Vidéo : Produits vectoriels à la lumière des applications linéaires

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Produits vectoriels à la lumière des applications linéaires

13:09

Transcription de vidéo

Hé les gars ! Là où nous nous sommes quittés, je parlais de comment calculer un produit vectoriel en trois dimensions entre deux vecteurs, 𝐕 croix 𝐖. C’est cette drôle de chose où vous écrivez une matrice, dont la deuxième colonne comporte les coordonnées de 𝑣, dont la troisième colonne a les coordonnées de 𝑤, mais les entrées de cette première colonne, bizarrement, sont les symboles 𝑖 chapeau, 𝑗 chapeau, et 𝑘 chapeau, où vous prétendez juste que ces choses-là sont des nombres pour des raisons de calcul.

Ensuite, avec cette matrice géniale en main, vous calculez son déterminant. Si vous effectuez ces calculs, en ignorant la bizarrerie, vous obtenez une constante fois 𝑖 chapeau , plus une constante fois chapeau de 𝑗 et quelques fois constants 𝑘 chapeau. La façon dont vous envisagez de calculer ce déterminant est un peu autre chose. La seule chose qui compte vraiment ici est que vous allez vous retrouver avec trois nombres différents qui sont interprétés comme les coordonnées d’un vecteur résultant. À partir de là, les étudiants sont généralement sommés de croire que le vecteur résultant a les propriétés géométriques suivantes : sa longueur est égale à l’aire du parallélogramme délimité par 𝐕 et 𝐖, il pointe dans une direction perpendiculaire à la fois de 𝐕 et 𝐖, et cette direction obéit à la règle de la main droite dans le sens que si vous pointez votre index le long de 𝐕 et votre doigt du milieu le long de 𝐖 puis quand vous tendez votre pouce, il va pointer dans la direction du nouveau vecteur.

Vous pouvez effectuer certains calculs de manière brutale pour confirmer ces faits. Mais je veux partager avec vous un raisonnement vraiment élégant. Il exploite cependant un peu de prérequis. Donc pour cette vidéo, je suppose que tout le monde a regardé le chapitre 5 sur le déterminant et le chapitre 7 où je présente la notion de dualité. Pour rappel, l’idée de dualité est que, chaque fois que vous effectuez une transformation linéaire d’un espace à une droite numérique, elle est associée à un vecteur unique dans cet espace, dans le sens où effectuer la transformation linéaire revient à prendre un produit scalaire avec ce vecteur. Numériquement, cela est dû au fait qu’une de ces transformations est décrite par une matrice avec une seule ligne, chaque colonne indiquant le nombre de fois que chaque vecteur de base se situe. Et multiplier cette matrice par un vecteur 𝐕 équivaut à calculer le produit scalaire entre 𝐕 et le vecteur que vous obtenez en retournant cette matrice sur son côté. En guise de conclusion, chaque fois que vous êtes dans la jungle mathématique et que vous trouvez une transformation linéaire sur une droite numérique, vous pourrez l’associer à un vecteur, appelé « vecteur dual » de cette transformation, de sorte que la transformation linéaire équivaut à prendre un produit scalaire avec ce vecteur.

Le produit vectoriel nous donne un très bon exemple de ce processus en action. Cela demande quelques efforts, mais ça en vaut vraiment la peine. Ce que je vais faire, c’est définir une certaine transformation linéaire des trois dimensions sur la droite numérique. Et il sera défini en fonction des deux vecteurs 𝐕 et 𝐖. Puis, quand nous associons cette transformation avec son vecteur dual dans l’espace 3D, ce vecteur dual va être le produit vectoriel de 𝐕 et 𝐖. La raison en est que la compréhension de la transformation va clarifier le lien entre le calcul et la géométrie du produit vectoriel.

Donc, pour rappeler un peu, rappelez-vous en deux dimensions ce que cela signifiait de calculer la version 2D du produit vectoriel ? Lorsque vous avez deux vecteurs 𝐕 et 𝐖, vous mettez les coordonnées de 𝐕 en tant que première colonne de la matrice et les coordonnées de 𝐖 en tant que deuxième colonne de la matrice, puis vous ne calculez que le déterminant. Il n’y a pas de bêtises avec des vecteurs de base coincés dans une matrice ou quelque chose du genre, mais un déterminant ordinaire qui renvoie un nombre. Géométriquement, cela nous donne l’aire d’un parallélogramme recouvert par ces deux vecteurs avec la possibilité d’être négative en fonction de l’orientation des vecteurs. Maintenant, si vous ne connaissez pas déjà le produit mixte 3D et que vous essayez d’extrapoler, vous pouvez imaginer que cela implique de prendre trois vecteurs 3D distincts, 𝐕 et 𝐖 et de faire en sorte que leurs coordonnées soient les colonnes d’une matrice trois par trois, puis calculer le déterminant de cette matrice. Et, comme vous le savez du chapitre 5, géométriquement, cela vous donnerait le volume d’un parallélépipède recouvert par ces trois vecteurs, le signe plus ou moins dépendant de l’orientation de la règle de la main droite de ces trois vecteurs. Bien sûr, vous savez tous que ce n’est pas le produit mixte 3D. Le produit vectoriel 3D prend deux vecteurs et sort un vecteur. Il ne prend pas trois vecteurs pour sortir un nombre. Mais cette idée nous rapproche réellement de ce qu’est le véritable produit vectoriel.

