeurs. Cela signifie que lâensemble de dĂ©finition de đ de đ„ est lâensemble de toutes les
valeurs rĂ©elles moins lâensemble contenant moins six et six. Comme moins six ne se trouve pas dans lâensemble de dĂ©finition, on peut simplifier le
facteur đ„ plus six. Et la fonction đ de đ„ se simplifie en plus six sur đ„ moins six comme requis. Cela confirme que la valeur de đ est 36.
JusquâĂ prĂ©sent dans cette vidĂ©o, nous nâavons traitĂ© que des polynĂŽmes de second
degré, mais nous allons maintenant en examiner un impliquant un polynÎme
cubique.
Simplifiez la fonction đ de đ„ est Ă©gal Ă đ„ au carrĂ© moins 81 sur đ„ au cube plus
729 et trouvez son ensemble de définition.
Dans cette question, nous commencerons par trouver lâensemble de dĂ©finition de la
fonction puis le simplifierons en factorisant le numérateur et le dénominateur et en
simplifiant tous les facteurs communs. On rappelle que lâensemble de dĂ©finition dâune fonction rationnelle est constituĂ© de
toutes les valeurs rĂ©elles de đ„ sauf oĂč le dĂ©nominateur est Ă©gal Ă zĂ©ro. Nous devons donc mettre le polynĂŽme cubique đ„ au cube plus 729 Ă©gal Ă zĂ©ro. Afin de rĂ©soudre cette Ă©quation, nous commencerons par factoriser le membre de
gauche. 729 est un nombre cubique. Il est Ă©gal Ă neuf au cube. Cela signifie que au cube plus 729 sâĂ©crit sous la forme đ„ au cube plus đ au
cube. La formule de la somme des cubes indique que cela est Ă©gal Ă đ„ plus đ multipliĂ© par
đ„ au carrĂ© moins đđ„ plus đ au carrĂ©. đ„ au cube plus 729 est donc Ă©gal Ă đ„ plus neuf multipliĂ© par đ„ au carrĂ© moins neuf
đ„ plus 81.
A ce stade, nous avons le produit dâun terme linĂ©aire et dâun terme de second degrĂ©
Ă©gal Ă zĂ©ro. Fixer le facteur linĂ©aire Ă©gal Ă zĂ©ro nous donne đ„ est Ă©gal Ă moins neuf. LâĂ©quation de second degrĂ© đ„ au carrĂ© moins neuf đ„ plus 81 Ă©gale zĂ©ro nâa pas de
solutions rĂ©elles. En effet, le discriminant au carrĂ© moins quatre est infĂ©rieur Ă zĂ©ro. Nous nâavons donc quâune seule solution rĂ©elle de lâĂ©quation cubique đ„ au cube plus
729 Ă©gale zĂ©ro. Câest đ„ Ă©gal Ă moins neuf. Comme câest la seule valeur de đ„ qui rend la fonction indĂ©finie, nous pouvons
conclure que lâensemble de dĂ©finition de đ de đ„ est lâensemble de toutes les
valeurs rĂ©elles moins lâensemble contenant moins neuf.
Passons maintenant Ă la simplification de la fonction. Le numĂ©rateur sâĂ©crit sous la forme đ„ au carrĂ© moins đ au carrĂ© et peut donc ĂȘtre
factorisĂ© en utilisant la diffĂ©rence de deux carrĂ©s. Ceci est Ă©gal Ă đ„ plus đ multipliĂ© par đ„ moins đ. Puisque la racine carrĂ©e de 81 est neuf, đ de đ„ est Ă©gal Ă đ„ plus neuf multipliĂ©
par đ„ moins neuf sur đ„ plus neuf multipliĂ© par đ„ au carrĂ© moins neuf đ„ plus
81. Puisque đ„ ne peut pas ĂȘtre Ă©gal Ă moins neuf, nous pouvons simplifier le facteur
commun de plus neuf du numĂ©rateur et du dĂ©nominateur. đ de đ„ se simplifie en đ„ moins neuf sur đ„ au carrĂ© moins neuf đ„ plus 81. Et nous avons maintenant les rĂ©ponses aux deux parties de la question.
