Transcription de vidéo
Déterminez l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥 égale à la racine carrée de 𝑥 moins un sur la racine carrée de neuf moins 𝑥 moins la racine carrée de 𝑥 moins trois.
Rappelez-vous que l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs possibles que nous pouvons entrer dans cette fonction. Dans ce cas, nous avons une fonction qui implique deux problèmes potentiels. Tout d’abord, nous voulons nous assurer que le dénominateur de la fonction n’est jamais égal à zéro. Ainsi, lorsque nous trouvons l’ensemble de définition de la fonction, nous ne tenons pas compte des valeurs de 𝑥 qui feraient que cela se produise. Ensuite, lorsque nous travaillons avec des fonctions racine carrée, nous devons nous assurer que les expressions à l’intérieur de la racine carrée ne sont pas négatives. En d’autres termes, 𝑥 moins un doit être supérieur ou égal à zéro, tout comme neuf moins 𝑥 et 𝑥 moins trois.
Donc, parce que c’est un peu plus simple, nous allons commencer par regarder les expressions à l’intérieur de chacune de nos racines carrés, c’est-à-dire 𝑥 moins un, neuf moins 𝑥 et 𝑥 moins trois. Nous allons résoudre chacune de ces inégalités à tour de rôle. Pour notre première, nous allons ajouter un des deux côtés. Cela nous donne 𝑥 est supérieur ou égal à un. Pour notre deuxième, nous allons ajouter 𝑥 des deux côtés. Donc, neuf est supérieur ou égal à 𝑥 ou bien 𝑥 est inférieur ou égal à neuf. Enfin, nous allons ajouter trois des deux côtés de notre troisième équation. Cela nous donne 𝑥 est supérieur ou égal à trois. Il y a un certain chevauchement entre ces trois régions. Mais nous allons regarder cela après avoir examiné le dénominateur de notre fraction.
Nous savons que nous voulons nous assurer que le dénominateur de cette fraction n’est pas égal à zéro. Donc, ce que nous allons faire, c’est chercher quand il est égal à zéro et trouver les valeurs de 𝑥 que nous allons devoir ignorer. Autrement dit, la racine carrée de neuf moins 𝑥 moins la racine carrée de 𝑥 moins trois est égale à zéro. Commençons par ajouter la racine carrée de 𝑥 moins trois des deux côtés. Cela nous donne la racine carrée de neuf moins 𝑥 est égal à la racine carrée de 𝑥 moins trois. Maintenant, nous allons aborder la prochaine étape avec beaucoup de soin. Nous allons mettre les deux côtés de cette équation au carré. Nous devrions généralement vérifier nos solutions à la fin et nous assurer que nous n’en avons pas créées davantage. Cependant, comme nous avons des racines carrées des deux côtés, les deux côtés doivent en fait être positifs. Donc, nous n’obtiendrons jamais quelque chose d’étrange comme moins un est égal à un, qui serait mis au carré pour donner un est égal à un.
Donc, en mettant au carré les deux côtés, nous obtenons neuf moins 𝑥 est égal à 𝑥 moins trois. Ensuite, nous allons ajouter 𝑥 et trois des deux côtés, et nous obtenons 12 est égal à deux 𝑥, et lorsque nous divisons par deux, nous voyons que 𝑥 est égal à six. Et donc nous avons tous nos critères. Nous savons que 𝑥 doit être supérieur à un, inférieur à neuf, supérieur à trois et non égal à six. Nous pourrions remarquer d’abord que lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à trois, il doit absolument être supérieur à un. Puisque notre domaine est l’intersection de tous ces critères possibles, nous ne tenons pas compte de cela et nous restons avec 𝑥 est supérieur ou égal à trois.
Donc, en combinant tous ces éléments, nous voyons que 𝑥 est supérieur ou égal à trois, inférieur ou égal à neuf, mais qu’il n’est pas égal à six. Réécrivons cela en utilisant la notation des ensembles. Lorsque nous le faisons, nous constatons que l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓 de 𝑥 est l’ensemble des valeurs donné par l’intervalle fermé de trois à neuf moins l’ensemble contenant l’élément six.