Considérez que premier vecteur 𝐔 est une variable, disons avec des variables d’entrée 𝑥, 𝑦 et 𝑧, tandis que 𝐕 et 𝐖 restent fixes. Ce que nous avons alors est une fonction de trois dimensions vers la droite numérique. Vous entrez un vecteur — 𝑥, 𝑦, 𝑧 — et vous obtenez un certain nombre en prenant le déterminant d’une matrice dont la première colonne est 𝑥, 𝑦, 𝑧 et dont deux autres colonnes sont les coordonnées des vecteurs constants 𝐕 et 𝐖. Géométriquement, le sens de cette fonction est que pour tout vecteur d’entrée 𝑥, 𝑦, 𝑧, on considère le pavé droit défini par ce vecteur 𝐕 et 𝐖 puis vous retournez son volume avec le signe plus ou moins en fonction de l’orientation. Maintenant, cela peut sembler une sorte de chose aléatoire à faire. Je veux dire, d’où vient cette fonction ? Pourquoi la définissons-nous de cette façon ? Et je vous avouerai qu’à ce stade, il se peut que vous ayez l’impression que ça sort de nulle part. Mais si vous êtes prêt à jouer avec les propriétés de ce type, c’est la clé pour comprendre le produit vectoriel. Une propriété très importante à propos de cette fonction est qu’elle est linéaire. En fait, je vous laisse expliquer en détail pourquoi cela est vrai en fonction des propriétés du déterminant. Mais une fois que vous savez que c’est linéaire, nous pouvons commencer à introduire l’idée de dualité.

Une fois que vous savez que c’est linéaire, vous savez qu’il y a un moyen de décrire cette fonction comme une multiplication matricielle. Plus précisément, comme il s’agit d’une fonction allant de trois dimensions à une dimension, il y aura une matrice un sur trois qui code cette transformation. Et l’idée de la dualité est que la particularité des transformations de plusieurs dimensions en une seule dimension est que vous pouvez inverser cette matrice et interpréter l’intégralité de la transformation comme le produit scalaire avec un certain vecteur. Ce que nous cherchons est le vecteur 3D spécial que je vais appeler 𝐏 tel que prendre le produit scalaire entre 𝐏 et tout autre vecteur 𝑥, 𝑦, 𝑧 donne le même résultat que de placer 𝑥, 𝑦, 𝑧 dans la première colonne d’une matrice trois par trois dont les deux autres colonnes ont les coordonnées de 𝐕 et 𝐖, puis de calculer le déterminant. Je vais arriver à la géométrie de ceci dans un instant. Mais pour l’instant, creusons et réfléchissons à ce que cela signifie par le calcul. Le produit scalaire entre 𝐏 et 𝑥, 𝑦, 𝑧 va nous donner quelque chose fois 𝑥 plus quelque chose fois 𝑦 plus quelque chose fois 𝑧, où les quelques choses sont les coordonnées de 𝐏. Mais sur le côté droit ici, quand vous calculez le déterminant, vous pouvez l’organiser pour ressembler à une constante fois 𝑥 plus une constante fois 𝑦 plus une constante fois 𝑧 où ces constantes impliquent certaines combinaisons des coordonnées de 𝑣 et 𝑤. Ainsi, ces constantes, ces combinaisons particulières des coordonnées de 𝑣 et 𝑤 vont être les coordonnées du vecteur 𝐏 que nous recherchons.

