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Déterminez la mesure de l’angle 𝜃 compris entre les deux vecteurs 𝐯 deux, un, quatre et 𝐰 un, moins deux, zéro.
On rappelle que le cosinus de l’angle 𝜃 entre deux vecteurs est égal au produit scalaire des deux vecteurs, 𝐚 scalaire 𝐛, divisé par le produit des normes des deux vecteurs. Dans cette question, le vecteur 𝐯 est égal à deux 𝐢 plus 𝐣 plus quatre 𝐤. Et le vecteur 𝐰 est égal à 𝐢 moins deux 𝐣 plus zéro 𝐤. Ce qui peut se simplifier par 𝐢 moins deux 𝐣. On peut calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs en multipliant les coefficients de 𝐢, les coefficients de 𝐣 et les coefficients de 𝐤. Puis en additionnant ces trois produits.
Deux fois un égale deux. Un fois moins deux égale moins deux. Et enfin, quatre fois zéro égale zéro. Deux moins deux plus zéro font zéro. Par conséquent, le produit scalaire des vecteurs 𝐯 et 𝐰 est nul. La norme d’un vecteur 𝐚 est égale à la racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 au carré, où 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont les coefficients respectifs de 𝐢, 𝐣 et 𝐤. La norme de 𝐯 est donc égale à racine carrée de deux au carré plus un au carré plus quatre au carré. Ce qui fait racine carrée de 21.
On peut ensuite calculer la norme de 𝐰 de la même manière. Racine carrée de un au carré plus moins deux au carré plus zéro au carré. Ce qui donne racine carrée de cinq. Et nous pouvons maintenant substituer ces trois valeurs dans la formule. Cos 𝜃 est égal à zéro divisé par racine carrée de 21 fois racine carrée de cinq. Zéro divisé par un nombre est toujours égal à zéro. Par conséquent, cos de 𝜃 est égal à zéro. En appliquant la réciproque du cosinus aux deux membres de cette équation, on obtient 𝜃 égal cos moins un de zéro. Ce qui fait 90 degrés. L’angle entre les vecteurs 𝐯 et 𝐰 est donc de 90 degrés.
