Transcription de la vidéo
Déterminez l’expression de la dérivée de la fonction définie par 𝑦 égale ln de moins cinq 𝑥 puissance quatre plus deux 𝑥 au carré.
Donc, voici la fonction qu’on nous demande de dériver, qui est en fait une fonction de fonction. Et pour dériver une fonction de fonction, il faut utiliser la règle de la chaine. Cette règle dit que si 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑢 et 𝑢 est égal à 𝑔 de 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑢 multiplié par d𝑢 sur d𝑥. Et dans notre question, 𝑢 est la fonction interne moins cinq 𝑥 puissance quatre plus deux 𝑥 au carré. Et 𝑦 est la fonction ln 𝑢.
Nous pouvons voir dans la formule de la chaine que nous allons avoir besoin de d𝑦 sur d𝑢 et de d𝑢 sur d𝑥. Alors, déterminons d’abord d𝑦 sur d𝑢. Alors, 𝑦 est égal à ln de 𝑢. Donc, nous allons dériver cette fonction par rapport à 𝑢. Et pour cela, rappelons la règle générale qui dit si 𝑦 est égal à ln de 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 est égal à un sur 𝑥. Et donc pour 𝑦 égal à ln de 𝑢, d𝑦 sur d𝑢 est égal à un sur 𝑢.
Alors maintenant, nous devons déterminer d𝑢 sur d𝑥. Et rappelons que nous avons 𝑢 égal à moins cinq 𝑥 puissance quatre plus deux 𝑥 au carré. Et avant de dériver, rappelons simplement la règle de dérivation des puissances. Cette règle dit que si 𝑦 est égal à 𝑎𝑥 puissance 𝑛, d𝑦 sur d𝑥 est égal à 𝑛𝑎𝑥 puissance 𝑛 moins un. Et donc, avec la même logique, d𝑢 sur d𝑥 est égal à moins 20𝑥 puissance trois plus quatre 𝑥.
Et maintenant, en appliquant la formule de la chaine, d𝑦 sur d𝑥 est égal à un sur 𝑢 multiplié par moins 20𝑥 puissance trois plus quatre 𝑥, que nous pouvons écrire en une seule fraction. Et souvenons-nous également que nous avons déjà défini 𝑢 comme moins cinq 𝑥 puissance quatre plus deux 𝑥 au carré.
Et pour faire plus propre, comme nous avons un signe moins ici et ici, nous allons multiplier par moins un sur moins un pour obtenir 20𝑥 puissance trois moins quatre 𝑥 sur cinq 𝑥 puissance quatre moins deux 𝑥 au carré. Et nous pouvons en fait factoriser par 𝑥 au numérateur et au dénominateur. Ce qui signifie que nous pouvons simplifier par 𝑥 en haut et en bas. Et cela nous donne 20𝑥 au carré moins quatre sur cinq 𝑥 puissance trois moins deux 𝑥. Et pour le résultat final, nous allons factoriser par 𝑥 au dénominateur. Et voici le résultat final.