Transcription de la vidéo
Ăquation dâun cercle
Dans cette vidĂ©o, nous allons dĂ©finir ce quâest un cercle et dĂ©montrer son Ă©quation ; nous apprendrons ensuite Ă dĂ©terminer lâĂ©quation dâun cercle Ă partir de son centre et dâun point sur le cercle ainsi quâĂ trouver le centre et le rayon dâun cercle Ă partir de son Ă©quation. Avant de passer Ă la recherche de lâĂ©quation dâun cercle, rappelons briĂšvement sa dĂ©finition mathĂ©matique. Un cercle est lâensemble ou le lieu de tous les points Ă une distance fixe dâun point donnĂ©. En dâautres termes, voici le centre de notre cercle et chaque point du cercle est Ă la mĂȘme distance de ce centre. On appelle cette distance, le rayon du cercle.
Maintenant, pour nous aider Ă trouver lâĂ©quation de ce cercle, nous allons devoir le tracer sur un repĂšre cartĂ©sien. Nous devons pour cela choisir un point pour le centre ; choisissons lâorigine. Il sâagit du point de coordonnĂ©es zĂ©ro, zĂ©ro et il est reprĂ©sentĂ© par un đ. Nous recherchons lâĂ©quation dâun cercle gĂ©nĂ©ral, nous allons donc simplement faire rĂ©fĂ©rence au rayon par la lettre đ. Choisissons maintenant un point sur le cercle. Et nous supposons que ses coordonnĂ©es sont đ„, đŠ. Nous devons alors trouver une relation entre đ„ et đŠ.
La premiĂšre chose que nous pouvons remarquer sur ce schĂ©ma est que đŠ nâest pas exprimĂ©e en fonction de đ„. ConsidĂ©rons pour cela une valeur de đ„. Pour que đŠ soit exprimĂ©e en fonction de đ„, chaque valeur de đ„ ne doit avoir pour image quâune seule valeur de đŠ. Nous voyons cependant quâune valeur de đ„ donne deux valeurs de đŠ dans ce cas. Par consĂ©quent, le cercle ne peut pas ĂȘtre reprĂ©sentĂ© par đŠ Ă©tant exprimĂ©e en fonction de đ„ et nous ne pouvons donc pas utiliser notre mĂ©thode habituelle. Essayons alors une mĂ©thode gĂ©omĂ©trique. Nous commençons par tracer un segment vertical allant de lâaxe des abscisses au point đ„, đŠ. Et comme il sâagit dâun segment vertical, il forme un triangle rectangle. Et nous pouvons en fait trouver la longueur de ce cĂŽtĂ© du triangle. Comme il va de lâaxe des abscisses au point đ„, đŠ, sa longueur est Ă©gale Ă đŠ.
Il convient de souligner que si le point đ„, đŠ Ă©tait situĂ© sous lâaxe des abscisses, nous aurions dĂ» prendre la valeur absolue de đŠ. Donc dans les deux cas, cette longueur est simplement Ă©gale Ă la valeur absolue de đŠ. Nous pouvons bien sĂ»r faire exactement la mĂȘme chose pour trouver la longueur de lâautre cĂŽtĂ© du triangle. Il va de lâaxe des ordonnĂ©es au point đ„, đŠ. Sa longueur est donc Ă©gale Ă la valeur absolue de đ„. Nous avons maintenant un triangle rectangle dont nous connaissons les trois longueurs de cĂŽtĂ©. Et nous allons appliquer le thĂ©orĂšme de Pythagore Ă ce triangle. Rappelez-vous quâil stipule que la somme des carrĂ©s des deux cĂŽtĂ©s les plus petits du triangle est Ă©gale au carrĂ© de lâhypotĂ©nuse.
