Transcription de la vidéo
Une échelle uniforme repose dans un plan vertical, son extrémité supérieure contre une paroi verticale lisse et sa partie inférieure sur un sol horizontal rugueux, où le coefficient de friction entre l’échelle et le sol est de deux tiers. L’échelle est inclinée par rapport à l’horizontale selon un angle de 48 degrés. Étant donné que l’échelle pèse 295 newtons et qu’elle a une longueur de 𝐿, déterminez, en fonction de 𝐿, la distance maximale qu’un homme pesant 610 newtons peut gravir l’échelle sans qu’elle ne glisse, en arrondissant votre réponse au centième près.
Pour répondre à cette question, nous allons simplement commencer par dessiner un schéma. L’angle que forme l’échelle avec l’horizontale est de 48 degrés. On nous dit que l’échelle est uniforme et qu’elle pèse 295 newtons. Le fait qu’elle soit uniforme signifie que son poids est uniformément réparti sur sa longueur. Et donc, lorsque nous modélisons cela, nous pouvons modéliser son poids comme agissant exactement à mi-chemin de l’échelle. Eh bien, puisque l’échelle est longue de 𝐿 et qu’on ne nous indique pas les unités, nous savons que cela agit à une distance d’un demi 𝐿 de la base de l’échelle. On nous dit que le sol est rugueux, ce qui signifie qu’il y a une force de frottement du sol sur l’échelle. Cette force agit à l’encontre de la direction dans laquelle l’échelle cherche à glisser. Et donc, dans notre schéma, elle agit vers la droite.
Il y a deux autres forces qui nous intéressent. Nous appellerons la base de notre échelle 𝐴 et le sommet de l’échelle, le point de rencontre avec le mur, 𝐵. Il y a deux forces de réaction en ces points. 𝑅 indice 𝐴 est la force de réaction du sol sur l’échelle, et elle agit perpendiculairement au sol. Et 𝑅 indice 𝐵 est la force de réaction du mur sur l’échelle, et elle agit perpendiculairement au mur. La question est de savoir jusqu’où un homme de 610 newtons peut monter avant que l’échelle ne glisse. Or, ce qui rend cette question un peu délicate, c’est que nous ne savons pas s’il peut aller jusqu’à la moitié ou plus loin que la moitié. Sur notre schéma, nous allons le modéliser comme pouvant aller plus loin que la moitié. Mais en fait, les mathématiques nous donneront la réponse.
Supposons qu’il parcourt une fraction 𝑥 en montant l’échelle, où 𝑥 est un nombre compris entre zéro et un. Nous pouvons dire que la distance qu’il parcourra à partir de 𝐴 est de 𝑥𝐿 unités. Maintenant que nous avons notre schéma, nous sommes prêts pour nos prochaines étapes. Cette valeur de coefficient de friction que nous appelons 𝜇, et il est lié à la force de frottement du sol sur l’échelle. Pour répondre à cette question, commençons par décomposer nos forces dans une direction verticale. Nous allons ensuite décomposer horizontalement avant de considérer finalement les moments agissant sur l’échelle.
Nous allons dire que l’échelle est sur le point de glisser, et qu’elle est donc en équilibre limite. Pour que ce soit le cas, la somme de toutes ses forces verticales, appelons cela 𝐹 indice 𝑦, doit être égale à zéro. Si nous prenons le haut comme sens positif, nous savons que 𝑅 indice 𝐴 agit vers le haut, et que dans la direction opposée, nous avons le poids de l’échelle et le poids de l’homme. Ainsi, la somme des forces dans une direction verticale est 𝑅 indice 𝐴 moins 295 moins 610. Nous savons que l’échelle est en équilibre, donc cela est égal à zéro. Moins 295 moins 610 est moins 905. Et donc, en ajoutant 905 aux deux côtés de cette équation, on obtient 𝑅 indice 𝐴 soit 905 newtons.
Ensuite, nous décomposons dans une direction horizontale. Une fois de plus, nous savons que la somme de ces forces sera égale à zéro. Prenons la direction vers la droite comme étant positive. Ensuite, nous voyons que notre force de frottement est positive. La force de réaction sur 𝐵 agit dans la direction opposée. Ainsi, la somme de nos forces dans une direction horizontale est la friction moins 𝑅 indice 𝐵. Et bien sûr, cela est égal à zéro. Mais en fait, nous savons que la friction est égale à 𝜇𝑅, où 𝜇 est le coefficient de friction et 𝑅 est la force de réaction en ce point. Le coefficient de friction dans cette question est de deux tiers, et la force de réaction en 𝐴, qui est le point où le frottement agit, est de 905. Nous obtenons donc deux tiers de 905 moins 𝑅 𝐵 égale zéro. Deux tiers fois 905, c’est 1810 sur trois. Nous ajoutons donc 𝑅 indice 𝐵 aux deux côtés de notre équation, et nous voyons que 𝑅 indice 𝐵 est 1810 sur trois newtons.
