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Soit 𝑥 une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs zéro, un, deux et trois. Sachant que la probabilité de 𝑥 égale zéro est égale à un neuvième, la probabilité de 𝑥 égale un est égale à quatre neuvièmes, la probabilité de 𝑥 égale deux est 𝑎, et la probabilité de 𝑥 égale trois est égale à trois 𝑎, déterminez la valeur de 𝑎.
Afin de répondre à cette question, rappelons certaines des principales propriétés des variables aléatoires discrètes. Une variable aléatoire discrète a un nombre dénombrable de valeurs possibles. Nous pouvons décrire la probabilité de chaque résultat à l'aide d'une loi de probabilité. Si 𝑓 de 𝑥 indique la probabilité de chaque événement, alors la somme de toutes les valeurs de 𝑓 de 𝑥 doit être égale à un. Chaque valeur 𝑓 de 𝑥 doit aussi être comprise entre zéro et un inclus. En fait, nous pouvons nous servir de cette première propriété pour répondre au problème.
En effet, on nous dit que la probabilité de 𝑥 égale zéro est égale à un neuvième, la probabilité de 𝑥 égale un est égale à quatre neuvièmes, la probabilité de 𝑥 égale deux est 𝑎 et la probabilité de 𝑥 égale trois est égale à trois 𝑎. On nous dit également que ce sont les seules issues possibles. Ainsi, la somme des probabilités que 𝑥 soit égale à zéro, un, deux et trois, est égale à un. Nous pouvons remplacer chacune de ces expressions par la valeur de probabilité correspondante. Ainsi, un neuvième plus quatre neuvièmes plus 𝑎 plus trois 𝑎 égale un. Un neuvième plus quatre neuvièmes donne cinq-neuvièmes. 𝑎 plus trois 𝑎 donne quatre 𝑎.
Ensuite, nous résolvons cette équation pour déterminer 𝑎 en soustrayant cinq neuvièmes des deux côtés, ce qui nous donne quatre 𝑎 égal à quatre neuvièmes. Pour finir, nous allons diviser par quatre. Il s'ensuit que quatre neuvièmes divisés par quatre égale un neuvième. Ainsi, étant données les informations sur notre variable aléatoire discrète 𝑥, 𝑎 doit être égal à un neuvième.
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