Vidéo : Distances et points médians sur le plan complexe

Dans cette vidéo, nous apprendrons à trouver la distance et le milieu de deux nombres complexes dans le plan complexe.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons en apprendre davantage sur les distances et les points médians sur le plan complexe. Et ce faisant, nous verrons quelques exemples de base de la façon dont les nombres complexes peuvent aider à résoudre des problèmes géométriques. Commençons par un exemple.

Quelle est la distance entre les nombres moins deux et six sur le plan complexe ?

Nous voyons que nous avons déjà un plan complexe ou un diagramme d’Argand dessiné pour nous, avec les nombres moins deux et six marqués. Notre question est quelle est la distance entre ces deux nombres sur le plan complexe. Eh bien, les deux et moins six ne sont pas seulement des nombres complexes. Ce sont aussi des chiffres réels. Et donc ils se trouvent sur l’axe réel du plan complexe, que nous pouvons simplement considérer comme la droite numérique normale.

La distance est mesurée le long de cette droite numérique réelle. Et nous voyons que pour passer de deux à moins six, nous devons déplacer deux unités pour atteindre le zéro, puis six autres unités pour atteindre six, soit un total de huit unités. Il s’agit de la distance entre deux et moins six sur le plan complexe. Et c’est exactement la même chose que la distance entre les nombres réels moins deux et six sur la droite des nombres réels.

Voyons maintenant un exemple impliquant des nombres imaginaires.

Quelle est la distance entre les nombres moins trois 𝑖 et sept 𝑖 dans le plan complexe ?

Traçons un diagramme d’Argand pour nous aider et notons moins trois 𝑖 et sept 𝑖. Les deux nombres sont purement imaginaires et se situent donc sur l’axe imaginaire du plan complexe. Et donc la distance entre eux est mesurée le long de cet axe. Pour passer de moins trois 𝑖 à zéro, vous devez monter de trois unités. Et en continuant de zéro à sept 𝑖, vous devez vous déplacer de sept autres unités. La distance totale est donc de trois plus sept, soit 10.

Regardons maintenant un exemple où les deux nombres ne se trouvent pas sur le même axe.

Trouvez la distance entre les nombres complexes 𝑧 un et 𝑧 deux indiqués sur le plan complexe. Donnez votre réponse sous une forme simplifiée exacte.

D’abord, identifions 𝑧 un et 𝑧 deux. La partie réelle de 𝑧 un est moins deux. Et sa partie imaginaire est sept. C’est donc le nombre complexe moins deux plus sept 𝑖 tel qu’il est représenté par le point moins deux, sept. Nous faisons la même chose pour 𝑧 deux. Il s’avère être six moins trois 𝑖, qui est représenté par le point six, moins trois. Et nous cherchons la distance entre ces deux nombres sur le plan complexe. Rappelons que la distance entre les points 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux sur un plan de coordonnées est la racine carrée de 𝑥 un moins 𝑥 deux au carré plus 𝑦 un moins 𝑦 deux au carré. Nous pouvons substituer la coordonnée aux points qui correspond à nos nombres complexes dans cette formule pour trouver notre distance.

Nous recherchons la distance entre moins deux, sept et six, moins trois. Donc 𝑥 un est moins deux. Et 𝑦 un est sept. 𝑥 deux font six. Et 𝑦 deux est moins trois. En substituant, nous obtenons la racine carrée de moins deux moins six au carré plus sept moins moins trois au carré. Moins deux moins six est moins huit. Et sept moins moins trois est 10. Et moins huit au carré est juste huit au carré. La distance est donc la racine carrée de huit au carré plus 10 au carré, qui est la racine carrée de 64 plus 100, en d’autres termes, la racine carrée de 164. Et 164 est deux fois quadrillé 41. Donc, sous forme simplifiée radicale, c’est deux racine 41.