Mais ce qui se passe à droite ici devrait sembler très familier à quiconque a réellement travaillé avec un calcul de produit vectoriel. Collecter les termes constants qui sont multipliés par 𝑥, 𝑦 et 𝑧 comme celui-ci ne diffère pas de placer les symboles 𝑖 chapeau, 𝑗 chapeau et 𝑘 chapeau dans la première colonne et de voir quels coefficients s’aggrègent sur chacun de ces termes. C’est juste que placer 𝑖 chapeau, 𝑗 chapeau et 𝑘 chapeau est une manière de signaler que nous devrions interpréter ces coefficients comme les coordonnées d’un vecteur. Alors, tout ce que cela dit est que ce calcul amusant peut être considéré comme un moyen de répondre à la question suivante : quel vecteur 𝐏 a la propriété spéciale que lorsque vous prenez un produit scalaire entre 𝑝 et un vecteur 𝑥, 𝑦, 𝑧 cela donne le même résultat que de placer 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 dans la première colonne de la matrice dont les deux autres colonnes ont les coordonnées de 𝑣 et 𝑤 , puis de calculer le déterminant ? C’est un peu un détail. Mais c’est une question importante à assimiler pour cette vidéo.

Passons maintenant à la partie cool qui lie tout cela à la compréhension géométrique du produit vectoriel que j’ai présentée dans la dernière vidéo. Je vais poser la même question à nouveau. Mais cette fois, nous allons essayer d’y répondre géométriquement plutôt que par le calcul. Quel vecteur 3D 𝐏 a la particularité que lorsque vous prenez un produit scalaire entre 𝑝 et un autre vecteur 𝑥, 𝑦, 𝑧 lui donne le même résultat que si vous avez pris le volume orienté d’un pavé droit défini par ce vecteur 𝑥, 𝑦, 𝑧 avec 𝑣 et 𝑤 ? Rappelez-vous, l’interprétation géométrique d’un produit scalaire entre un vecteur 𝐏 et un autre vecteur est de projeter sur cet autre vecteur 𝐏 puis de multiplier la longueur de la projection par la longueur de 𝐏. Dans cet esprit, laissez-moi vous montrer une certaine façon de penser au volume du pavé droit qui nous tient à cœur. Commencez en prenant l’aire du parallélogramme défini par 𝐕 et 𝐖, puis multipliez-la non par la longueur de 𝑥, 𝑦, 𝑧, mais par la coordonnée de 𝑥, 𝑦, 𝑧 qui est perpendiculaire à ce parallélogramme.

En d’autres termes, la façon dont notre fonction linéaire fonctionne sur un vecteur donné est de projeter ce vecteur sur une droite qui est perpendiculaire à la fois à 𝐕 et 𝐖 puis alors de multiplier la longueur de cette projection par l’aire du parallélogramme engendré par 𝐕 et 𝐖. Mais cela est la même chose que de prendre un produit scalaire entre 𝑥, 𝑦, 𝑧 et un vecteur qui est perpendiculaire à 𝐕 et 𝐖 avec une longueur égale à l’aire de ce parallélogramme. De plus, si vous choisissez la bonne direction pour ce vecteur, les cas où le produit scalaire négatif sera aligné avec les cas où la règle de la main droite pour l’orientation de 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑣 et 𝑤 est négative.

Cela signifie que nous venons de trouver un vecteur 𝐏 tel que la prise d’un produit scalaire entre 𝑝 et un vecteur 𝑥, 𝑦, 𝑧 est la même chose que le calcul de ce déterminant d’une matrice trois par trois dont les colonnes sont 𝑥, 𝑦, 𝑧, les coordonnées de 𝑣 et 𝑤. Donc, la réponse que nous avons trouvée plus tôt, en calculant, en utilisant cette astuce de notation spéciale doit correspondre géométriquement à ce vecteur. C’est la raison fondamentale pour laquelle le calcul et l’interprétation géométrique du produit vectoriel sont liés.

Pour résumer ce qui est arrivé ici, j’ai commencé en définissant une transformation linéaire de l’espace 3D à la ligne numérique, et il a été défini en fonction des vecteurs 𝐕 et 𝐖, alors je suis passé par deux voies distinctes pour penser le « vecteur dual » de cette transformation, le vecteur tel que l’application de la transformation revient à prendre un produit scalaire avec ce vecteur.

D’une part, une approche calculatoire vous mènera à l’astuce consistant à placer les symboles 𝑖 chapeau, 𝑗 chapeau et 𝑘 chapeau dans la première colonne de la matrice et à calculer le déterminant. Mais en pensant géométriquement, on peut en déduire que ce vecteur dual doit être perpendiculaire à 𝐕 et 𝐖 avec une longueur égale à la surface du parallélogramme recouverte par ces deux vecteurs. Puisque ces deux approches nous donnent un vecteur dual pour la même transformation, elles doivent être le même vecteur. Cela englobe donc les produits scalaires et mixtes. Et la prochaine vidéo sera un concept très important pour l’algèbre linéaire : le changement de base.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.