Dans ce cas, la longueur dâun des cĂŽtĂ©s est Ă©gale Ă valeur absolue de đ„. La longueur de lâautre cĂŽtĂ© est Ă©gale Ă valeur absolue de đŠ. Et la longueur de lâhypotĂ©nuse est Ă©gale Ă đ. Donc dâaprĂšs le thĂ©orĂšme de Pythagore, on a la valeur absolue de đ„ au carrĂ© plus la valeur absolue de đŠ au carrĂ© Ă©gale đ au carrĂ©. Mais rappelez-vous que le signe dâun nombre nâa pas dâimportance lorsquâon le met au carrĂ©, le rĂ©sultat est le mĂȘme quâil soit positif ou nĂ©gatif. On peut donc simplifier la valeur absolue de đ„ au carrĂ© par đ„ au carrĂ© et la valeur absolue de đŠ au carrĂ© par đŠ au carrĂ©. On obtient alors đ„ carrĂ© plus đŠ carrĂ© Ă©gale đ carrĂ©. Et il sâagit de lâĂ©quation du cercle centrĂ© Ă lâorigine et de rayon đ.
Il convient Ă©galement de souligner que les points dâintersection du cercle avec les axes du repĂšre ne forment pas un tel triangle rectangle, nous donc devons vĂ©rifier sĂ©parĂ©ment que ces points correspondent bien Ă notre Ă©quation. Cependant, comme le rayon du cercle est Ă©gal Ă đ, nous pouvons simplement dĂ©terminer leurs coordonnĂ©es et voir quâelles vĂ©rifient toutes notre Ă©quation. Par consĂ©quent, chaque point du cercle vĂ©rifie lâĂ©quation đ„ carrĂ© plus đŠ carrĂ© Ă©gale đ carrĂ©. Nous avons ainsi dĂ©montrĂ© que lâĂ©quation dâun cercle centrĂ© Ă lâorigine et de rayon đ est đ„ carrĂ© plus đŠ carrĂ© Ă©gale đ carrĂ©.
Mais une nouvelle question se pose alors : que se passerait-il si nous nâavions pas choisi lâorigine comme centre ? Et si nous avions choisi un autre point ? Eh bien, nous pouvons en fait suivre presque le mĂȘme raisonnement. ConsidĂ©rons cet exemple oĂč le centre est le point â, đ. Nous choisissons Ă nouveau un point sur le cercle et lâappelons đ„, đŠ. Rappelez-vous que le rayon du cercle est Ă©gal Ă đ. Comme prĂ©cĂ©demment, nous formons le mĂȘme triangle rectangle. Mais nous devons cette fois ĂȘtre un peu plus prudents pour dĂ©terminer les dimensions de ce triangle rectangle. Par exemple, pour trouver la longueur du cĂŽtĂ© vertical de ce triangle, nous allons du point dâordonnĂ©e đ au point dâordonnĂ©e đŠ. La longueur de ce cĂŽtĂ© est donc Ă©gale Ă đŠ moins đ.
Il est cependant possible que la valeur de đŠ soit infĂ©rieure Ă la valeur de đ. Cela nous donnerait une rĂ©ponse nĂ©gative. Nous allons donc prendre la valeur absolue de đŠ moins đ. Et nous pouvons suivre le mĂȘme raisonnement pour trouver la longueur du cĂŽtĂ© horizontal du triangle rectangle. Cette fois, il va de â Ă đ„. Cela signifie que la longueur de ce cĂŽtĂ© est Ă©gale Ă valeur absolue de đ„ moins â. Et comme pour lâexemple prĂ©cĂ©dent, nous appliquons maintenant le thĂ©orĂšme de Pythagore Ă ce triangle rectangle. Il nous donne valeur absolue de đ„ moins â au carrĂ© plus valeur absolue de đŠ moins đ au carrĂ© Ă©gale đ au carrĂ©.
Et nous rappelons Ă nouveau que lâon peut annuler le symbole de la valeur absolue lorsquâon met au carrĂ© une valeur absolue. LâĂ©quation est donc Ă©quivalente Ă đ„ moins â au carrĂ© plus đŠ moins đ au carrĂ© Ă©gale đ carrĂ©. Et nous avons ainsi obtenu lâĂ©quation du cercle de centre â, đ et de rayon đ. Comme prĂ©cĂ©demment, quatre points sur le cercle ne permettent pas de former ce triangle rectangle. Mais comme nous lâavons fait auparavant, nous pouvons utiliser la longueur du rayon đ pour trouver les coordonnĂ©es de chacun de ces points. Et nous voyons alors quâelles vĂ©rifient Ă©galement notre Ă©quation. Nous avons ainsi montrĂ© que chaque point du cercle vĂ©rifie cette Ă©quation.
