Vidéo de la leçon: Impulsion et quantité de mouvement Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons découvrir l’impulsion et la quantité de mouvement. Ce sont des quantités physiques qui nous aident à comprendre le mouvement des objets. Dans cette leçon, nous allons apprendre comment elles sont reliées et nous verrons également comment l’impulsion et la force sont connectées.

Pour commencer, rappelons ce qu’est la quantité de mouvement d’un objet. Nous étudions donc cet objet ici. Supposons qu’il a une masse 𝑚 et qu’il est initialement au repos. En se rappelant que la quantité de mouvement 𝑝 d’un objet est égale à la masse de cet objet multipliée par son vecteur vitesse, nous pouvons dire que comme ce corps ne se déplace pas, sa quantité de mouvement est nulle. Pour changer cela, il faudrait appliquer une force sur le corps.

Supposons donc que c’est le cas, en appliquant une force constante 𝐹 vers la droite. Et supposons en outre que c’est la seule force agissant sur notre objet dans la direction horizontale. Cette force va alors provoquer le déplacement du corps. Et après un certain temps, il aura un vecteur vitesse que nous pouvons appeler 𝑣. Pendant l’intervalle de temps où cette force agit, on dit que l’objet subit une impulsion. Cette impulsion 𝐢 est égale à la masse de cet objet multipliée par sa variation de vecteur vitesse. Une autre façon de dire cela est de dire que l’impulsion est égale à la variation de quantité de mouvement de l’objet, en supposant que la masse de cet objet reste constante.

Il est également intéressant de noter que l’impulsion peut être décrite en fonction de la force agissant sur l’objet. Dans le cas de notre boîte, nous avions une force constante 𝐹 agissant sur elle pendant un certain temps. Graphiquement, cela pourrait ressembler à ceci, avec la force agissant sur l’objet pendant un certain temps. Nous voyons que cette force agit d’une valeur constante et elle dure jusqu’à un certain instant que nous appellerons 𝑡 f. À cet instant précis, le vecteur vitesse a augmenté de 𝑣, ce qui signifie que l’objet a subi une impulsion de 𝑚 Δ𝑣.

Et il s’avère que cette impulsion est aussi égale à l’aire sous cette courbe ici. En d’autres termes, elle est égale à la force résultante agissant sur le corps multipliée par l’intervalle de temps pendant lequel cette force agit. Et cette équation est en réalité vraie même si la force résultante agissant sur le corps n’est pas constante dans le temps.

Si la force s’appliquant sur la boîte ressemblait par exemple à ceci. Nous pourrions toujours déterminer l’impulsion subie par la boîte en calculant l’aire sous cette courbe. Dans ce cas cependant, la force est une fonction du temps. Donc, pour calculer l’impulsion, il faudrait calculer une intégrale.

Nous allons bientôt mettre en pratique ces concepts. Mais pour l’instant, remarquez que nous pouvons calculer l’impulsion d’un objet de deux manières différentes. Elle est définie en fonction de la variation de quantité de mouvement d’un objet ainsi que de la force qu’il subit pendant un certain temps. Notez également que l’on pourrait appliquer la même impulsion à un objet en lui appliquant une petite force pendant une longue période de temps ou une grande force pendant une courte période de temps. Puisque l’impulsion est égale à 𝐹 fois Δ𝑡, ces deux scénarios pourraient donner la même valeur. Sachant tout cela, pratiquons maintenant avec quelques exercices.

Une sphère lisse de masse de 1 412 grammes se déplaçait horizontalement en ligne droite à 13,5 mètres par seconde quand elle a heurté un mur vertical lisse et a rebondi à neuf mètres par seconde. Déterminez la norme de l’impulsion subie par la sphère.

D’accord, supposons que le mur vertical est ici. Et nous savons que la sphère se déplace initialement vers le mur à 13,5 mètres par seconde. Elle heurte ensuite le mur et rebondit, se déplaçant dans le sens opposé à une vitesse de neuf mètres par seconde. Sachant tout cela et sachant que la masse de la sphère est de 1 412 grammes, nous souhaitons calculer l’intensité de l’impulsion subie par la sphère.