Nous n’avons pas eu à utiliser la formule de distance. Nous pourrions également utiliser le théorème de Pythagore, en dessinant un triangle rectangle sur notre diagramme, en comptant les carrés pour voir que nous avons des longueurs latérales de huit et 10. Ce sont les différences des parties réelle et imaginaire de nos nombres complexes, respectivement. Le théorème de Pythagore nous dirait alors que la longueur de l’hypoténuse, qui est la distance entre les deux nombres complexes, est la racine carrée de huit au carré plus 10 au carré, ce qui est exactement ce que nous avons obtenu dans cette droite de travail ici. Le théorème de Pythagore est bien sûr la façon dont la formule de distance pour les points sur une grille de coordonnées est prouvée.

Dans le contexte du plan complexe, ces points représentent des nombres complexes. Et nous pouvons donc réécrire notre formule dans cet esprit. La distance entre les nombres complexes, 𝑧 un est égal à 𝑥 un plus 𝑦 un 𝑖 et 𝑧 deux est égal à 𝑥 deux plus 𝑦 deux 𝑖, est la racine carrée de 𝑥 un moins 𝑥 deux au carré plus 𝑦 un moins 𝑦 deux au carré. La seule différence ici est que nous parlons des nombres complexes 𝑥 un plus 𝑦 un 𝑖 et 𝑥 deux plus 𝑦 deux 𝑖, au lieu des points 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux. C’est ce que vous obtenez lorsque vous pensez aux nombres complexes comme des points sur le plan complexe. Mais nous pouvons aussi considérer les nombres complexes comme des vecteurs. Voyons à quoi cette approche mène.

Nous pensons maintenant aux nombres complexes 𝑧 un, qui est moins deux plus sept 𝑖, et 𝑧 deux, qui est six moins trois 𝑖, comme vecteurs. Et au lieu de ne penser qu’à la distance entre 𝑧 un et 𝑧 deux, nous considérons ici ce vecteur, que j’appellerai 𝑉. Pour aller de la queue ou d’un point initial de 𝑉 à la pointe ou le point terminal, vous pouvez voyager en moins 𝑧 deux à l’origine. Et puis, 𝑧 on vous emmène où vous voulez aller. 𝑉 est donc moins 𝑧 deux plus 𝑧 un ou 𝑧 un moins 𝑧 deux.

Et bien sûr, en tant que vecteur sur le plan complexe, il représente également un nombre complexe, c’est-à-dire le nombre complexe 𝑧 un moins 𝑧 deux. La distance entre les deux nombres complexes est la grandeur du vecteur 𝑉, qui est le module du nombre complexe 𝑉. Et bien sûr, 𝑉 en tant que nombre complexe n’est que 𝑧 un moins 𝑧 deux. Nous obtenons alors une autre façon de penser la distance entre les nombres complexes 𝑧 un et 𝑧 deux. Cette distance est le module de leur différence.

Finissons donc le problème en utilisant cette méthode. Nous savons que 𝑧 un est moins deux plus sept 𝑖. Et 𝑧 deux est six moins trois 𝑖. En soustrayant leurs parties réelles et imaginaires, nous obtenons le module de moins huit plus 10𝑖. Et en utilisant la formule du module, nous obtenons la racine carrée de moins huit carré plus 10 carré, qui après simplification devient deux racine 41.

Il vaut la peine d’écrire à nouveau nos conclusions. Faites une pause et jetez un œil si vous le souhaitez. Et nous pouvons voir ici comment le module fait vraiment aussi pour les nombres complexes ce que fait la fonction de valeur absolue pour les nombres réels. La distance entre deux nombres réels est la valeur absolue de leur différence. La distance entre deux nombres complexes est le module de leur différence.

Résolvons un dernier problème.

Un nombre complexe 𝑤 se trouve à une distance de cinq racine deux de 𝑧 un est égal à trois plus cinq 𝑖 et à une distance de quatre racine cinq de 𝑧 deux est moins six moins deux 𝑖. Le triangle formé par les points 𝑤, 𝑧 un et 𝑧 deux est-il un triangle rectangle ?

Nous avons donc 𝑧 un est égal à trois plus cinq 𝑖. Et 𝑧 deux est égal à moins six moins deux 𝑖, que nous pouvons marquer avec précision sur notre diagramme d’Argand ou plan complexe. Cependant, il est difficile de deviner où le nombre complexe 𝑤 devrait aller. Tout ce que nous savons, c’est qu’il se situe à la distance de cinq racine deux de 𝑧 un et de quatre racine cinq de 𝑧 deux. La question est de savoir si le triangle avec ces sommets est un triangle rectangle. Et comme nous le savons, deux des longueurs sont suggérées en utilisant le théorème de Pythagore.

