Transcription de la vidéo
HĂ© les gars ! LĂ oĂč nous nous sommes quittĂ©s, je parlais de comment calculer un produit
vectoriel en trois dimensions entre deux vecteurs, đ croix đ. Câest cette drĂŽle de chose oĂč vous Ă©crivez une matrice, dont la deuxiĂšme
colonne comporte les coordonnĂ©es de đŁ, dont la troisiĂšme colonne a
les coordonnĂ©es de đ€, mais les entrĂ©es de cette premiĂšre colonne,
bizarrement, sont les symboles đ chapeau, đ chapeau, et đ
chapeau, oĂč vous prĂ©tendez juste que ces choses-lĂ sont des nombres
pour des raisons de calcul.
Ensuite, avec cette matrice géniale en main, vous calculez son
déterminant. Si vous effectuez ces calculs, en ignorant la bizarrerie, vous obtenez
une constante fois đ chapeau , plus une constante fois chapeau de
đ et quelques fois constants đ chapeau. La façon dont vous envisagez de calculer ce dĂ©terminant est un peu autre
chose. La seule chose qui compte vraiment ici est que vous allez vous retrouver
avec trois nombres différents qui sont interprétés comme les
coordonnĂ©es dâun vecteur rĂ©sultant. Ă partir de lĂ , les Ă©tudiants sont gĂ©nĂ©ralement sommĂ©s de croire que le
vecteur résultant a les propriétés géométriques suivantes : sa
longueur est Ă©gale Ă lâaire du parallĂ©logramme dĂ©limitĂ© par đ et
đ, il pointe dans une direction perpendiculaire Ă la fois de đ et
đ, et cette direction obĂ©it Ă la rĂšgle de la main droite dans le
sens que si vous pointez votre index le long de đ et votre doigt du
milieu le long de đ puis quand vous tendez votre pouce, il va
pointer dans la direction du nouveau vecteur.
Vous pouvez effectuer certains calculs de maniĂšre brutale pour confirmer
ces faits. Mais je veux partager avec vous un raisonnement vraiment élégant. Il exploite cependant un peu de prérequis. Donc pour cette vidéo, je suppose que tout le monde a regardé le chapitre
5 sur le dĂ©terminant et le chapitre 7 oĂč je prĂ©sente la notion de
dualitĂ©. Pour rappel, lâidĂ©e de dualitĂ© est que, chaque fois que vous effectuez
une transformation linĂ©aire dâun espace Ă une droite numĂ©rique, elle
est associĂ©e Ă un vecteur unique dans cet espace, dans le sens oĂč
effectuer la transformation linéaire revient à prendre un produit
scalaire avec ce vecteur. NumĂ©riquement, cela est dĂ» au fait quâune de ces transformations est
décrite par une matrice avec une seule ligne, chaque colonne
indiquant le nombre de fois que chaque vecteur de base se situe. Et multiplier cette matrice par un vecteur đ Ă©quivaut Ă calculer le
produit scalaire entre đ et le vecteur que vous obtenez en
retournant cette matrice sur son cĂŽtĂ©. En guise de conclusion, chaque fois que vous ĂȘtes dans la jungle
mathématique et que vous trouvez une transformation linéaire sur une
droite numĂ©rique, vous pourrez lâassocier Ă un vecteur, appelĂ©
« vecteur dual » de cette transformation, de sorte que la
transformation linéaire équivaut à prendre un produit scalaire avec
ce vecteur.
Le produit vectoriel nous donne un trĂšs bon exemple de ce processus en
action. Cela demande quelques efforts, mais ça en vaut vraiment la peine. Ce que je vais faire, câest dĂ©finir une certaine transformation linĂ©aire
des trois dimensions sur la droite numĂ©rique. Et il sera dĂ©fini en fonction des deux vecteurs đ et đ. Puis, quand nous associons cette transformation avec son vecteur dual
dans lâespace 3D, ce vecteur dual va ĂȘtre le produit vectoriel de đ
et đ. La raison en est que la comprĂ©hension de la transformation va clarifier
le lien entre le calcul et la géométrie du produit vectoriel.