Pour commencer, rappelons que l’impulsion s’appliquant sur un objet est égale à la masse de cet objet multipliée par la variation de son vecteur vitesse. Et il est important de spécifier qu’il s’agit du vecteur vitesse plutôt que de la vitesse car on rappelle que le vecteur vitesse est une quantité vectorielle alors que la vitesse est un scalaire. Nous pouvons calculer la variation de vecteur vitesse subie par la sphère en soustrayant son vecteur vitesse initial à son vecteur vitesse final.

Nous voyons cependant que ces vecteurs vitesses ont des sens opposés. Cela signifie que l’un sera positif et l’autre sera négatif. Si le mouvement vers la gauche est dans le sens positif, alors nous pouvons dire que le vecteur vitesse initial de la sphère est égal à moins 13,5 mètres par seconde et que son vecteur vitesse final est égal à plus neuf mètres par seconde. En substituant ces vecteurs vitesses à 𝑣 f et 𝑣 i, on trouve Δ𝑣 égal à neuf mètres par seconde moins moins 13,5 mètres par seconde. Et cela revient à 22,5 mètres par seconde. Remarquez que notre réponse serait différente si nous avions utilisé les vitesses plutôt que des vecteurs vitesses.

Nous connaissons donc maintenant Δ𝑣 et nous devons simplement le multiplier par la masse de notre objet pour calculer l’impulsion. Avant de substituer la masse de la sphère à 𝑚, convertissons-la en unités de masse du SI. La masse est actuellement exprimée en grammes et nous souhaitons la convertir en kilogrammes. On rappelle pour cela que 1 000 grammes égale un kilogramme, ce qui donne 1 412 grammes égale à 1,412 kilogrammes. C’est la valeur de la masse que nous allons utiliser pour calculer 𝐼. En substituant les valeurs de 𝑚 et Δ𝑣, on trouve que leur produit est exactement égal à 31,77 kilogrammes mètres par seconde. Il s’agit de la norme de l’impulsion exercée sur la sphère.

Voyons maintenant un exemple où nous calculons l’impulsion à partir de forces.

Trois forces - 𝐅 un égale moins cinq 𝐢 moins deux 𝐣 plus deux 𝐤 newtons, 𝐅 deux égale 𝐣 moins trois 𝐤 newtons et 𝐅 trois égale moins 𝐢 moins cinq 𝐣 moins deux 𝐤 newtons, où 𝐢, 𝐣 et 𝐤 sont trois vecteurs unitaires orthogonaux entre eux - ont agi sur un corps pendant trois secondes. Calculez l’intensité de leur impulsion combinée sur le corps.

Dans cet exercice, trois forces : 𝐅 un, 𝐅 deux et 𝐅 trois agissent en même temps sur un corps. Ces forces sont toutes constantes et nous savons qu’elles agissent pendant un intervalle de temps de trois secondes, que nous appellerons Δ𝑡. Nous souhaitons connaître la norme de l’impulsion sur le corps de ces trois forces agissant ensemble.

Nous pourrions calculer l’impulsion due à chacune des trois forces individuellement, puis les additionner. Mais il est plus rapide d’additionner les trois forces sous forme vectorielle pour déterminer la force résultante agissant sur le corps. On écrit donc 𝐅 un, 𝐅 deux et 𝐅 trois en alignant leurs composantes en 𝐢, 𝐣 et 𝐤. On additionne ensuite leurs composantes, en commençant par la composante en 𝐢. Moins cinq 𝐢 moins 𝐢 donne un total de moins six 𝐢. Puis moins deux 𝐣 plus 𝐣 moins cinq 𝐣 donne moins six 𝐣. Et enfin, deux 𝐤 moins trois 𝐤 moins deux 𝐤 égale moins trois 𝐤. Les unités de ces composantes sont toutes des newtons. Et ce vecteur est égal à la force résultante agissant sur le corps.

Rappelons à présent la relation mathématique entre l’impulsion subie par un objet et la force agissant sur celui-ci. L’impulsion 𝐢 est égale à 𝐅 fois Δ𝑡. En d’autres termes, l’impulsion subie par un objet est égale à la force résultante agissant sur cet objet multipliée par l’intervalle de temps pendant lequel cette force agit. Dans ce cas, nous connaissons 𝐅 nette ainsi que Δ𝑡. Ce dernier est égal à trois secondes.