Par consĂ©quent, nous avons dĂ©montrĂ© quâun cercle de centre â, đ et de rayon đ a pour Ă©quation đ„ moins â au carrĂ© plus đŠ moins đ au carrĂ© Ă©gale đ carrĂ©. Nous pouvons donc dĂ©terminer lâĂ©quation du cercle Ă partir de son centre et de son rayon. Mais lâinverse est Ă©galement vrai. Si nous connaissons lâĂ©quation dâun cercle, nous pouvons trouver son centre et dĂ©terminer son rayon. Avant de passer Ă quelques exemples, nous devons aborder une derniĂšre chose : la forme dĂ©veloppĂ©e de lâĂ©quation dâun cercle. Pour lâobtenir, on doit dĂ©velopper les termes au carrĂ© dans lâĂ©quation du cercle. On obtient alors đ„ carrĂ© moins deux âđ„ plus â carrĂ© plus đŠ carrĂ© moins deux đđŠ plus đ carrĂ© Ă©gale đ carrĂ©.
Mais rappelez-vous que â, đ et đ ne sont que des constantes, on peut donc choisir de dĂ©signer moins deux â par đ, moins deux đ par đ et â carrĂ© plus đ carrĂ© moins đ carrĂ© par đ. En les rĂ©arrangeant, on obtient alors đ„ carrĂ© plus đŠ carrĂ© plus đđ„ plus đđŠ plus đ Ă©gale zĂ©ro. Cela sâappelle la forme dĂ©veloppĂ©e de lâĂ©quation dâun cercle. Passons maintenant Ă un exemple oĂč nous devons dĂ©terminer le centre et le rayon dâun cercle Ă partir de son Ă©quation.
Trouvez le centre et le rayon du cercle đ„ plus quatre au carrĂ© plus đŠ moins deux au carrĂ© Ă©gale Ă 225.
Nous connaissons lâĂ©quation dâun cercle. Et nous devons lâutiliser pour trouver son centre et son rayon. Commençons par rappeler lâĂ©quation dâun cercle. Un cercle de centre â, đ et de rayon đ a pour Ă©quation đ„ moins â au carrĂ© plus y moins đ au carrĂ© Ă©gale Ă đ carrĂ©. Et nous pouvons voir que lâĂ©quation donnĂ©e est presque sous cette forme. Nous devons cependant faire attention. Dans le premier terme, au lieu de soustraire une constante Ă đ„, on y additionne la constante quatre. Mais rappelez-vous quâadditionner quatre revient Ă soustraire moins quatre. On peut donc le rĂ©Ă©crire comme đ„ moins moins quatre au carrĂ© plus đŠ moins deux au carrĂ© Ă©gale 225.
Et le centre du cercle est Ă prĂ©sent facilement identifiable. La valeur de â est moins quatre et la valeur de đ est deux. Il ne nous reste maintenant plus quâĂ calculer le rayon du cercle. Dans ce cas, le rayon au carrĂ© est Ă©gal Ă 225. Donc đ carrĂ© Ă©gale Ă 225. Et câest assez simple Ă rĂ©soudre. Il suffit de prendre la racine carrĂ©e des deux membres de cette Ă©quation. On obtient normalement une racine carrĂ©e positive et une racine carrĂ©e nĂ©gative. Mais rappelez-vous que r reprĂ©sente le rayon. Câest une longueur et elle doit donc ĂȘtre positive. On obtient ainsi đ Ă©gale Ă la racine carrĂ©e positive de 225. Ce qui donne 15. On peut donc Ă©crire 225 comme 15 au carrĂ©. Cela signifie que le rayon du cercle est Ă©gal Ă 15.
Rappelez-vous que le centre du cercle est le point de coordonnĂ©es â, đ. Nous avons montrĂ© que â est Ă©gal Ă moins quatre et que đ est Ă©gal Ă deux. Et nous avons montrĂ© que le rayon est de 15. Par consĂ©quent, sachant que lâĂ©quation du cercle est đ„ plus quatre au carrĂ© plus đŠ moins deux au carrĂ© Ă©gale 225, nous avons montrĂ© que le centre de ce cercle est le point moins quatre, deux et le rayon de ce cercle est 15.