Donc, pour rappeler un peu, rappelez-vous en deux dimensions ce que cela
signifiait de calculer la version 2D du produit vectoriel ? Lorsque vous avez deux vecteurs đ et đ, vous mettez les coordonnĂ©es de
đ en tant que premiĂšre colonne de la matrice et les coordonnĂ©es de
đ en tant que deuxiĂšme colonne de la matrice, puis vous ne calculez
que le dĂ©terminant. Il nây a pas de bĂȘtises avec des vecteurs de base coincĂ©s dans une
matrice ou quelque chose du genre, mais un déterminant ordinaire qui
renvoie un nombre. GĂ©omĂ©triquement, cela nous donne lâaire dâun parallĂ©logramme recouvert
par ces deux vecteurs avec la possibilitĂ© dâĂȘtre nĂ©gative en
fonction de lâorientation des vecteurs. Maintenant, si vous ne connaissez pas dĂ©jĂ le produit mixte 3D et que
vous essayez dâextrapoler, vous pouvez imaginer que cela implique de
prendre trois vecteurs 3D distincts, đ et đ et de faire en sorte
que leurs coordonnĂ©es soient les colonnes dâune matrice trois par
trois, puis calculer le déterminant de cette matrice. Et, comme vous le savez du chapitre 5, géométriquement, cela vous
donnerait le volume dâun parallĂ©lĂ©pipĂšde recouvert par ces trois
vecteurs, le signe plus ou moins dĂ©pendant de lâorientation de la
rĂšgle de la main droite de ces trois vecteurs. Bien sĂ»r, vous savez tous que ce nâest pas le produit mixte 3D. Le produit vectoriel 3D prend deux vecteurs et sort un vecteur. Il ne prend pas trois vecteurs pour sortir un nombre. Mais cette idĂ©e nous rapproche rĂ©ellement de ce quâest le vĂ©ritable
produit vectoriel.
ConsidĂ©rez que premier vecteur đ est une variable, disons avec des
variables dâentrĂ©e đ„, đŠ et đ§, tandis que đ et đ restent
fixes. Ce que nous avons alors est une fonction de trois dimensions vers la
droite numĂ©rique. Vous entrez un vecteur â đ„, đŠ, đ§ â et vous obtenez un certain nombre
en prenant le dĂ©terminant dâune matrice dont la premiĂšre colonne est
đ„, đŠ, đ§ et dont deux autres colonnes sont les coordonnĂ©es des
vecteurs constants đ et đ. GĂ©omĂ©triquement, le sens de cette fonction est que pour tout vecteur
dâentrĂ©e đ„, đŠ, đ§, on considĂšre le pavĂ© droit dĂ©fini par ce
vecteur đ et đ puis vous retournez son volume avec le signe plus
ou moins en fonction de lâorientation. Maintenant, cela peut sembler une sorte de chose alĂ©atoire Ă faire. Je veux dire, dâoĂč vient cette fonction ? Pourquoi la dĂ©finissons-nous de cette façon ? Et je vous avouerai quâĂ ce stade, il se peut que vous ayez lâimpression
que ça sort de nulle part. Mais si vous ĂȘtes prĂȘt Ă jouer avec les propriĂ©tĂ©s de ce type, câest la
clĂ© pour comprendre le produit vectoriel. Une propriĂ©tĂ© trĂšs importante Ă propos de cette fonction est quâelle est
linéaire. En fait, je vous laisse expliquer en détail pourquoi cela est vrai en
fonction des propriĂ©tĂ©s du dĂ©terminant. Mais une fois que vous savez que câest linĂ©aire, nous pouvons commencer Ă
introduire lâidĂ©e de dualitĂ©.