Si le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors c’est un triangle rectangle. Mais d’abord, nous devons trouver cette longueur de côté la plus longue, que nous appellerons 𝑑. 𝑑 est la distance entre les nombres complexes 𝑧 un et 𝑧 deux. Et c’est donc le module de 𝑧 un moins 𝑧 deux. Nous substituons les valeurs connues de 𝑧 un et 𝑧 deux, soustrayons les nombres complexes pour obtenir neuf plus sept 𝑖. Son module est la racine carrée de neuf au carré plus sept au carré, qui est la racine carrée de 130.

Maintenant, nous pouvons appliquer l’inverse du théorème de Pythagore. Nous devons alors identifier le côté le plus long. N’oubliez pas que notre diagramme n’est peut-être pas aussi précis. Nous pouvons simplifier les deux autres longueurs latérales pour obtenir respectivement la racine 50 et la racine 80. Et donc la longueur du côté le plus long est vraiment 𝑑. Il suffit alors de vérifier si 𝑑 au carré est égal à la somme des carrés des deux autres longueurs latérales. Comme 𝑑 est la racine 130, 𝑑 au carré est 130. Cinq racine deux au carré est cinq au carré, ce qui est 25 fois deux. Et de la même manière, quatre racine cinq au carré sont quatre au carré, ce qui est 16 fois cinq. Et c’est 130 équivaut à 50 plus 80. Oui, ça l’est. Et donc notre triangle est un triangle rectangle, avec l’angle droit à 𝑤.

Trouvez le milieu de trois plus cinq 𝑖 et sept moins 13𝑖.

Nous pensons à ces nombres complexes sur le diagramme d’Argand ou le plan complexe. Nous pouvons marquer ces nombres sur le diagramme d’Argand et les connecter avec un segment de droite. Nous recherchons le milieu de ce segment de droite. C’est le point sur le segment de droite qui divise le segment de droite en deux moitiés égales. Maintenant, je peux utiliser le fait que les nombres complexes sur un diagramme d’Argand se comportent comme des points. Et nous pouvons nous rappeler de la géométrie des coordonnées que le milieu des points 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux est le point 𝑥 un plus 𝑥 deux sur deux, 𝑦 un plus 𝑦 un [ 𝑦 deux] sur deux pour voir que le milieu doit avoir les coordonnées trois plus sept sur deux, cinq moins 13 sur deux. Et cela correspond au nombre complexe trois plus sept sur deux plus cinq moins 13 sur deux 𝑖. Il nous suffit alors de simplifier ce nombre. Trois plus sept font 10. Et cinq moins 13 font moins huit. Nous voyons donc que le milieu représente le nombre complexe cinq moins quatre 𝑖.

Nous pouvons prendre notre fait à partir de la géométrie des coordonnées et l’écrire dans la notation des nombres complexes. Ainsi, le point 𝑥 un, 𝑦 un devient un nombre complexe 𝑧 un est égal à 𝑥 un plus 𝑦 un 𝑖. Et le point 𝑥 deux, 𝑦 deux devient le nombre complexe 𝑧 deux égale 𝑥 deux plus 𝑦 deux 𝑖. Et le point médian devient 𝑥 un plus 𝑥 deux sur deux plus 𝑦 un plus 𝑦 deux sur deux 𝑖. Pourquoi est-ce intéressant ? Il s’avère que nous pouvons réorganiser quelque peu cela. En combinant les fractions et en réorganisant deux des termes dans le numérateur, nous voyons que nous obtenons 𝑧 un plus 𝑧 deux sur deux. Le milieu de deux nombres complexes sur un diagramme d’Argand est simplement leur moyenne arithmétique. Cela généralise le fait que le milieu de deux nombres réels sur la droite des nombres réels est représenté par leur moyenne arithmétique.