Mais rappelons que nous recherchons la norme de l’impulsion. Nous devons donc calculer la norme de la force résultante et l’utiliser dans cette équation. En faisant un peu de place, nous pouvons rappeler que pour un vecteur 𝐯 en trois dimensions, sa norme est égale à la racine carrée de sa composante en 𝐢 au carré plus sa composante en 𝐣 au carré plus sa composante en 𝐤 au carré.

En appliquant cette formule à notre force résultante, on trouve que sa norme est égale à racine carrée de moins six au carré plus moins six au carré plus moins trois au carré newtons. Ce qui fait racine carrée de 36 plus 36 plus neuf newtons ou racine carrée de 81 newtons, soit neuf newtons. Il s’agit donc de la norme de la force résultante agissant sur notre corps. Pour calculer 𝐼, on substitue donc cette valeur à 𝐅 résultante et trois secondes à Δ𝑡. On obtient ainsi un résultat de 27 newton secondes. Il s’agit de l’intensité de l’impulsion totale agissant sur le corps.

Voyons maintenant un exemple où nous devons calculer l’impulsion à partir d’un graphique.

La figure ci-dessous est un graphique temps-force pour une force agissant dans une direction et un sens constants sur un corps se déplaçant le long d’un plan horizontal lisse. En utilisant les informations fournies, calculez l’intensité de l’impulsion due à la force.

Dans ce scénario, un corps se déplace sur un plan horizontal lisse. La force que subit ce corps en fonction du temps est représentée sur le graphique ci-joint. La force initiale est nulle. Mais pendant les 20 secondes suivantes, la force agissant sur le corps augmente à un taux constant jusqu’à atteindre 90 newtons. Cette force reste ensuite constante pendant les 50 secondes suivantes jusqu’à l’instant 70 secondes. À ce point, la force commence à diminuer à un taux constant jusqu’à revenir à zéro à l’instant 80 secondes.

Avec ces informations, nous souhaitons calculer l’intensité de l’impulsion subie par ce corps. Nous faisons un peu de place et rappelons que l’impulsion subie par un objet est égale à la force résultante agissant sur l’objet multipliée par la durée pendant laquelle cette force agit. Et le graphique nous montre la force résultante agissant sur le corps au fil du temps. Pour calculer l’impulsion ressentie par le corps, on doit donc multiplier chaque valeur de force individuelle par l’intervalle de temps correspondant à cette force. Cela signifie que l’impulsion totale est égale à l’aire sous cette courbe force-temps.

Calculer cette aire nous permettra donc de déterminer 𝐼. Pour faciliter cela, nous pouvons diviser cette aire en formes connues. De zéro à 20 secondes, cette aire correspond à un triangle rectangle. Ensuite, de 20 à 70 secondes, on trouve un rectangle, puis de 70 à 80 secondes, un autre triangle rectangle. Si nous appelons ces aires 𝐴 un, 𝐴 deux et 𝐴 trois, alors l’intensité de l’impulsion que nous recherchons est égale à leur somme.

Commençons par calculer 𝐴 un. Il s’agit de l’aire d’un triangle rectangle, dont on rappelle qu’elle est égale à un demi de la base du triangle multipliée par sa hauteur. Sur le graphique, nous voyons que la base de 𝐴 un est de 20 secondes et que sa hauteur est de 90 newtons. Cela donne une aire de 900 newton secondes, que l’on substitue ensuite à 𝐴 un.

Passons maintenant à 𝐴 deux. Il s’agit de l’aire d’un rectangle, qui est égale à sa largeur multipliée par sa hauteur. La largeur du rectangle est de 70 secondes moins 20 secondes, soit 50 secondes, et sa hauteur est de 90 newtons. Cela signifie que 𝐴 deux est égale à 4 500 newton secondes, que l’on peut alors substituer dans l’équation de 𝐼.

Nous calculons enfin 𝐴 trois. Il s’agit de l’aire d’un triangle rectangle dont la base est de 80 secondes moins 70 secondes, soit 10 secondes, et dont la hauteur est à nouveau de 90 newtons. 𝐴 trois est donc égale à 450 newton secondes.

Et nous pouvons à présent calculer 𝐼. Notez que nous aurions également pu traiter l’aire sous la courbe comme un seul trapèze et la calculer de cette façon. Les deux méthodes permettent de calculer que l’impulsion est égale à 5 850 newton secondes. Il s’agit de la norme de l’impulsion subie par le corps.

