Vidéo de la leçon : Équation d’un cercle Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer l’équation d’un cercle à partir de son centre et d’un point sur le cercle ou du rayon, et inversement.

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Transcription de vidéo

Équation d’un cercle

Dans cette vidéo, nous allons définir ce qu’est un cercle et démontrer son équation ; nous apprendrons ensuite à déterminer l’équation d’un cercle à partir de son centre et d’un point sur le cercle ainsi qu’à trouver le centre et le rayon d’un cercle à partir de son équation. Avant de passer à la recherche de l’équation d’un cercle, rappelons brièvement sa définition mathématique. Un cercle est l’ensemble ou le lieu de tous les points à une distance fixe d’un point donné. En d’autres termes, voici le centre de notre cercle et chaque point du cercle est à la même distance de ce centre. On appelle cette distance, le rayon du cercle.

Maintenant, pour nous aider à trouver l’équation de ce cercle, nous allons devoir le tracer sur un repère cartésien. Nous devons pour cela choisir un point pour le centre ; choisissons l’origine. Il s’agit du point de coordonnées zéro, zéro et il est représenté par un 𝑂. Nous recherchons l’équation d’un cercle général, nous allons donc simplement faire référence au rayon par la lettre 𝑟. Choisissons maintenant un point sur le cercle. Et nous supposons que ses coordonnées sont 𝑥, 𝑦. Nous devons alors trouver une relation entre 𝑥 et 𝑦.

La première chose que nous pouvons remarquer sur ce schéma est que 𝑦 n’est pas exprimée en fonction de 𝑥. Considérons pour cela une valeur de 𝑥. Pour que 𝑦 soit exprimée en fonction de 𝑥, chaque valeur de 𝑥 ne doit avoir pour image qu’une seule valeur de 𝑦. Nous voyons cependant qu’une valeur de 𝑥 donne deux valeurs de 𝑦 dans ce cas. Par conséquent, le cercle ne peut pas être représenté par 𝑦 étant exprimée en fonction de 𝑥 et nous ne pouvons donc pas utiliser notre méthode habituelle. Essayons alors une méthode géométrique. Nous commençons par tracer un segment vertical allant de l’axe des abscisses au point 𝑥, 𝑦. Et comme il s’agit d’un segment vertical, il forme un triangle rectangle. Et nous pouvons en fait trouver la longueur de ce côté du triangle. Comme il va de l’axe des abscisses au point 𝑥, 𝑦, sa longueur est égale à 𝑦.

Il convient de souligner que si le point 𝑥, 𝑦 était situé sous l’axe des abscisses, nous aurions dû prendre la valeur absolue de 𝑦. Donc dans les deux cas, cette longueur est simplement égale à la valeur absolue de 𝑦. Nous pouvons bien sûr faire exactement la même chose pour trouver la longueur de l’autre côté du triangle. Il va de l’axe des ordonnées au point 𝑥, 𝑦. Sa longueur est donc égale à la valeur absolue de 𝑥. Nous avons maintenant un triangle rectangle dont nous connaissons les trois longueurs de côté. Et nous allons appliquer le théorème de Pythagore à ce triangle. Rappelez-vous qu’il stipule que la somme des carrés des deux côtés les plus petits du triangle est égale au carré de l’hypoténuse.

Dans ce cas, la longueur d’un des côtés est égale à valeur absolue de 𝑥. La longueur de l’autre côté est égale à valeur absolue de 𝑦. Et la longueur de l’hypoténuse est égale à 𝑟. Donc d’après le théorème de Pythagore, on a la valeur absolue de 𝑥 au carré plus la valeur absolue de 𝑦 au carré égale 𝑟 au carré. Mais rappelez-vous que le signe d’un nombre n’a pas d’importance lorsqu’on le met au carré, le résultat est le même qu’il soit positif ou négatif. On peut donc simplifier la valeur absolue de 𝑥 au carré par 𝑥 au carré et la valeur absolue de 𝑦 au carré par 𝑦 au carré. On obtient alors 𝑥 carré plus 𝑦 carré égale 𝑟 carré. Et il s’agit de l’équation du cercle centré à l’origine et de rayon 𝑟.