Maintenant que nous avons décomposé horizontalement et verticalement et que nous avons calculé la valeur de nos forces de réaction, nous sommes en mesure de calculer des moments. Maintenant, nous pouvons calculer des moments par rapport à n’importe quel point de l’échelle. Mais en réalité, il est souvent judicieux de prendre des moments par rapport au point de rencontre entre l’échelle et le sol. Habituellement, plusieurs forces agissent en ce point, ce qui minimise les calculs que nous devons faire. Nous allons donc prendre des moments par rapport à 𝐴, et nous allons définir un sens positif. Disons que le sens inverse des aiguilles d’une montre est positif. Nous rappelons qu’un moment est égal à la force multipliée par la distance, où la distance 𝑑 est la distance perpendiculaire du pivot à la ligne d’action de la force.
Encore une fois, comme l’échelle est en équilibre limite, nous savons que la somme de nos moments sera égale à zéro. Commençons donc par examiner le poids de l’échelle et le moment de cette force. Nous voulons la composante de cette force qui est perpendiculaire à l’échelle. Nous ajoutons donc un triangle rectangle avec un angle intérieur de 48 degrés. Nous savons que l’hypoténuse de ce triangle de force est de 295 newtons. Et nous voulons déterminer le côté adjacent. Si nous définissons cette composante de la force comme étant égale à 𝑎 ou 𝑎 newtons, nous voyons que nous pouvons utiliser le rapport cosinus. Cos de 48 est égal à 𝑎 sur 295. Nous multiplions ensuite les deux côtés par 295, et nous déterminons la valeur de 𝑎 ; c’est 295 fois cos de 48 degrés. Et bien sûr, c’est en newtons.
Cette force tente de déplacer l’échelle dans le sens des aiguilles d’une montre. Son moment sera donc négatif. Le moment est la force multipliée par la distance. Donc, ce moment est moins 295 fois cos de 48 fois la moitié de 𝐿. Et nous avons choisi un demi de 𝐿 parce que nous avons dit que c’est la distance en remontant l’échelle où cette force agit. Nous allons maintenant considérer le poids de l’homme. Encore une fois, nous ajoutons un triangle rectangle. Ce triangle rectangle est semblable au précédent. La seule différence est l’hypoténuse ; cette fois, elle est de 610. Et nous désignons le côté que nous recherchons par 𝑏. N’oubliez pas que nous voulons la composante qui est perpendiculaire à l’échelle. Nous obtenons donc cos 48 égal à 𝑏 sur 610, ce qui signifie que 𝑏 vaut 610 fois cos de 48.
Une fois de plus, le moment est négatif, nous allons donc soustraire 610 cos 48 multiplié par la distance, qui, nous l’avons dit, est 𝑥𝐿. Il y a une autre force que nous examinons. Cette fois-ci, nous nous intéressons à la composante de la force de réaction en 𝐵, qui est perpendiculaire à l’échelle. Nous y ajoutons donc un autre triangle rectangle. Encore une fois, nous connaissons l’hypoténuse. C’est 𝑅 indice 𝐵, que nous avons déjà calculé. Mais cette fois, nous voulons le côté opposé. Appelons-le 𝑐. Et donc pour relier l’opposé et l’hypoténuse, nous utilisons le rapport sinus, sin 48 égale 𝑐 sur 𝑅 indice 𝐵. Donc, nous multiplions par 𝑅 indice 𝐵, et nous trouvons que 𝑐 vaut 𝑅 indice 𝐵 sin 48.
Maintenant, cette force essaie de déplacer l’échelle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Son moment est donc positif. Nous multiplions cette force par la distance qui nous sépare de 𝐴. C’est donc 𝑅 indice 𝐵 sin 48 fois 𝐿. Nous savons que la somme de toutes ces forces est égale à zéro. Maintenant, remarquez que si nous avions pris un moment par rapport à un point différent, disons 𝐵 par exemple, nous aurions eu deux forces à considérer en 𝐴, alors qu’en 𝐵 nous n’avions qu’une seule force à considérer. Il y a donc un peu moins de calculs à effectuer. Maintenant, avant d’entamer quoi que ce soit, nous remarquons que nous pouvons diviser par 𝐿. N’oubliez pas que nous pouvons le faire uniquement si 𝐿 est non nul. Eh bien, 𝐿 est la longueur de l’échelle, donc nous savons que c’est possible.
Ensuite, nous simplifions. Et en même temps, nous allons remplacer 𝑅 indice 𝐵 par 1810 sur trois. Et donc notre équation est moins 295 sur deux fois cos 48 moins 610𝑥 cos 48 plus 1810 sur trois sin 48 est égal à zéro. Pour résoudre en 𝑥, nous allons ajouter 610 fois 𝑥 cos 48 aux deux côtés. Puis nous évaluerons ce qui reste sur la gauche. En tapant cela dans notre calculatrice, nous obtenons 349,667 et ainsi de suite. Pour calculer 𝑥, nous allons diviser par 610 cos 48. 349,667 divisé par 610 cos 48 nous donne une valeur de 0,85667 et ainsi de suite. Corrigé au centième près, cela donne 0,86. Et nous voyons donc que l’homme peut parcourir la fraction 0,86 de l’échelle avant qu’elle ne se mette à glisser. En fonction de 𝐿, la distance qu’il parcourt alors est de 0,86𝐿.