Avant de passer Ă un dernier exemple, nous examinerons ce que signifie pour deux
fonctions rationnelles dâĂȘtre Ă©gales et Ă©quivalentes. Si đ indice un de đ„ et đ indice deux de đ„ sont des fonctions rationnelles, on dit
que đ indice un est Ă©gal Ă đ indice deux si elles ont le mĂȘme ensemble de
définition et sont égales sur tout cet ensemble de définition. Notez que cela revient à dire que les racines des dénominateurs des deux fonctions
sont Ă©gales et que đ indice un est Ă©gal Ă đ indice deux sur cet ensemble de
dĂ©finition. La diffĂ©rence entre cela et lâĂ©quivalence des fonctions rationnelles est la
suivante. Si đ indice un de đ„ et đ indice deux de đ„ sont des fonctions rationnelles, on dit
que đ indice un est Ă©quivalent Ă đ indice deux si elles sont Ă©gales sur leur
ensemble de définition commun. Nous allons maintenant examiner un exemple qui considÚre cela.
Ătant donnĂ© les fonctions đ indice un de đ„ est Ă©gal Ă đ„ sur đ„ au carrĂ© moins 10đ„
et đ indice deux de đ„ est Ă©gal Ă un sur đ„ moins 10, quel est lâensemble des
valeurs sur lesquelles đ indice un est Ă©gal Ă đ indice deux ?
Dans cette question, nous voulons dĂ©terminer lâensemble des valeurs pour lesquelles
les deux fonctions données sont égales. On note que si les fonctions sont égales sur tout leur ensemble de définition
partagé, alors elles sont équivalentes. Et puisque les deux fonctions sont rationnelles, nous pouvons simplifier les
fonctions en trouvant leurs ensembles de définition et en simplifiant les facteurs
communs. Ătant donnĂ© que le numĂ©rateur et le dĂ©nominateur de đ indice deux de đ„ nâont pas de
facteurs communs, cette fonction ne peut pas ĂȘtre simplifiĂ©e. Nous allons donc commencer par la premiĂšre fonction.
Rappelons que le domaine dâune fonction rationnelle est lâensemble de tous les
nombres rĂ©els Ă lâexception de ceux oĂč le dĂ©nominateur est Ă©gal Ă zĂ©ro. En posant đ„ au carrĂ© moins 10đ„ Ă©gal Ă zĂ©ro, nous pouvons factoriser un facteur
commun de đ„ tel que đ„ multipliĂ© par đ„ moins 10 est Ă©gal Ă zĂ©ro. Cela nous donne deux solutions : đ„ est Ă©gal Ă zĂ©ro et đ„ est Ă©gal Ă 10. Le dĂ©nominateur est Ă©gal Ă zĂ©ro et la fonction est indĂ©finie lorsque đ„ est Ă©gal Ă
zĂ©ro et đ„ est Ă©gal Ă 10. Et nous pouvons ainsi conclure que lâensemble de dĂ©finition de đ indice un de est
lâensemble de tous les nombres rĂ©els moins lâensemble contenant zĂ©ro et 10.
En simplifiant le dĂ©nominateur de đ indice un de đ„, on peut alors annuler un
facteur commun de đ„. Cela signifie que đ indice un de đ„ est Ă©gal Ă un sur đ„ moins 10 lorsque đ„ est un
nombre rĂ©el autre que zĂ©ro ou 10. Câest la mĂȘme expression que đ indice deux de đ„. Et on peut donc conclure que les deux fonctions sont Ă©gales pour lâensemble de toutes
les valeurs rĂ©elles Ă lâexception de lâensemble contenant zĂ©ro et 10. Il est Ă noter que comme les fonctions sont Ă©gales sur cet ensemble, elles sont
Ă©quivalentes.
Nous allons maintenant rĂ©sumer les points clĂ©s de cette vidĂ©o. Nous avons vu dans cette vidĂ©o que lâensemble de dĂ©finition dâune fonction
rationnelle est constitué de toutes les valeurs réelles sauf celles qui rendent le
dĂ©nominateur Ă©gal Ă zĂ©ro. Pour simplifier une fonction rationnelle đ de đ„, qui est Ă©gale Ă đ de đ„ sur đ de
đ„, nous trouvons lâensemble de dĂ©finition de đ de đ„ en trouvant les racines de đ
de đ„. Nous factorisons ensuite entiĂšrement Ă la fois đ de đ„ et đ de đ„, annulons les
facteurs communs dans le numĂ©rateur et le dĂ©nominateur, et assimilons đ de đ„ Ă
lâexpression simplifiĂ©e sur lâensemble de dĂ©finition de đ de đ„. Nous avons Ă©galement vu que si deux fonctions rationnelles ont les mĂȘmes expressions
simplifiées, alors elles sont égales aux intersections de leurs ensembles de
définition. Enfin, si les formes simplifiées de deux fonctions rationnelles sont égales, alors
les deux fonctions sont Ă©quivalentes.