Il convient également de souligner que les points d’intersection du cercle avec les axes du repère ne forment pas un tel triangle rectangle, nous donc devons vérifier séparément que ces points correspondent bien à notre équation. Cependant, comme le rayon du cercle est égal à 𝑟, nous pouvons simplement déterminer leurs coordonnées et voir qu’elles vérifient toutes notre équation. Par conséquent, chaque point du cercle vérifie l’équation 𝑥 carré plus 𝑦 carré égale 𝑟 carré. Nous avons ainsi démontré que l’équation d’un cercle centré à l’origine et de rayon 𝑟 est 𝑥 carré plus 𝑦 carré égale 𝑟 carré.

Mais une nouvelle question se pose alors : que se passerait-il si nous n’avions pas choisi l’origine comme centre ? Et si nous avions choisi un autre point ? Eh bien, nous pouvons en fait suivre presque le même raisonnement. Considérons cet exemple où le centre est le point ℎ, 𝑘. Nous choisissons à nouveau un point sur le cercle et l’appelons 𝑥, 𝑦. Rappelez-vous que le rayon du cercle est égal à 𝑟. Comme précédemment, nous formons le même triangle rectangle. Mais nous devons cette fois être un peu plus prudents pour déterminer les dimensions de ce triangle rectangle. Par exemple, pour trouver la longueur du côté vertical de ce triangle, nous allons du point d’ordonnée 𝑘 au point d’ordonnée 𝑦. La longueur de ce côté est donc égale à 𝑦 moins 𝑘.

Il est cependant possible que la valeur de 𝑦 soit inférieure à la valeur de 𝑘. Cela nous donnerait une réponse négative. Nous allons donc prendre la valeur absolue de 𝑦 moins 𝑘. Et nous pouvons suivre le même raisonnement pour trouver la longueur du côté horizontal du triangle rectangle. Cette fois, il va de ℎ à 𝑥. Cela signifie que la longueur de ce côté est égale à valeur absolue de 𝑥 moins ℎ. Et comme pour l’exemple précédent, nous appliquons maintenant le théorème de Pythagore à ce triangle rectangle. Il nous donne valeur absolue de 𝑥 moins ℎ au carré plus valeur absolue de 𝑦 moins 𝑘 au carré égale 𝑟 au carré.

Et nous rappelons à nouveau que l’on peut annuler le symbole de la valeur absolue lorsqu’on met au carré une valeur absolue. L’équation est donc équivalente à 𝑥 moins ℎ au carré plus 𝑦 moins 𝑘 au carré égale 𝑟 carré. Et nous avons ainsi obtenu l’équation du cercle de centre ℎ, 𝑘 et de rayon 𝑟. Comme précédemment, quatre points sur le cercle ne permettent pas de former ce triangle rectangle. Mais comme nous l’avons fait auparavant, nous pouvons utiliser la longueur du rayon 𝑟 pour trouver les coordonnées de chacun de ces points. Et nous voyons alors qu’elles vérifient également notre équation. Nous avons ainsi montré que chaque point du cercle vérifie cette équation.

Par conséquent, nous avons démontré qu’un cercle de centre ℎ, 𝑘 et de rayon 𝑟 a pour équation 𝑥 moins ℎ au carré plus 𝑦 moins 𝑘 au carré égale 𝑟 carré. Nous pouvons donc déterminer l’équation du cercle à partir de son centre et de son rayon. Mais l’inverse est également vrai. Si nous connaissons l’équation d’un cercle, nous pouvons trouver son centre et déterminer son rayon. Avant de passer à quelques exemples, nous devons aborder une dernière chose : la forme développée de l’équation d’un cercle. Pour l’obtenir, on doit développer les termes au carré dans l’équation du cercle. On obtient alors 𝑥 carré moins deux ℎ𝑥 plus ℎ carré plus 𝑦 carré moins deux 𝑘𝑦 plus 𝑘 carré égale 𝑟 carré.

Mais rappelez-vous que ℎ, 𝑘 et 𝑟 ne sont que des constantes, on peut donc choisir de désigner moins deux ℎ par 𝑎, moins deux 𝑘 par 𝑏 et ℎ carré plus 𝑘 carré moins 𝑟 carré par 𝑐. En les réarrangeant, on obtient alors 𝑥 carré plus 𝑦 carré plus 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro. Cela s’appelle la forme développée de l’équation d’un cercle. Passons maintenant à un exemple où nous devons déterminer le centre et le rayon d’un cercle à partir de son équation.

