Vidéo : Écrire et résoudre un système d’équations linéaires à trois inconnues dans un contexte réel

Un refuge pour animaux compte au total 350 animaux, dont des chats, des chiens et des lapins. Si le nombre de lapins est 5 de moins que la moitié du nombre de chats et qu’il y a 20 chats de plus que de chiens, combien y en a-t-il au refuge ?

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Transcription de vidéo

Un refuge pour animaux compte au total trois cent cinquante animaux, dont des chats, des chiens et des lapins. Si le nombre de lapins est inférieur de cinq à la moitié du nombre de chats et qu’il y a vingt chats de plus que de chiens, combien y en a-t-il de chaque au refuge ?

Commençons par poser 𝑥 le nombre de chats, 𝑦 le nombre de chiens et 𝑧 le nombre de lapins.

Donc, il est dit que cet abri pour animaux compte au total trois cent cinquante animaux. Donc, le nombre de chats plus le nombre de chiens plus le nombre de lapins, 𝑥 plus 𝑦 plus 𝑧, devrait être égal à trois cent cinquante. Ensuite, il est indiqué que le nombre de lapins, 𝑧, est inférieur de cinq à la moitié du nombre de chats, ce qui équivaut à un demi 𝑥 moins cinq : cinq ôté à la moitié du nombre de chats. Enfin, il y a vingt chats de plus que des chiens. Donc, s’il y a plus de chats, le nombre de chats sera le nombre de chiens plus vingt, car il y a vingt chats de plus que de chiens. Alors maintenant, nous devons prendre ces trois équations d’une manière ou d’une autre et les résoudre pour 𝑥, 𝑦 et 𝑧.

Remarquez que les première, deuxième et troisième équations ont toutes une inconnue commune. Ils ont tous un 𝑥. Donc, il est dit que 𝑧 est égal à un demi 𝑥 moins cinq, nous pourrions donc intégrer cette information dans notre première équation. Et nous pourrions alors garder le tout premier 𝑥 de la première équation. Et puis, si nous pouvions en quelque sorte remplacer ce 𝑦 par quelque chose en fonction de 𝑥, alors cette première équation serait complètement en fonction de 𝑥 et nous pourrions résoudre pour 𝑥.

Donc notre dernière équation, 𝑥 est égal à 𝑦 plus vingt, résolvons-la pour 𝑦 et ensuite ce sera en fonction de 𝑥. Donc, si nous soustrayons vingt des deux côtés, nous aurons 𝑦 égale 𝑥 moins vingt. Donc, prendre notre première équation gardera le premier 𝑥. Et puis au lieu de 𝑦, nous allons le remplacer par le 𝑥 moins vingt. Ensuite, au lieu de 𝑧, nous le remplacerons par un demi 𝑥 moins cinq, puis nous éliminerons enfin les trois cent cinquante. Maintenant, nous pouvons résoudre pour 𝑥 en combinant des termes similaires : 𝑥 plus 𝑥 plus un demi 𝑥 est égal à deux et un demi 𝑥. Alors allons-y et écrivons-le en deux virgule cinq 𝑥. Et puis nous avons le moins vingt et le moins cinq, ce qui vaut moins vingt-cinq.

Ajoutons maintenant vingt-cinq des deux côtés de l’équation. Nous avons donc deux virgule cinq 𝑥 égale trois cent soixante-quinze. Maintenant, nous divisons les deux côtés par deux points cinq. Le deux virgule cinq annule à gauche, puis trois cent soixante-quinze divisé par deux, le point cinq est cent cinquante. Donc si 𝑥 vaut cent cinquante, il y a cent cinquante chats. Maintenant que nous connaissons 𝑥, nous pouvons le substituer pour trouver 𝑦 et 𝑧. Nous pouvons donc résoudre pour 𝑦, car 𝑦 est égal à 𝑥 moins vingt. Et en remplaçant 𝑥 par cent cinquante, cent cinquante moins vingt ce qui signifie que 𝑦 est cent trente. Donc, il y a cent trente chiens. Et enfin, 𝑧 est égal à un demi 𝑥 moins cinq, donc on substitue cent cinquante. Et la moitié des cent cinquante c’est soixante-quinze. Et soixante-quinze moins cinq signifie que 𝑧 est égal à soixante-dix. Donc, il y a soixante-dix lapins. Encore une fois, il y a soixante-dix lapins, cent cinquante chats et cent trente chiens.

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