Le passage à des notations de nombres complexes rend l’énoncé du fait sur les points médians plus propre. Nous n’avons pas à dire que le point médian est un point dont les coordonnées sont les moyennes arithmétiques des coordonnées des deux points. Il suffit de dire que le point médian est la moyenne arithmétique des deux points.

Voyons une application rapide.

Soit 𝑧 un, 𝑚 et 𝑧 deux des nombres complexes tels que 𝑚 se situe au milieu du segment de droite reliant 𝑧 un à 𝑧 deux. Étant donné que 𝑧 deux est égal à quatre plus cinq 𝑖 et 𝑚 est égal à moins 12 plus 20𝑖, trouvez 𝑧 un.

Eh bien, nous pourrions dessiner un diagramme d’Argand et raisonner géométriquement. Mais il y a une autre façon. Nous savons que le milieu 𝑚 est la moyenne arithmétique des nombres complexes 𝑧 un et 𝑧 deux. Et nous pouvons réorganiser cette équation pour trouver 𝑧 un en fonction de 𝑚 et 𝑧 deux. Nous multiplions les deux côtés sur deux, soustrayons 𝑧 deux des deux côtés et échangeons les côtés pour trouver que 𝑧 un est deux 𝑚 moins 𝑧 deux. Nous connaissons les valeurs de 𝑚 et 𝑧 deux. Et nous les remplaçons donc. Nous distribuons les deux et le signe moins et simplifions pour trouver que 𝑧 un est moins 28 plus 35𝑖.

Avant de voir notre dernier exemple, considérons une généralisation du point médian.

Le milieu de deux nombres complexes 𝑧 un et 𝑧 deux divise le segment de droite les reliant en deux parties égales. Mais si nous ne voulions pas que ces parties soient égales. Et si, à la place, nous voulions diviser le segment de droite dans le rapport un à deux. Comment trouverions-nous le nombre complexe 𝑤 qui correspondait au point, qui divise le segment de droite dans ce rapport. L’astuce consiste à utiliser des vecteurs. On pense aux vecteurs de position de 𝑧 un et 𝑧 deux. Et nous pensons également au segment de droite reliant 𝑧 un et 𝑧 deux comme vecteur. Quel est ce vecteur ? Eh bien, nous pouvons aller de sa queue à sa pointe en allant en face de 𝑧 un puis le long du vecteur 𝑧 deux. Il s’agit donc du vecteur moins 𝑧 un plus 𝑧 deux ou, de manière équivalente, 𝑧 deux moins 𝑧 un.

Nous voulons trouver le vecteur position de 𝑤. Et nous voyons que nous pouvons atteindre 𝑤 en longeant le vecteur 𝑧 un puis une partie du chemin le long du vecteur 𝑧 deux moins 𝑧 un. Ce vecteur que nous ajoutons à 𝑧 un est un multiple du long vecteur vert 𝑧 deux moins 𝑧 un. Mais quel multiple ? Eh bien, nous pouvons réécrire le rapport en tant que tiers à deux tiers. Et puis, au total, nous en avons un. Il n’est désormais pas difficile de voir que nous devons ajouter un tiers de 𝑧 deux moins 𝑧 un à 𝑧 un. Et nous pouvons distribuer le tiers pour obtenir les deux tiers 𝑧 un plus un tiers 𝑧 deux.

Nous pouvons diviser le segment de droite dans n’importe quel autre rapport que nous voulons, le rapport arbitraire 𝑎 à 𝑏, par exemple. Ce rapport peut être réécrit de sorte que la somme des nombres soit un. Et donc si 𝑎 sur 𝑎 plus 𝑏 est 𝑘, alors 𝑏 sur 𝑎 plus 𝑏 est un moins 𝑘. En écrivant de cette façon, nous constatons que 𝑤 est 𝑧 une plus 𝑘 fois 𝑧 deux moins 𝑧 une ou une moins 𝑘 fois 𝑧 une plus 𝑘 fois 𝑧 deux. En fixant 𝑘 égal à la moitié, nous obtenons le point médian. Et donc nous voyons que nous avons une généralisation du point médian. Vous pouvez également reconnaître l’équation à partir de l’équation vectorielle d’une droite si vous l’avez étudiée. Dans ce contexte, 𝑘 n’est pas contraint d’être compris entre zéro et un mais peut prendre n’importe quelle valeur réelle. Utilisons maintenant cette généralisation des points médians pour résoudre un problème de géométrie.

