Vidéo question :: Décrire une transformation donnée Mathématiques

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Si la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 au cube est transformée en 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 moins un au cube plus cinq, alors comment sa courbe représentative est-elle transformée ?

Dans cette question, nous transformons la courbe représentative de la fonction cubique 𝑦 égale 𝑥 au cube en la courbe 𝑦 égale 𝑥 moins un au cube plus cinq. Nous voulons déterminer la série exacte de transformations qui transforment cette courbe en l'autre. Il existe plusieurs façons de le faire. Nous pouvons, par exemple, le faire de plusieurs façons différentes en utilisant la fonction donnée.

Une façon de le faire est de noter que nous soustrayons une valeur de ℎ des valeurs d'entrée 𝑥 et que nous ajoutons une valeur de 𝑘 à la sortie de la fonction. Nous pouvons alors rappeler que soustraire une valeur ℎ des valeurs d'entrée d'une fonction va la déplacer de ℎ unités dans la direction horizontale. En ajoutant 𝑘 aux sorties de la fonction, la courbe sera déplacée de 𝑘 unités dans la direction verticale. Il s'agit seulement d'une façon de répondre à la question. Toutefois, nous pouvons aussi le faire en utilisant une méthode plus standard.

Nous pouvons remarquer que la fonction ainsi transformée est donnée sous la forme 𝑎 fois 𝑥 moins ℎ le tout au cube plus 𝑘. Nous pouvons rappeler que cela correspond à la forme standard pour les transformations de la fonction cubique. En effet, le signe de 𝑎 nous indique si la courbe a subi une symétrie par rapport à l'axe des 𝑥 et la valeur de 𝑎 nous indique la dilatation verticale de la courbe. Comme auparavant, les grandeurs de ℎ et 𝑘 nous indiquent la quantité de transformation que subit la courbe horizontalement et verticalement. Les signes de ces deux constantes nous indiquent les directions.

Dans notre cas, la valeur de 𝑎 est de un, la valeur de ℎ est de un et la valeur de 𝑘 est de cinq. Puisque la valeur de 𝑎 est un, nous pouvons noter qu'il y a une dilatation verticale de facteur un. En d'autres termes, il n'y a pas de dilatation verticale. Ensuite, la valeur de ℎ est de un. Celle-ci est positive, il s'agit donc d'une translation d'une unité vers la droite. Enfin, la valeur de 𝑘 est cinq. Elle est positive, il s'agit donc d'une translation de cinq unités vers le haut.

Cela nous donne donc notre réponse finale. Si la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube est transformée en 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 moins un au cube plus cinq, alors la courbe de 𝑦 égale 𝑥 au cube est décalée horizontalement vers la droite d'une unité et verticalement vers le haut de cinq unités.