Passons maintenant Ă un exemple oĂč nous devons trouver lâĂ©quation dâun cercle Ă partir de sa courbe.
Ă lâaide de la figure ci-dessous, dĂ©terminez lâĂ©quation du cercle.
Nous avons la courbe dâun cercle. Et nous devons trouver son Ă©quation. Commençons par rappeler ce que nous savons de lâĂ©quation dâun cercle. Nous savons quâun cercle de centre â, đ et de rayon đ a pour Ă©quation đ„ moins â au carrĂ© plus đŠ moins đ au carrĂ© Ă©gale đ carrĂ©. Donc pour dĂ©terminer lâĂ©quation dâun cercle, il suffit de trouver son centre et son rayon. On rappelle que chaque point du cercle doit ĂȘtre Ă©quidistant de son centre. Dans ce cas, le centre du cercle est indiquĂ© ici. Nous devons donc simplement dĂ©terminer ses coordonnĂ©es.
En allant verticalement du centre vers lâaxe des abscisses, nous pouvons voir que son abscisse est moins cinq. Et en faisant la mĂȘme chose horizontalement, nous voyons que lâordonnĂ©e du centre est moins quatre. Le centre de ce cercle a donc les coordonnĂ©es moins cinq, moins quatre. Mais comment pouvons-nous trouver le rayon de ce cercle ? Rappelez-vous que le rayon est Ă©gal Ă la longueur de tout segment allant du centre Ă la courbe du cercle. Nous pouvons choisir une infinitĂ© de rayons. Par exemple, ce segment en violet. Il sâagit dâun segment horizontal qui va du centre du cercle au point dâabscisse zĂ©ro. Le rayon est donc Ă©gal Ă la longueur de ce segment horizontal allant de đ„ Ă©gale Ă moins cinq Ă đ„ Ă©gale Ă zĂ©ro.
Bien sĂ»r, la longueur de ce segment est simplement Ă©gale Ă cinq. Donc la valeur de đ est cinq. Nous devons maintenant substituer les valeurs de â, đ et đ dans lâĂ©quation dâun cercle. En remplaçant par â Ă©gale Ă moins cinq, đ Ă©gale Ă moins quatre et đ Ă©gale Ă cinq, on obtient đ„ moins moins cinq au carrĂ© plus đŠ moins moins quatre au carrĂ© Ă©gale Ă cinq au carrĂ©. Et nous pourrions laisser notre rĂ©ponse comme ceci. Mais nous pouvons Ă©galement simplifier đ„ moins moins cinq par đ„ plus cinq et đŠ moins moins quatre par đŠ plus quatre. Et bien sĂ»r, nous pouvons de plus calculer que cinq au carrĂ© Ă©gale Ă 25. Par consĂ©quent, lâĂ©quation du cercle reprĂ©sentĂ© sur la figure est đ„ plus cinq au carrĂ© plus đŠ plus quatre au carrĂ© Ă©gale 25.
Voyons maintenant un exemple de recherche de lâĂ©quation dĂ©veloppĂ©e dâun cercle.
Ăcrivez lâĂ©quation du cercle de rayon 10 et de centre quatre, moins sept sous la forme đđ„ carrĂ© plus đđŠ carrĂ© plus đđ„ plus đđŠ plus đ Ă©gale zĂ©ro.
La question nous demande de dĂ©terminer lâĂ©quation dâun cercle de rayon 10 et de centre quatre, moins sept. Et il est spĂ©cifiĂ© de la donner sous forme dĂ©veloppĂ©e. Commençons par rappeler lâĂ©quation dâun cercle. Un cercle de rayon đ et de centre â, đ a pour Ă©quation đ„ moins â au carrĂ© plus đŠ moins đ au carrĂ© Ă©gale đ carrĂ©. Pour cet exemple, nous connaissons dĂ©jĂ le centre et le rayon de notre cercle. Le cercle a pour centre le point quatre, moins sept. Donc la valeur de â est quatre et la valeur de đ est moins sept. Et le cercle a un rayon de 10 donc la valeur de đ est 10.