Un triangle a des sommets aux points 𝑎, 𝑏 et 𝑐 dans le plan complexe. Trouvez une expression pour le centre de gravité du triangle en fonction de 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Vous pouvez utiliser le fait que le centre de gravité divise la médiane dans le rapport deux à un.

Dessinons un triangle arbitraire dans le plan complexe avec les sommets 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Nous recherchons le centre de gravité de ce triangle. Et nous utilisons le fait qu’il divise toute médiane du triangle dans le rapport deux à un. Alors, quelle est la médiane du triangle ? C’est le segment de droite entre un sommet du triangle et le milieu du côté opposé à ce sommet. Donc, si nous prenons le sommet 𝑎, nous devons trouver le milieu du côté opposé. Je pense donc que c’est ça ici. Et reliant les deux points, nous obtenons une médiane. Pour trouver le centre de gravité, nous utilisons le fait qu’il divise toute médiane dans le rapport deux à un. Le centre de gravité est donc ici. C’est deux fois plus loin du sommet que du milieu du côté opposé.

Maintenant, nous voulons trouver une expression pour ce centre de gravité en fonction de 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Comment allons-nous faire cela ? Eh bien, nous savons que le milieu des nombres complexes 𝑏 et 𝑐 n’est que leur moyenne arithmétique, 𝑏 plus 𝑐 sur deux. Appelons cela 𝑚 pour plus de simplicité. Et le centre de gravité divise le segment de droite de 𝑎 à 𝑚 dans le rapport des deux tiers au tiers. Nous pouvons donc y accéder en allant à 𝑚 puis en parcourant un tiers du chemin de 𝑚 à 𝑎. En utilisant ce que nous savons sur 𝑚, nous pouvons écrire le centre de gravité en fonction de 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Maintenant, nous devons simplement simplifier.

Nous multiplions le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction sur deux pour obtenir la fraction avec le dénominateur six. Et donc nous écrivons également la première fraction sur six. On peut alors combiner les fractions. Et ce faisant, nous collectons des termes similaires dans le numérateur. Enfin, nous annulons le facteur commun de deux dans le numérateur et le dénominateur et réorganisons certains des termes dans le numérateur pour obtenir que le centre de gravité est 𝑎 plus 𝑏 plus 𝑐 sur trois. En utilisant des nombres complexes puis avec des méthodes simples, nous obtenons ce résultat élégant.

Pour résumer, la distance 𝑑 entre deux nombres complexes 𝑧 un est égal à 𝑥 un plus 𝑦 un 𝑖 et 𝑧 deux est égal à 𝑥 deux plus 𝑦 deux 𝑖 peut être exprimée en fonction de module d’un nombre complexe car 𝑑 est égal au module de 𝑧 un moins 𝑧 deux, ce qui équivaut à la racine carrée de 𝑥 un moins 𝑥 deux au carré plus 𝑦 un moins 𝑦 deux au carré. Le milieu 𝑚 de deux nombres complexes 𝑧 un et 𝑧 deux se situe à leur moyenne arithmétique, c’est-à-dire que 𝑚 est égal à 𝑧 un plus 𝑧 deux sur deux. Et nous pouvons généraliser ceci pour trouver le point 𝑤 qui est une fraction entre zéro et un le long du segment de droite de 𝑧 un à 𝑧 deux. Il est donné par 𝑤 est égal à un moins 𝑘 fois 𝑧 un plus 𝑘 fois 𝑧 deux. Et si 𝑘 est supérieur à un, alors 𝑤 se situe sur la droite prolongée au-delà de 𝑧 deux. Et si 𝑘 est inférieur à zéro, 𝑤 se trouve sur la droite prolongée au-delà de 𝑧 un. Ce sont les points clés que nous avons utilisés dans cette vidéo pour résoudre des problèmes géométriques à l’aide de nombres complexes d’une manière simple et élégante.

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