Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.

Vidéo : Extension des cosinus, sinus et tangente dans le cercle trigonométrique

Anne-Claire Dupuis

Découvre dans cette vidéo comment les cosinus, sinus et tangente, que nous avons précédemment rencontrés dans le triangle rectangle, sont définis pour tout angle (et pas seulement pour des angles aigus) dans le cercle unitaire.

12:08

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir comment étendre la définition des fonctions cosinus, sinus et tangente, de celles dans le triangle rectangle, c’est-à-dire pour des angles compris entre zéro et 𝜋 sur deux radians, à tous les réels. Et pour cela, nous allons utiliser le cercle trigonométrique.

Commençons avec un cercle unitaire, et considérons un angle 𝜃 avec son premier côté sur l’axe des 𝑥 du côté positif, et son deuxième côté ici, qui intersecte le cercle unitaire au point 𝑀. 𝑋 est la projection de 𝑀 sur l’axe des 𝑥, et 𝑌 celle sur l’axe des 𝑦. 𝑂𝑋𝑀 est donc un triangle rectangle dont l’hypoténuse est le rayon du cercle unitaire, soit par définition un. Donc en utilisant nos connaissances de cosinus 𝜃 dans un triangle rectangle, ici donc va être égale à 𝑂𝑋 sur 𝑂𝑀, 𝑂𝑀 étant un, nous avons 𝑂𝑋 qui est égal à cosinus 𝜃. Et nous trouvons de même que 𝑋𝑀 égale sinus 𝜃.

Les coordonnées de 𝑀 sont donc cosinus 𝜃, sinus 𝜃.

Maintenant je vais utiliser cela, donc les coordonnées de 𝑀, comme définition du cosinus et du sinus quelle que soit la valeur de 𝜃. Cela veut dire que si 𝜃 augmente et devient 𝜋 sur deux radians, je suis déjà dans une situation où je ne peux plus dessiner un triangle rectangle avec un deuxième angle de mesure 𝜋 sur deux radians.

Nous avons ici donc le point 𝑀 de coordonnées zéro, un. Et donc, le cosinus de 𝜋 sur deux radians est zéro, et le sinus de 𝜋 sur deux est un.

Si 𝜃 augmente encore et 𝑀 est dans ce qu’on appelle le deuxième quadrant, donc 𝜃 est compris entre 𝜋 sur deux et 𝜋 radians, on voit qu’ici le cosinus 𝜃 donc est situé ici, donc du côté négatif, donc le cosinus 𝜃 est négatif, alors que le sinus 𝜃 que nous allons pouvoir lire sur cet axe des 𝑦 ici est positif.

Maintenant quand 𝜃 est 𝜋 radians, les coordonnées de 𝑀 sont moins un, zéro, et donc cosinus 𝜋 égale moins un et sinus 𝜋 égale zéro.

Si maintenant 𝑀 est dans le troisième quadrant, on voit que le cosinus et le sinus de 𝜃 sont négatifs, puisque les deux coordonnées de 𝑀 sont négatives aussi.

Pour l’angle trois 𝜋 sur deux radians, le point 𝑀 est de coordonnées zéro, moins un ; donc son cosinus est zéro et son sinus moins un.

Et enfin, quand 𝑀 est dans le quatrième quadrant, et que donc 𝜃 est compris entre trois 𝜋 sur deux et deux 𝜋 radians, on voit que le cosinus 𝜃 est maintenant positif, alors que le sinus 𝜃 est encore négatif.

Et enfin après un tour complet, le point 𝑀 est de coordonnées un, zéro, ce qui veut dire que le cosinus de 𝜋 est un et le sinus de 𝜋 est zéro.

Et bien sûr on voit que c’est les mêmes valeurs que si 𝜃 égale zéro.

Et nous voyons bien que si nous refaisons encore un tour en plus du premier tour, nous allons toujours retrouver sur les mêmes valeurs de cosinus et sinus, donc ce qui veut dire que quand je dis par exemple que cosinus 𝜃 égale une certaine valeur, je peux ajouter un certain nombre de deux 𝜋, donc de tours complets, ou les enlever, c’est-à-dire que je tourne dans l’autre sens, évidemment j’ai toujours la même valeur de cosinus et sinus.