Nous devons donc simplement substituer ces valeurs dans lâĂ©quation du cercle. On obtient alors lâĂ©quation đ„ moins quatre au carrĂ© plus đŠ moins moins sept au carrĂ© Ă©gale 10 au carrĂ©. Bien sĂ»r, cela nâest pas la forme dĂ©veloppĂ©e de lâĂ©quation dâun cercle. Nous devons dĂ©velopper les termes au carrĂ© pour lâobtenir. Il y a plusieurs mĂ©thodes pour le faire. Nous pourrions par exemple utiliser la double distributivitĂ© ou les identitĂ©s remarquables. Quelle que soit la mĂ©thode, en dĂ©veloppant le carrĂ© du premier ensemble de parenthĂšses, on obtient đ„ carrĂ© moins huit đ„ plus 16.
Pour dĂ©velopper le carrĂ© du deuxiĂšme ensemble de parenthĂšses, on le rĂ©Ă©crit dâabord par đŠ plus sept au carrĂ©. On obtient alors đŠ carrĂ© plus 14đŠ plus 49. La derniĂšre chose Ă faire est dâĂ©valuer 10 au carrĂ©, ce qui donne 100. Il ne reste plus quâĂ regrouper les termes pour obtenir la forme demandĂ©e dans la question. Pour commencer, on rĂ©organise ces quatre termes, ce qui donne đ„ carrĂ© plus đŠ carrĂ© moins huit đ„ plus 14đŠ. On soustrait ensuite 100 aux deux membres de lâĂ©quation. En faisant cela, on obtient un terme constant de 16 plus 49 moins 100. Ce qui fait moins 35.
Nous obtenons donc lâĂ©quation đ„ carrĂ© plus đŠ carrĂ© moins huit đ„ plus 14đŠ moins 35 Ă©gale zĂ©ro. Et il sâagit bien de lâĂ©quation dĂ©veloppĂ©e demandĂ©e. Par consĂ©quent, lâĂ©quation dĂ©veloppĂ©e du cercle de rayon 10 et de centre quatre, moins sept est đ„ carrĂ© plus đŠ carrĂ© moins huit đ„ plus 14đŠ moins 35 Ă©gale Ă zĂ©ro.
Voyons maintenant un exemple oĂč nous devons dĂ©terminer lâĂ©quation dâun cercle Ă partir de son centre et dâun point situĂ© sur le cercle.
DĂ©terminez lâĂ©quation du cercle qui passe par le point đŽ : zĂ©ro, huit et de centre đ : moins deux, moins six.
La question demande de dĂ©terminer lâĂ©quation dâun cercle. Il est indiquĂ© que ce cercle passe par le point đŽ de coordonnĂ©es zĂ©ro, huit. Et que le centre de ce cercle est le point đ de coordonnĂ©es moins deux, moins six. Commençons par dessiner ce que nous savons de ce cercle. Nous reprĂ©sentons dâabord le centre du cercle sur notre graphique. Câest le point đ. Il a les coordonnĂ©es moins deux, moins six. Nous traçons Ă prĂ©sent le point đŽ sur notre graphique. On rappelle que le cercle passe par ce point et quâil a les coordonnĂ©es zĂ©ro, huit. Nous nâavons pas besoin de tracer la totalitĂ© du cercle pour rĂ©pondre Ă cette question mais en tracer au moins une partie nous aidera Ă visualiser ce qui se passe.
Rappelons maintenant ce que nous savons des Ă©quations des cercles. Un cercle de centre â, đ et de rayon đ a pour Ă©quation đ„ moins â au carrĂ© plus đŠ moins đ au carrĂ© Ă©gale đ carrĂ©. En dâautres termes, pour trouver lâĂ©quation dâun cercle, il nous suffit de connaĂźtre les coordonnĂ©es de son centre et la longueur de son rayon. Dans cet exemple, nous connaissons dĂ©jĂ les coordonnĂ©es du centre du cercle. Son centre est situĂ© au point moins deux, moins six. Nous pouvons donc dĂ©finir â Ă©gale Ă moins deux et đ Ă©gale Ă moins six. Il ne nous reste ainsi plus quâĂ calculer le rayon du cercle pour dĂ©terminer son Ă©quation.