Voyons maintenant un dernier exemple où nous calculons l’impulsion pour une force variant dans le temps.

La figure ci-dessous montre un graphique temps-force. À l’instant 𝑡 secondes, où 𝑡 est supérieur ou égal à zéro, la force est définie par 𝐹 égale 𝑡 moins deux au carré newtons. Calculez l’impulsion pendant les quatre premières secondes.

En observant ce graphique, nous voyons qu’il représente la force en fonction du temps et que cette force commence à quatre newtons, diminue jusqu’à zéro newtons en deux secondes, puis augmente à un taux croissant jusqu’à neuf newtons en cinq secondes. Et nous souhaitons calculer l’impulsion due à cette force pendant les 4 premières seconde.

Graphiquement, elle est égale à l’aire sous la courbe de 𝑡 égale zéro à 𝑡 égale quatre secondes. Mais notez que nous connaissons l’expression algébrique de cette force en fonction du temps 𝑡. Dans ce cas, 𝐹 de 𝑡 égale 𝑡 moins deux au carré newtons et on rappelle que pour une force variant dans le temps, l’impulsion due à cette force est égale à l’intégrale de la force par rapport au temps. Dans cette expression, 𝑡 un est l’instant initial et 𝑡 deux est l’instant final. Nous devons donc intégrer 𝐹 de 𝑡 sur l’intervalle de temps qui nous intéresse.

En appliquant cette relation à notre scénario, l’intervalle de temps est de 𝑡 égal à zéro seconde à 𝑡 égal à quatre secondes. Nous allons donc intégrer 𝐹 de 𝑡 par rapport au temps. Ceci, tout en faisant attention aux unités impliquées.

La première étape consiste à développer cette expression. 𝑡 moins deux au carré égale 𝑡 carré moins quatre 𝑡 plus quatre. Et nous allons à présent intégrer chacun de ces trois termes par rapport à 𝑡. L’intégrale de 𝑡 au carré par rapport à 𝑡 est 𝑡 au cube sur trois. L’intégrale de moins quatre 𝑡 par rapport à 𝑡 est moins deux 𝑡 au carré. Et celle de quatre est quatre fois 𝑡. On évalue maintenant cette expression en 𝑡 égale quatre secondes et en 𝑡 égale zéro seconde.

Remarquez qu’en substituant zéro secondes à 𝑡, les trois termes sont égaux à zéro. Il ne reste donc qu’à substituer 𝑡 égale quatre secondes. Avant de substituer cette valeur, séparons sa valeur numérique, soit quatre, et son unité, les secondes. Nous savons que l’impulsion obtenue sera exprimée en newton secondes. Car nous multiplions une force par une durée.

Nous pouvons donc sortir l’unité des quatre secondes de l’expression. Et la regrouper avec l’autre unité, le newton. Pour terminer le calcul de cette intégrale, on substitue donc quatre à 𝑡 ici, ici et ici. Ce qui donne cette expression.

On effectue ensuite quelques simplifications. Quatre au cube sur trois égale soixante-quatre sur trois. Moins deux fois quatre au carré égale moins 32. Et quatre fois quatre égale 16. Pour additionner ces fractions, nous devons nous assurer qu’elles ont le même dénominateur. On choisit le dénominateur commun trois donc moins 32 devient moins 96 sur trois et 16 devient plus 48 sur trois. En additionnant ces fractions, on obtient un résultat de seize sur trois newton secondes. Il s’agit de l’impulsion due à la force pendant les quatre premières secondes.

Prenons maintenant un moment pour passer en revue quelques points clés de cette leçon. Nous avons vu que l’impulsion subie par un objet est égale à sa variation de quantité de mouvement. Sous forme d’équation, on peut dire que 𝐼 égale 𝑚 fois Δ𝑣. Cette relation suppose que la masse de l’objet est constante dans le temps.

Nous avons vu que l’impulsion subie par un objet est égale à la force résultante agissant sur l’objet multipliée par la durée pendant laquelle cette force agit. Cette équation est vraie que la force 𝐹 soit constante ou varie dans le temps. Lorsque la force varie, l’impulsion peut être calculée grâce à une intégrale.

Enfin, nous avons vu que lorsque nous disposons d’un graphique temps-force, l’impulsion due à cette force sur un certain intervalle de temps est égale à l’aire sous la courbe.