Nous avons ainsi prouvé que les fonctions cosinus et sinus son périodiques.

Considérons maintenant l’angle 𝜃 associé au point 𝑀 un dans le premier quadrant. Considérons maintenant l’angle 𝜃 associé au point 𝑀 un dans le premier quadrant. 𝑀 deux est le symétrique de 𝑀 un par rapport à l’axe des 𝑦. 𝑀 trois est le symétrique de 𝑀 un par rapport à l’origine. C’est donc aussi le symétrique de 𝑀 deux par rapport à l’axe des 𝑥. Et enfin, 𝑀 quatre est le symétrique de 𝑀 un par rapport à lex- à l’axe des 𝑥.

Par symétrie, on voit donc qu’on a ici de nouveaux l’angle 𝜃, de même ici et de même ici. L’angle associé à 𝑀 deux, celui-ci, est donc 𝜋, donc le demi-tour, moins 𝜃. L’angle associé à 𝑀 trois, on voit que c’est 𝜃 associé à un demi-tour dans le sens négatif, et nous arrivons donc bien ici. Et enfin, l’angle associé à 𝑀 quatre est tout simplement moins 𝜃.

Toujours pour des raisons de symétrie, nous voyons que tous ces points ont des coordonnées égales en valeurs absolues, puisque donc leurs abscisses seront cosinus 𝜃 ou moins cosinus 𝜃, et leurs ordonnées seront sinus 𝜃 ou moins sinus 𝜃.

Mais puisque leurs coordonnées sont aussi données évidemment par le cosinus et le sinus de l’angle auquel ces points sont associés, on en déduit les relations suivantes :

Donc, en commençant avec le point 𝑀 deux, nous voyons que cosinus de 𝜋 moins 𝜃 égale moins cosinus 𝜃, et sinus de 𝜋 moins 𝜃 égale sinus 𝜃.

Avec le point 𝑀 trois nous voyons que cosinus 𝜃 moins 𝜋 égale moins cosinus 𝜃, et sinus 𝜃 moins 𝜋 égale moins sinus 𝜃.

Et enfin, avec le point 𝑀 quatre nous avons cosinus moins 𝜃 égale cosinus 𝜃, et sinus moins 𝜃 égale moins sinus 𝜃.

À noter que ces dernières relations avec le point 𝑀 quatre nous donnent une petite indication, enfin plus que petite, sur la parité des fonctions cosinus et sinus ; mais nous y reviendrons dans une autre vidéo.

Il faut bien noter ici que les arguments des fonctions sinus et cosinus sont des mesures principales. En d’autres termes, là encore, on peut ajouter n’importe quel deux 𝑘 𝜋, c’est-à-dire un nombre donné de tours soit dans le sens positif soit dans le négatif à n’importe lequel de ces angles, et ces relations sont encore vraies.

Par exemple, si j’ajoute deux 𝜋 à 𝜃 moins 𝜋, j’obtiens 𝜃 plus 𝜋, ce qui veut dire que cosinus de 𝜃 plus 𝜋 égale cosinus de 𝜃 moins 𝜋. Et cela se visualise très bien du fait que, si j’ajoute un tour complet, je me retrouve dans la même position, enfin c’est-à-dire le deuxième côté de l’angle est dans la même position, et donc évidemment les coordonnées du point sont les mêmes.

Aussi ces équations sont vraies quelle que soit la valeur de 𝜃, c’est-à-dire quelle que soit la position de 𝑀 sur le cercle unitaire. Vous pouvez vous en convaincre vous-même en plaçant 𝑀 dans un autre quadrant, et en plaçant les angles 𝜋 moins 𝜃, 𝜃 moins 𝜋 et moins 𝜃, et vérifier que ces équations sont encore vraies.

C’est un excellent exercice pour se familiariser à la définition des cosinus et sinus dans le cercle unitaire, donc je vous encourage à le faire après avoir fini de regarder cette vidéo.

Mais d’abord, je vais vous montrer comment est définie la fonction tangente.

Nous commençons avec le point 𝑀 associé à l’angle 𝜃 dans le premier quadrant. 𝑋 est la projection de 𝑀 sur l’axe des 𝑥 et 𝑌 celle sur l’axe des 𝑦. Leurs coordonnées sont donc cosinus 𝜃, zéro et zéro, sinus 𝜃.