Une fois que vous savez que câest linĂ©aire, vous savez quâil y a un moyen
de dĂ©crire cette fonction comme une multiplication matricielle. Plus prĂ©cisĂ©ment, comme il sâagit dâune fonction allant de trois
dimensions Ă une dimension, il y aura une matrice un sur trois qui
code cette transformation. Et lâidĂ©e de la dualitĂ© est que la particularitĂ© des transformations de
plusieurs dimensions en une seule dimension est que vous pouvez
inverser cette matrice et interprĂ©ter lâintĂ©gralitĂ© de la
transformation comme le produit scalaire avec un certain
vecteur. Ce que nous cherchons est le vecteur 3D spĂ©cial que je vais appeler đ
tel que prendre le produit scalaire entre đ et tout autre vecteur
đ„, đŠ, đ§ donne le mĂȘme rĂ©sultat que de placer đ„, đŠ, đ§ dans la
premiĂšre colonne dâune matrice trois par trois dont les deux autres
colonnes ont les coordonnĂ©es de đ et đ, puis de calculer le
dĂ©terminant. Je vais arriver Ă la gĂ©omĂ©trie de ceci dans un instant. Mais pour lâinstant, creusons et rĂ©flĂ©chissons Ă ce que cela signifie par
le calcul. Le produit scalaire entre đ et đ„, đŠ, đ§ va nous donner quelque chose
fois đ„ plus quelque chose fois đŠ plus quelque chose fois đ§, oĂč
les quelques choses sont les coordonnĂ©es de đ. Mais sur le cĂŽtĂ© droit ici, quand vous calculez le dĂ©terminant, vous
pouvez lâorganiser pour ressembler Ă une constante fois đ„ plus une
constante fois đŠ plus une constante fois đ§ oĂč ces constantes
impliquent certaines combinaisons des coordonnĂ©es de đŁ et đ€. Ainsi, ces constantes, ces combinaisons particuliĂšres des coordonnĂ©es de
đŁ et đ€ vont ĂȘtre les coordonnĂ©es du vecteur đ que nous
recherchons.
Mais ce qui se passe Ă droite ici devrait sembler trĂšs familier Ă
quiconque a réellement travaillé avec un calcul de produit
vectoriel. Collecter les termes constants qui sont multipliĂ©s par đ„, đŠ et đ§ comme
celui-ci ne diffĂšre pas de placer les symboles đ chapeau, đ
chapeau et đ chapeau dans la premiĂšre colonne et de voir quels
coefficients sâaggrĂšgent sur chacun de ces termes. Câest juste que placer đ chapeau, đ chapeau et đ chapeau est une
maniÚre de signaler que nous devrions interpréter ces coefficients
comme les coordonnĂ©es dâun vecteur. Alors, tout ce que cela dit est que ce calcul amusant peut ĂȘtre considĂ©rĂ©
comme un moyen de rĂ©pondre Ă la question suivante : quel vecteur đ
a la propriété spéciale que lorsque vous prenez un produit scalaire
entre đ et un vecteur đ„, đŠ, đ§ cela donne le mĂȘme rĂ©sultat que de
placer đ„ , đŠ , đ§ dans la premiĂšre colonne de la matrice dont les
deux autres colonnes ont les coordonnĂ©es de đŁ et đ€ , puis de
calculer le dĂ©terminant ? Câest un peu un dĂ©tail. Mais câest une question importante Ă assimiler pour cette vidĂ©o.