Trouvez le centre et le rayon du cercle 𝑥 plus quatre au carré plus 𝑦 moins deux au carré égale à 225.

Nous connaissons l’équation d’un cercle. Et nous devons l’utiliser pour trouver son centre et son rayon. Commençons par rappeler l’équation d’un cercle. Un cercle de centre ℎ, 𝑘 et de rayon 𝑟 a pour équation 𝑥 moins ℎ au carré plus y moins 𝑘 au carré égale à 𝑟 carré. Et nous pouvons voir que l’équation donnée est presque sous cette forme. Nous devons cependant faire attention. Dans le premier terme, au lieu de soustraire une constante à 𝑥, on y additionne la constante quatre. Mais rappelez-vous qu’additionner quatre revient à soustraire moins quatre. On peut donc le réécrire comme 𝑥 moins moins quatre au carré plus 𝑦 moins deux au carré égale 225.

Et le centre du cercle est à présent facilement identifiable. La valeur de ℎ est moins quatre et la valeur de 𝑘 est deux. Il ne nous reste maintenant plus qu’à calculer le rayon du cercle. Dans ce cas, le rayon au carré est égal à 225. Donc 𝑟 carré égale à 225. Et c’est assez simple à résoudre. Il suffit de prendre la racine carrée des deux membres de cette équation. On obtient normalement une racine carrée positive et une racine carrée négative. Mais rappelez-vous que r représente le rayon. C’est une longueur et elle doit donc être positive. On obtient ainsi 𝑟 égale à la racine carrée positive de 225. Ce qui donne 15. On peut donc écrire 225 comme 15 au carré. Cela signifie que le rayon du cercle est égal à 15.

Rappelez-vous que le centre du cercle est le point de coordonnées ℎ, 𝑘. Nous avons montré que ℎ est égal à moins quatre et que 𝑘 est égal à deux. Et nous avons montré que le rayon est de 15. Par conséquent, sachant que l’équation du cercle est 𝑥 plus quatre au carré plus 𝑦 moins deux au carré égale 225, nous avons montré que le centre de ce cercle est le point moins quatre, deux et le rayon de ce cercle est 15.

Passons maintenant à un exemple où nous devons trouver l’équation d’un cercle à partir de sa courbe.

À l’aide de la figure ci-dessous, déterminez l’équation du cercle.

Nous avons la courbe d’un cercle. Et nous devons trouver son équation. Commençons par rappeler ce que nous savons de l’équation d’un cercle. Nous savons qu’un cercle de centre ℎ, 𝑘 et de rayon 𝑟 a pour équation 𝑥 moins ℎ au carré plus 𝑦 moins 𝑘 au carré égale 𝑟 carré. Donc pour déterminer l’équation d’un cercle, il suffit de trouver son centre et son rayon. On rappelle que chaque point du cercle doit être équidistant de son centre. Dans ce cas, le centre du cercle est indiqué ici. Nous devons donc simplement déterminer ses coordonnées.

En allant verticalement du centre vers l’axe des abscisses, nous pouvons voir que son abscisse est moins cinq. Et en faisant la même chose horizontalement, nous voyons que l’ordonnée du centre est moins quatre. Le centre de ce cercle a donc les coordonnées moins cinq, moins quatre. Mais comment pouvons-nous trouver le rayon de ce cercle ? Rappelez-vous que le rayon est égal à la longueur de tout segment allant du centre à la courbe du cercle. Nous pouvons choisir une infinité de rayons. Par exemple, ce segment en violet. Il s’agit d’un segment horizontal qui va du centre du cercle au point d’abscisse zéro. Le rayon est donc égal à la longueur de ce segment horizontal allant de 𝑥 égale à moins cinq à 𝑥 égale à zéro.

Bien sûr, la longueur de ce segment est simplement égale à cinq. Donc la valeur de 𝑟 est cinq. Nous devons maintenant substituer les valeurs de ℎ, 𝑘 et 𝑟 dans l’équation d’un cercle. En remplaçant par ℎ égale à moins cinq, 𝑘 égale à moins quatre et 𝑟 égale à cinq, on obtient 𝑥 moins moins cinq au carré plus 𝑦 moins moins quatre au carré égale à cinq au carré. Et nous pourrions laisser notre réponse comme ceci. Mais nous pouvons également simplifier 𝑥 moins moins cinq par 𝑥 plus cinq et 𝑦 moins moins quatre par 𝑦 plus quatre. Et bien sûr, nous pouvons de plus calculer que cinq au carré égale à 25. Par conséquent, l’équation du cercle représenté sur la figure est 𝑥 plus cinq au carré plus 𝑦 plus quatre au carré égale 25.

