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Le tableau suivant représente la relation entre les résultats des évaluations des employés cette année et les résultats obtenus l’année dernière. Déterminez le coefficient de corrélation de Spearman entre les résultats de l’année dernière et ceux de l’année en cours.
Nous pouvons voir dans le tableau que pour les cinq employés,nous pouvons avoir des résultats d’évaluation différents pour l’année dernière et cette année. Par exemple, l’employé A a répondu aux attentes l’année dernière et a dépassé les attentes cette année. Nous voyons également dans le tableau qu’il existe deux autres résultats d’évaluation : celui d’une performance exceptionnelle et d’un besoin d’amélioration. Puisque chacun des cinq employés a deux résultats d’évaluation, nous pouvons dire que chacun des points de données est bivarié ; c’est-à-dire qu’il dépend de deux variables. Puisque les données sont configurées de cette façon, nous pouvons calculer le coefficient de corrélation de Spearman. Ce coefficient nous donne une mesure numérique de la similitude, non pas des données elles-mêmes, mais plutôt de ce que l’on appelle le rang des données par rapport aux autres données.
Pour mieux comprendre cela, nous allons ajouter quelques lignes au tableau. D’abord, nous avons un rang représentant les évaluations de l’année dernière et également un classement des évaluations de cette année. Lorsque nous parlons de rang, cela signifie appliquer un nombre pour représenter les différents résultats dans le tableau de données d’origine. Nous allons associer les rangs inférieurs un, deux, et ainsi de suite, aux résultats d’évaluation des employés les plus bas, voire les pires. Dans les résultats de l’année dernière, il y avait un exemple, l’employé B, qui avait besoin de s’améliorer. Puisqu’il s’agit du résultat d’évaluation le plus bas, nous lui attribuerons le rang de un.
L’évaluation la plus basse suivante est : répond aux attentes ; elle a été obtenu par l’employé A et l’employé D. Au lieu de leur attribuer le rang deux à tous les deux ou de leur assigner les rangs deux et trois, nous allons calculer la moyenne des rangs deux et trois. Elle est égale à 2,5, nous attribuons donc à l’employé A et à l’employé D un rang de 2,5. Le résultat le plus bas suivant est : supérieur aux attentes. Il a été donné à l’employé E, nous allons donc lui attribuer un rang de quatre. Enfin, l’employé C a obtenu un résultat d’évaluation exceptionnel, nous allons donc lui attribuer un rang de cinq.
Nous pouvons ensuite répéter ce processus pour les évaluations de cette année. L’employé D a obtenu le résultat d’évaluation le plus faible, il doit s’améliorer. Ensuite, nous avons l’employé B qui a répondu aux attentes. Nous avons ensuite les employés A et E qui ont dépassé les attentes. Cette fois, nous calculons la moyenne de trois et quatre, ce qui donne à ces deux-là un rang de 3,5. L’employé C a de nouveau obtenu l’évaluation la plus élevée et se classe donc au cinquième rang.
Comme déjà mentionné, en ce qui concerne le coefficient de corrélation de Spearman, celui-ci utilise les classements et non les données d’origine. Sa formule est la suivante. Le coefficient est égal à un moins six multiplié par la somme de 𝑑 indice 𝑖 au carré divisé par 𝑛 facteur 𝑛 au carré moins un, où 𝑑 indice 𝑖 représente la différence entre les rangs individuels dans une colonne de données ; le coefficient nous indique à quel point les rangs d’une ligne sont en accord avec ceux de l’autre.
Nous allons maintenant ajouter une autre ligne à notre tableau pour calculer 𝑑 indice 𝑖, c’est-à-dire le rang de l’année dernière moins le rang de cette année. Dans la première colonne, nous avons 2,5 moins 3,5, c’est-à-dire moins un. Ensuite, nous avons un moins deux, ce qui est également égal à moins un. Répéter cette opération pour les trois autres colonnes nous donne des valeurs de zéro, 1,5 et 0,5. À ce stade, nous notons que ce sont les valeurs de 𝑑 indice 𝑖 au carré que nous devons additionner. Nous allons donc ajouter une autre ligne pour calculer les valeurs correspondantes de 𝑑 indice 𝑖 au carré. Mettre moins un au carré nous donne un. Zéro au carré vaut zéro. 1,5 au carré vaut 2,25. 0,5 au carré vaut 0,25.
Nous pouvons maintenant trouver la somme de ces cinq valeurs. Un plus un plus zéro plus 2,25 plus 0,25 est égal à 4,5. Nous pouvons maintenant substituer cette valeur dans notre formule avec 𝑛 égal à cinq car il y a cinq employés. 𝑟 indice 𝑠 est donc égal à un moins six multiplié par 4,5 divisé par cinq multiplié par cinq au carré moins un et cela est égal à un moins 27 sur 120, ce qui nous donne une valeur exacte de 0,775. Le coefficient de corrélation de Spearman entre les résultats de l’année dernière et de l’année en cours est donc égal à 0,775.
Bien que cela ne soit pas requis pour cette question, il convient de noter que le coefficient de corrélation de Spearman peut prendre une valeur entre moins un et plus un, où une valeur de plus un indique une corrélation parfaite des rangs, une valeur de zéro indique qu’il n’y a aucune corrélation entre les rangs et une valeur de moins un indique une corrélation négative parfaite des rangs. En résumé, plus 𝑟 indice 𝑠 est proche de zéro, plus la corrélation entre les rangs est faible. Dans le contexte de cette question, une valeur de 0,775 indique une corrélation relativement forte entre les performances de cette année et celles de l’année dernière.