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Quelle symétrie du cercle trigonométrique montre que la fonction tangente est impaire ?
Commençons par rappeler la définition d’une fonction impaire. Une fonction 𝑓 est impaire si et seulement si pour tout 𝑥, 𝑓 de moins 𝑥 égale moins 𝑓 de 𝑥. Comment utiliser le cercle trigonométrique pour montrer que la fonction tangente est impaire ?
Rappelons que le cercle trigonométrique est un cercle de rayon un qui permet d’évaluer sinus, cosinus et tangente pour des valeurs spécifiques de 𝜃. Au niveau le plus basique, il indique si les valeurs de sinus, cosinus et tangente 𝜃 sont positives ou négatives en fonction des quadrants.
Prenons la fonction tangente. Nous pouvons tracer un triangle rectangle dans le premier quadrant en utilisant le couple (𝑎,𝑏), où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels positifs. Le côté opposé de ce triangle rectangle, représenté par 𝑏 dans le couple, est positif, et le côté adjacent, représenté par 𝑎, est également positif. Tangente 𝜃 est égal à 𝑏 sur 𝑎, or un nombre positif divisé par un nombre positif donne un résultat positif. Pour cette valeur de 𝜃, tan 𝜃 est positif.
Rappelons qu’une fonction impaire est une fonction pour laquelle 𝑓 de moins 𝑥 est égal à moins 𝑓 de 𝑥. On a déjà calculé 𝑓 de 𝑥, prenons maintenant une valeur négative de 𝜃. Pour ce point, qui est une réflexion par rapport à l’axe des 𝑥 du point précédent, 𝜃 est maintenant négatif, car mesuré dans le sens des aiguilles d’une montre. Mais qu’en est-il de tan 𝜃 ?
Eh bien, le côté opposé est maintenant négatif, puisque la valeur 𝑦 de notre point est moins 𝑏. La valeur adjacente est cependant toujours positive, puisque le 𝑥 de notre point reste égal à 𝑎. Dans ce cas, tan 𝜃 est égal à moins 𝑏 divisé par 𝑎, qui est négatif. En regardant ce qu’il se passe pour l’image du point par la symétrie par rapport à l’axe des 𝑥, on a montré que 𝑓 de moins 𝑥 est égal à moins 𝑓 de 𝑥. La fonction tangente est donc impaire. Par conséquent, la symétrie par rapport à l’axe des 𝑥 montre que la fonction tangente est impaire.