Voyons maintenant un exemple de recherche de l’équation développée d’un cercle.

Écrivez l’équation du cercle de rayon 10 et de centre quatre, moins sept sous la forme 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑦 carré plus 𝑐𝑥 plus 𝑑𝑦 plus 𝑒 égale zéro.

La question nous demande de déterminer l’équation d’un cercle de rayon 10 et de centre quatre, moins sept. Et il est spécifié de la donner sous forme développée. Commençons par rappeler l’équation d’un cercle. Un cercle de rayon 𝑟 et de centre ℎ, 𝑘 a pour équation 𝑥 moins ℎ au carré plus 𝑦 moins 𝑘 au carré égale 𝑟 carré. Pour cet exemple, nous connaissons déjà le centre et le rayon de notre cercle. Le cercle a pour centre le point quatre, moins sept. Donc la valeur de ℎ est quatre et la valeur de 𝑘 est moins sept. Et le cercle a un rayon de 10 donc la valeur de 𝑟 est 10.

Nous devons donc simplement substituer ces valeurs dans l’équation du cercle. On obtient alors l’équation 𝑥 moins quatre au carré plus 𝑦 moins moins sept au carré égale 10 au carré. Bien sûr, cela n’est pas la forme développée de l’équation d’un cercle. Nous devons développer les termes au carré pour l’obtenir. Il y a plusieurs méthodes pour le faire. Nous pourrions par exemple utiliser la double distributivité ou les identités remarquables. Quelle que soit la méthode, en développant le carré du premier ensemble de parenthèses, on obtient 𝑥 carré moins huit 𝑥 plus 16.

Pour développer le carré du deuxième ensemble de parenthèses, on le réécrit d’abord par 𝑦 plus sept au carré. On obtient alors 𝑦 carré plus 14𝑦 plus 49. La dernière chose à faire est d’évaluer 10 au carré, ce qui donne 100. Il ne reste plus qu’à regrouper les termes pour obtenir la forme demandée dans la question. Pour commencer, on réorganise ces quatre termes, ce qui donne 𝑥 carré plus 𝑦 carré moins huit 𝑥 plus 14𝑦. On soustrait ensuite 100 aux deux membres de l’équation. En faisant cela, on obtient un terme constant de 16 plus 49 moins 100. Ce qui fait moins 35.

Nous obtenons donc l’équation 𝑥 carré plus 𝑦 carré moins huit 𝑥 plus 14𝑦 moins 35 égale zéro. Et il s’agit bien de l’équation développée demandée. Par conséquent, l’équation développée du cercle de rayon 10 et de centre quatre, moins sept est 𝑥 carré plus 𝑦 carré moins huit 𝑥 plus 14𝑦 moins 35 égale à zéro.

Voyons maintenant un exemple où nous devons déterminer l’équation d’un cercle à partir de son centre et d’un point situé sur le cercle.

Déterminez l’équation du cercle qui passe par le point 𝐴 : zéro, huit et de centre 𝑀 : moins deux, moins six.

La question demande de déterminer l’équation d’un cercle. Il est indiqué que ce cercle passe par le point 𝐴 de coordonnées zéro, huit. Et que le centre de ce cercle est le point 𝑀 de coordonnées moins deux, moins six. Commençons par dessiner ce que nous savons de ce cercle. Nous représentons d’abord le centre du cercle sur notre graphique. C’est le point 𝑀. Il a les coordonnées moins deux, moins six. Nous traçons à présent le point 𝐴 sur notre graphique. On rappelle que le cercle passe par ce point et qu’il a les coordonnées zéro, huit. Nous n’avons pas besoin de tracer la totalité du cercle pour répondre à cette question mais en tracer au moins une partie nous aidera à visualiser ce qui se passe.