Passons maintenant à la partie cool qui lie tout cela à la compréhension
gĂ©omĂ©trique du produit vectoriel que jâai prĂ©sentĂ©e dans la derniĂšre
vidĂ©o. Je vais poser la mĂȘme question Ă nouveau. Mais cette fois, nous allons essayer dây rĂ©pondre gĂ©omĂ©triquement plutĂŽt
que par le calcul. Quel vecteur 3D đ a la particularitĂ© que lorsque vous prenez un produit
scalaire entre đ et un autre vecteur đ„, đŠ, đ§ lui donne le mĂȘme
rĂ©sultat que si vous avez pris le volume orientĂ© dâun pavĂ© droit
dĂ©fini par ce vecteur đ„, đŠ, đ§ avec đŁ et đ€ ? Rappelez-vous, lâinterprĂ©tation gĂ©omĂ©trique dâun produit scalaire entre
un vecteur đ et un autre vecteur est de projeter sur cet autre
vecteur đ puis de multiplier la longueur de la projection par la
longueur de đ. Dans cet esprit, laissez-moi vous montrer une certaine façon de penser au
volume du pavĂ© droit qui nous tient Ă cĆur. Commencez en prenant lâaire du parallĂ©logramme dĂ©fini par đ et đ, puis
multipliez-la non par la longueur de đ„, đŠ, đ§, mais par la
coordonnĂ©e de đ„, đŠ, đ§ qui est perpendiculaire Ă ce
parallélogramme.
En dâautres termes, la façon dont notre fonction linĂ©aire fonctionne sur
un vecteur donné est de projeter ce vecteur sur une droite qui est
perpendiculaire Ă la fois Ă đ et đ puis alors de multiplier la
longueur de cette projection par lâaire du parallĂ©logramme engendrĂ©
par đ et đ. Mais cela est la mĂȘme chose que de prendre un produit scalaire entre đ„,
đŠ, đ§ et un vecteur qui est perpendiculaire Ă đ et đ avec une
longueur Ă©gale Ă lâaire de ce parallĂ©logramme. De plus, si vous choisissez la bonne direction pour ce vecteur, les cas
oĂč le produit scalaire nĂ©gatif sera alignĂ© avec les cas oĂč la rĂšgle
de la main droite pour lâorientation de đ„, đŠ, đ§, đŁ et đ€ est
négative.
Cela signifie que nous venons de trouver un vecteur đ tel que la prise
dâun produit scalaire entre đ et un vecteur đ„, đŠ, đ§ est la mĂȘme
chose que le calcul de ce dĂ©terminant dâune matrice trois par trois
dont les colonnes sont đ„, đŠ, đ§, les coordonnĂ©es de đŁ et đ€. Donc, la rĂ©ponse que nous avons trouvĂ©e plus tĂŽt, en calculant, en
utilisant cette astuce de notation spéciale doit correspondre
gĂ©omĂ©triquement Ă ce vecteur. Câest la raison fondamentale pour laquelle le calcul et lâinterprĂ©tation
géométrique du produit vectoriel sont liés.
Pour rĂ©sumer ce qui est arrivĂ© ici, jâai commencĂ© en dĂ©finissant une
transformation linĂ©aire de lâespace 3D Ă la ligne numĂ©rique, et il a
Ă©tĂ© dĂ©fini en fonction des vecteurs đ et đ, alors je suis passĂ©
par deux voies distinctes pour penser le « vecteur dual » de cette
transformation, le vecteur tel que lâapplication de la
transformation revient Ă prendre un produit scalaire avec ce
vecteur.
Dâune part, une approche calculatoire vous mĂšnera Ă lâastuce consistant Ă
placer les symboles đ chapeau, đ chapeau et đ chapeau dans la
premiÚre colonne de la matrice et à calculer le déterminant. Mais en pensant géométriquement, on peut en déduire que ce vecteur dual
doit ĂȘtre perpendiculaire Ă đ et đ avec une longueur Ă©gale Ă la
surface du parallĂ©logramme recouverte par ces deux vecteurs. Puisque ces deux approches nous donnent un vecteur dual pour la mĂȘme
transformation, elles doivent ĂȘtre le mĂȘme vecteur. Cela englobe donc les produits scalaires et mixtes. Et la prochaine vidĂ©o sera un concept trĂšs important pour lâalgĂšbre
linéaire : le changement de base.