Rappelez-vous que đ est Ă©gal Ă la distance entre le centre et nâimporte quel point du cercle. Nous ne connaissons les coordonnĂ©es que dâun seul point du cercle. Il sâagit du point đŽ. Nous devons donc calculer la longueur du segment entre les points moins deux, moins six et zĂ©ro, huit pour trouver la valeur de đ. Et il existe diffĂ©rentes façons dâaborder ce problĂšme. Nous allons ici dessiner le triangle rectangle suivant. Nous relions le point đ Ă lâaxe des ordonnĂ©es par un segment horizontal. La longueur de ce cĂŽtĂ© du triangle est alors Ă©gale Ă la valeur absolue de lâabscisse de đ, ce qui fait deux. La longueur de cette section est Ă©gale Ă la valeur absolue de lâordonnĂ©e de đ, soit six. Et la longueur de cette section du triangle est Ă©gale Ă lâordonnĂ©e de đŽ, qui est huit.
On peut ensuite additionner ces deux longueurs et on trouve que la longueur du cĂŽtĂ© vertical du triangle est Ă©gale Ă huit plus six, soit 14. Nous avons maintenant un triangle rectangle dont nous connaissons les longueurs des deux cĂŽtĂ©s les plus petits. Nous pouvons donc appliquer le thĂ©orĂšme de Pythagore pour trouver la longueur de son hypotĂ©nuse. Il nous indique que đ au carrĂ© est Ă©gal Ă deux au carrĂ© plus 14 au carrĂ©. Et deux au carrĂ© plus 14 au carrĂ© Ă©gale 200. Nous pourrions donc maintenant calculer le rayon. Il serait Ă©gal Ă la racine carrĂ©e positive de 200 car nous rappelons que le rayon est une longueur et qui doit donc ĂȘtre positif. Nous nâavons cependant besoin que de la valeur de đ carrĂ© dans la formule, et nous savons quâelle est de 200.
On peut donc simplement remplacer par đ carrĂ© Ă©gale 200, â Ă©gale moins deux et đ Ă©gale moins six dans lâĂ©quation du cercle. On obtient đ„ moins moins deux au carrĂ© plus đŠ moins moins six au carrĂ© Ă©gale 200. Et on peut enfin simplifier đ„ moins moins deux par đ„ plus deux et đŠ moins moins six par đŠ plus six. Et nous obtenons ainsi notre rĂ©ponse finale. Nous avons pu montrer que le cercle de centre đ : moins deux, moins six et passant par le point đŽ : zĂ©ro, huit a pour Ă©quation đ„ plus deux au carrĂ© plus đŠ plus six au carrĂ© Ă©gale 200.
Passons maintenant en revue les points clĂ©s de cette vidĂ©o. Tout dâabord, en utilisant la dĂ©finition dâun cercle et le thĂ©orĂšme de Pythagore, nous avons pu dĂ©montrer quâun cercle de rayon đ et de centre â, đ a pour Ă©quation đ„ moins â au carrĂ© plus đŠ moins đ au carrĂ© Ă©gale Ă đ carrĂ©. Nous avons Ă©galement vu que nous pouvons trouver le centre et le rayon dâun cercle Ă partir de son Ă©quation. Si un cercle a pour Ă©quation đ„ moins â au carrĂ© plus đŠ moins đ au carrĂ© Ă©gale đ carrĂ©, alors son centre est le point â, đ et son rayon est Ă©gal Ă đ, oĂč đ est bien sĂ»r un nombre positif car il reprĂ©sente une longueur.
Nous avons de plus montrĂ© que nous pouvons trouver lâĂ©quation dâun cercle quand nous ne connaissons que les coordonnĂ©es de son centre et dâun point sur le cercle. Nous pouvons en effet calculer dans ce cas le rayon, qui est simplement Ă©gal Ă la distance entre le centre et le point sur le cercle. Et nous pouvons calculer cette distance Ă lâaide du thĂ©orĂšme de Pythagore. Enfin, nous avons pu montrer quâen dĂ©veloppant les termes au carrĂ© dans lâĂ©quation dâun cercle, nous obtenons lâĂ©quation dĂ©veloppĂ©e đ„ carrĂ© plus đŠ carrĂ© plus đđ„ plus đđŠ plus đ Ă©gale Ă zĂ©ro pour des constantes đ, đ et đ.