Rappelons maintenant ce que nous savons des équations des cercles. Un cercle de centre ℎ, 𝑘 et de rayon 𝑟 a pour équation 𝑥 moins ℎ au carré plus 𝑦 moins 𝑘 au carré égale 𝑟 carré. En d’autres termes, pour trouver l’équation d’un cercle, il nous suffit de connaître les coordonnées de son centre et la longueur de son rayon. Dans cet exemple, nous connaissons déjà les coordonnées du centre du cercle. Son centre est situé au point moins deux, moins six. Nous pouvons donc définir ℎ égale à moins deux et 𝑘 égale à moins six. Il ne nous reste ainsi plus qu’à calculer le rayon du cercle pour déterminer son équation.

Rappelez-vous que 𝑟 est égal à la distance entre le centre et n’importe quel point du cercle. Nous ne connaissons les coordonnées que d’un seul point du cercle. Il s’agit du point 𝐴. Nous devons donc calculer la longueur du segment entre les points moins deux, moins six et zéro, huit pour trouver la valeur de 𝑟. Et il existe différentes façons d’aborder ce problème. Nous allons ici dessiner le triangle rectangle suivant. Nous relions le point 𝑀 à l’axe des ordonnées par un segment horizontal. La longueur de ce côté du triangle est alors égale à la valeur absolue de l’abscisse de 𝑀, ce qui fait deux. La longueur de cette section est égale à la valeur absolue de l’ordonnée de 𝑀, soit six. Et la longueur de cette section du triangle est égale à l’ordonnée de 𝐴, qui est huit.

On peut ensuite additionner ces deux longueurs et on trouve que la longueur du côté vertical du triangle est égale à huit plus six, soit 14. Nous avons maintenant un triangle rectangle dont nous connaissons les longueurs des deux côtés les plus petits. Nous pouvons donc appliquer le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de son hypoténuse. Il nous indique que 𝑟 au carré est égal à deux au carré plus 14 au carré. Et deux au carré plus 14 au carré égale 200. Nous pourrions donc maintenant calculer le rayon. Il serait égal à la racine carrée positive de 200 car nous rappelons que le rayon est une longueur et qui doit donc être positif. Nous n’avons cependant besoin que de la valeur de 𝑟 carré dans la formule, et nous savons qu’elle est de 200.

On peut donc simplement remplacer par 𝑟 carré égale 200, ℎ égale moins deux et 𝑘 égale moins six dans l’équation du cercle. On obtient 𝑥 moins moins deux au carré plus 𝑦 moins moins six au carré égale 200. Et on peut enfin simplifier 𝑥 moins moins deux par 𝑥 plus deux et 𝑦 moins moins six par 𝑦 plus six. Et nous obtenons ainsi notre réponse finale. Nous avons pu montrer que le cercle de centre 𝑀 : moins deux, moins six et passant par le point 𝐴 : zéro, huit a pour équation 𝑥 plus deux au carré plus 𝑦 plus six au carré égale 200.

Passons maintenant en revue les points clés de cette vidéo. Tout d’abord, en utilisant la définition d’un cercle et le théorème de Pythagore, nous avons pu démontrer qu’un cercle de rayon 𝑟 et de centre ℎ, 𝑘 a pour équation 𝑥 moins ℎ au carré plus 𝑦 moins 𝑘 au carré égale à 𝑟 carré. Nous avons également vu que nous pouvons trouver le centre et le rayon d’un cercle à partir de son équation. Si un cercle a pour équation 𝑥 moins ℎ au carré plus 𝑦 moins 𝑘 au carré égale 𝑟 carré, alors son centre est le point ℎ, 𝑘 et son rayon est égal à 𝑟, où 𝑟 est bien sûr un nombre positif car il représente une longueur.

Nous avons de plus montré que nous pouvons trouver l’équation d’un cercle quand nous ne connaissons que les coordonnées de son centre et d’un point sur le cercle. Nous pouvons en effet calculer dans ce cas le rayon, qui est simplement égal à la distance entre le centre et le point sur le cercle. Et nous pouvons calculer cette distance à l’aide du théorème de Pythagore. Enfin, nous avons pu montrer qu’en développant les termes au carré dans l’équation d’un cercle, nous obtenons l’équation développée 𝑥 carré plus 𝑦 carré plus 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale à zéro pour des constantes 𝑎, 𝑏 et 𝑐.

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