Vidéo question :: Discuter de l’existence de la limite d’une fonction définie par morceaux en un point donné Mathématiques

Transcription de la vidéo

Calculez, si elle existe, la limite lorsque 𝑥 tend vers quatre de 𝑓 de 𝑥 pour 𝑓 de 𝑥 égale six si 𝑥 est inférieur à quatre et 𝑓 de 𝑥 égale deux si 𝑥 est supérieur à quatre.

Dans cette question, on nous donne une fonction définie par morceaux 𝑓 de 𝑥 et on nous demande de discuter de l’existence de la limite lorsque 𝑥 tend vers quatre de 𝑓 de 𝑥. Et avant de rappeler ce que nous entendons par l’existence d’une limite, il faut commencer par regarder la fonction autour de la valeur de 𝑥 égale quatre. Et il y a plusieurs raisons à cela. Premièrement, il existe de nombreuses façons différentes pour une limite de ne pas exister. Ainsi, au lieu de rappeler toutes les différentes façons pour une limite de ne pas être définie, nous devrions commencer par examiner les sorties de notre fonction quand 𝑥 tend vers quatre. Nous pouvons alors voir quels problèmes se posent lorsque nous essayons de trouver une valeur pour cette limite.

Une autre raison est que notre fonction est une fonction définie par morceaux. Cela signifie que ce sont plusieurs sous-fonctions différentes définies sur plusieurs sous-ensembles de définition différents. En particulier, un problème qui peut se produire est lorsque le point limite est aux extrémités des sous-ensembles de définition de la sous-fonction. Cela signifie que la fonction est définie différemment à gauche et à droite de notre point limite. Nous pouvons voir que c’est ce qui se passe ici. Quatre est le point final des sous-ensembles de définition de 𝑓 de 𝑥.

Et à ce stade, nous pouvons commencer par remarquer quelque chose d’intéressant. Lorsque les valeurs d’entrée de 𝑥 sont inférieures à quatre, la fonction 𝑓 de 𝑥 donne une valeur constante de six. Cependant, lorsque les valeurs d’entrée de 𝑥 sont supérieures à quatre, la fonction génère une valeur constante de deux. Il semble donc que la fonction a différentes limites à gauche et à droite lorsque 𝑥 tend vers quatre. Nous pouvons utiliser ceci pour discuter de l’existence de cette limite.

Nous rappelons que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 d’une fonction 𝑓 de 𝑥 existe et est égale à une valeur finie 𝐿 si la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 à droite de 𝑓 de 𝑥 et la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 à gauche de 𝑓 de 𝑥 existent et sont toutes deux égales à 𝐿. En d’autres termes, pour que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe, nous devons vérifier trois choses. Tout d’abord, nous devons vérifier que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 à droite de 𝑓 de 𝑥 existe. Deuxièmement, nous devons vérifier que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 à gauche de 𝑓 de 𝑥 existe. Troisièmement, nous devons vérifier que ces deux valeurs sont égales à la même valeur 𝐿.

Mais nous pouvons voir que ce n’est pas ce qui se passe dans ce cas. Par exemple, nous pourrions le faire en utilisant un diagramme. Cependant, nous pouvons le faire directement en utilisant des limites. Commençons par trouver la limite lorsque 𝑥 tend vers quatre à gauche de 𝑓 de 𝑥. Puisque nous prenons la limite lorsque 𝑥 tend vers quatre à gauche, les valeurs de 𝑥 sont toujours inférieures à quatre. Et dans ce cas, la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à une valeur constante de six. Par conséquent, cette limite est juste égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers quatre à gauche de six. Mais six est une constante, donc sa valeur ne change pas lorsque la valeur de 𝑥 change. Cette limite est donc égale à six.

Nous pouvons faire exactement la même chose pour déterminer la limite lorsque 𝑥 tend vers quatre à droite de 𝑓 de 𝑥. Cette fois, les valeurs de 𝑥 sont supérieures à quatre. Donc, la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à la valeur constante de deux. Par conséquent, cette limite est juste égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers quatre à droite de deux. Et deux est une constante, donc cette limite vaut deux. Ainsi, la limite à gauche est égale à six et la limite à droite est égale à deux. Ces limites sont différentes. On peut donc dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers quatre de 𝑓 de 𝑥 n’existe pas.

Et en particulier, nous pouvons utiliser la notation 𝑓 évaluée en quatre à gauche pour représenter la limite lorsque 𝑥 tend vers de quatre à gauche de 𝑓 de 𝑥 et 𝑓 évaluée à quatre à droite pour représenter la limite à mesure que 𝑥 tend vers quatre à droite de 𝑓 de 𝑥. On peut alors conclure que la limite n’existe pas car 𝑓 évaluée en quatre à gauche n’est pas égale à 𝑓 évaluée en quatre à droite.

Il convient de noter que nous pouvons également vérifier cette réponse en considérant une courbe de 𝑓 de 𝑥. On sait que 𝑓 de 𝑥 a une valeur constante de six lorsque 𝑥 est inférieur à quatre et une valeur constante de deux lorsque 𝑥 est supérieur à quatre. Donc, c’est la droite horizontale 𝑦 égale six lorsque 𝑥 est inférieur à quatre. Et c’est la droite horizontale 𝑦 égale à deux lorsque 𝑥 est supérieur à quatre. Cela nous donne ce qui suit. Nous pouvons alors voir les limites à gauche et à droite sur le diagramme. Lorsque 𝑥 tend vers quatre à gauche, les résultats sont une valeur constante de six. La limite à gauche est donc de six. Cependant, comme nos valeurs de 𝑥 tend vers quatre à droite, les résultats sont une valeur constante de deux. Donc, la limite lorsque 𝑥 tend vers quatre à droite est de deux. Ces valeurs sont différentes. On peut donc conclure que la limite lorsque 𝑥 tend vers quatre de 𝑓 de 𝑥 n’existe pas car 𝑓 évaluée en quatre à gauche n’est pas égale à 𝑓 évaluée à quatre à droite.