Si je me place dans le triangle rectangle 𝑂𝑋𝑀, la définition de la tangente de 𝜃 est donc donnée par le côté opposé divisé par le côté adjacent, soit 𝑋𝑀 sur 𝑂𝑋, c’est-à-dire aussi sinus 𝜃 divisé par cosinus 𝜃.

Maintenant, je dr- je trace la droite de, d’équation 𝑥 égale un, et je prolonge la droite 𝑂𝑀 jusqu’au point d’intersection avec la droite 𝑥 égale à un, que j’appelle le point 𝑇.

Donc si 𝐴 est le point de coordonnées un, zéro, on voit que les triangles 𝑂𝑋𝑀 et 𝑂𝐴𝑇 sont semblables ou homothétiques, c’est-à-dire que 𝑂𝑇𝐴 est obtenu en agrandissant 𝑂𝑀𝑋 par un certain facteur d’agrandissement.

En d’autres termes, les côtés du triangle 𝑂𝑇𝐴 sont proportionnels à ceux de 𝑂𝑀𝑋, et le coefficient de proportionnalité est justement ce facteur d’agrandissement. Pourrait démontrer cela en utilisant le théorème de Thalès aussi.

Donc le coefficient de proportionnalité est donc 𝑂𝐴 divisé par 𝑂𝑋, puisque c’est bien ce qui va me permettre de trouver 𝑂𝐴 en multipliant ce coefficient par 𝑂𝑋. Donc nous savons que 𝑂𝐴 est égal à un, et 𝑂𝑋 est le cosinus 𝜃.

Maintenant pour trouver la longueur du côté 𝐴𝑇, il me suffit de multiplier la longueur de 𝑋𝑀 par ce coefficient. Et puisque 𝑋𝑀 est sinus 𝜃, nous obtenons sinus 𝜃 divisé par cosinus 𝜃, qui est justement tangente 𝜃.

Donc nous voyons ici que la tangente 𝜃 peut, correspond à la longueur du côté 𝐴𝑇 quand on agrandit le triangle 𝑂𝑋𝑀 en 𝑂𝐴𝑇, 𝐴 étant le point de coordonnées un, zéro.

Donc notez bien maintenant que si je prends 𝑀 dans le deuxième ou le quatrième quadrant, le point 𝑇 sera alors situé en-dessous de 𝐴. Or, la tangente de 𝜃 sera alors négative, puisque quand 𝑀 est dans le deuxième ou le quatrième quadrant, les sinus et les cosinus de l’angle associé sont de signes opposés, donc leur quotient est négatif.

Cela veut dire que pour tout angle 𝜃 donc associé au point 𝑀, nous pouvons prolonger la droite 𝑂𝑀, et le point d’intersection avec la droite d’équation 𝑥 égale un, appelé 𝑇, aura comme coordonnées un, tangente 𝜃, quelle que soit la valeur de 𝜃.

En résumé, nous avons vu que tout angle 𝜃 dans le cercle unitaire ayant son sommet à l’origine et son premier côté sur le côté positif de l’axe des 𝑥, est associé au point 𝑀 situé à l’intersection de son deuxième côté avec le cercle unitaire.

Cosinus 𝜃 et sinus 𝜃 sont alors respectivement l’abscisse et l’ordonnée de 𝑀. L’intersection de la droite 𝑂𝑀 et de la droite d’équation 𝑥 égale un est le point 𝑇, de coordonnées un, tangente 𝜃.

Nous avons vu que tangente 𝜃 est aussi donnée par sinus 𝜃 divisé par cosinus 𝜃.

Nous avons vu que le signe de cosinus 𝜃 et sinus 𝜃 dépend du quadrant dans lequel 𝑀 se trouve. Dans les quadrants numéro un et trois, cosinus et sinus ont le même, sont de même signe, tandis que dans les quadrants deux et quatre ils sont de signes opposés.

Enfin, en utilisant les propriétés de symétrie dans le cercle unitaire, nous avons vu que pour tout angle 𝜃, les valeurs des cosinus et sinus des angles 𝜃, 𝜃 moins 𝜋, 𝜋 moins 𝜃 et moins 𝜃 sont liées par les relations données ici, et ce, quelle que soit la valeur de 𝜃.