Vidéo question :: Déterminer le minimum local d’une fonction compte tenu de son maximum local et de l’expression de sa dérivée en utilisant l’intégration Mathématiques

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Déterminez le minimum local d’une courbe étant donné que son gradient est d𝑦 sur d𝑥 égale 𝑥 carré plus trois 𝑥 moins 18 et que le maximum local est 21.

Dans cette question, nous sommes chargés de trouver le minimum local d’une courbe. On nous donne une équation pour sa pente : d𝑦 sur d𝑥 est 𝑥 au carré plus trois 𝑥 moins 18. Et on nous dit que le maximum local est de 21. Pour répondre à cette question, nous commençons par rappeler que les extrema locaux d’une fonction se produisent toujours aux points critiques. Et ce sont les points où la dérivée de la fonction est nulle ou n’existe pas. Et on nous donne le gradient de cette fonction. C’est 𝑥 carré plus trois 𝑥 moins 18. C’est un polynôme du second degré. Et les fonctions du second degré sont définies pour toutes les valeurs réelles de 𝑥. Ainsi, la pente de cette fonction est définie pour toutes les valeurs de 𝑥. Les seuls points critiques se produisent lorsque la pente est nulle.

Alors, déterminons les valeurs 𝑥 des points critiques de cette fonction. Nous devons résoudre 𝑥 carré plus trois 𝑥 moins 18 égale zéro. Et nous pouvons le faire en factorisant. Nous remarquons que six multiplié par moins trois donne moins 18 et six plus moins trois est égal à trois. Par conséquent, nous pouvons factoriser ce polynôme pour obtenir 𝑥 plus six multiplié par 𝑥 moins trois égale zéro. Et pour qu’un produit soit égal à zéro, l’un des deux facteurs doit être égal à zéro. En d’autres termes, soit 𝑥 vaut moins six, soit 𝑥 est égal à trois. Ce sont les deux points critiques de la courbe.

Cependant, cela ne suffit pas pour déterminer le minimum local. Tout ce que nous savons est que cela se produit lorsque 𝑥 vaut moins six ou trois. Pour déterminer cette valeur, nous allons devoir trouver une équation de la courbe. Et nous pouvons le faire en utilisant le fait que l’on nous donne une équation pour le gradient. Par conséquent, 𝑦 sera une primitive de son gradient. On a 𝑦 égale l’intégrale indéfinie de d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑥. Avec une constante d’intégration, bien entendu. Remplaçons l’expression qui nous est donnée pour d𝑦 sur d𝑥 dans l’intégrale. Nous obtenons que 𝑦 est égal à l’intégrale indéfinie de 𝑥 au carré plus trois 𝑥 moins 18 par rapport à 𝑥.

Comme il s’agit de l’intégrale d’un polynôme, nous pouvons procéder terme à terme en utilisant la règle des puissances pour l’intégration qui, comme nous le savons, nous indique que pour toutes les constantes réelles 𝑎 et 𝑛, où 𝑛 est positif, l’intégrale de 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un divisé par 𝑛 plus un plus une constante d’intégration 𝐶. Nous pouvons appliquer ceci terme à terme, puis ajouter une constante d’intégration à la fin de cette expression. Nous obtenons 𝑥 au cube sur trois plus trois 𝑥 au carré sur deux moins 18𝑥 plus 𝐶. C’est l’équation de notre courbe pour une valeur de 𝐶.

Et puisque nous ne connaissons pas la valeur de 𝐶, nous ne pouvons pas déterminer le minimum local de cette courbe. Il changera en fonction de la valeur de 𝐶. Et nous ne pouvons pas simplement substituer 𝑥 égale moins six ou 𝑥 égale trois dans cette courbe parce que nous ne connaissons pas la coordonnée 𝑦 correspondante. Nous devons donc déterminer les coordonnées d’un point qui se trouve sur la courbe. Cela nous permettra de trouver la valeur de 𝐶. Pour ce faire, nous devons utiliser le fait que le maximum local de cette courbe est de 21. Et comme il s’agit d’un extremum local, nous savons qu’il se produira à l’un des points critiques. Il se produit soit lorsque 𝑥 vaut moins six, soit lorsque 𝑥 est égal à trois. Par conséquent, nous devons déterminer lequel de ces deux points critiques est le maximum local.

Il y a plusieurs façons de le faire. Par exemple, nous pourrions utiliser le test de la dérivée première. Cependant, nous allons utiliser le fait que nous savons que 𝑦 est un polynôme cubique. Et nous pouvons voir qu’il a un coefficient directeur positif. Et enfin, nous savons que la courbe a deux points critiques. En d’autres termes, nous pouvons esquisser la forme de la fonction. Il s’agit d’un polynôme du troisième degré à coefficient directeur positif avec deux points de retournement. Et le premier point de retournement a la coordonnée 𝑥 de moins six, et le deuxième point de retournement a la coordonnée 𝑥 de trois. Par conséquent, lorsque 𝑥 vaut moins six, la courbe a un maximum local, et lorsque 𝑥 vaut trois, la courbe a un minimum local. Cela nous permet alors de trouver les coordonnées d’un point situé sur la courbe. Le maximum local de cette courbe est 21. Ainsi, lorsque 𝑥 vaut moins six, 𝑦 vaut 21.

Par conséquent, nous pouvons substituer 𝑥 égale moins six et 𝑦 égale 21 dans l’équation de la courbe pour trouver la valeur de 𝐶. Cela nous donne que 21 est égal à moins six au cube sur trois plus trois fois moins six au carré sur deux moins 18 multiplié par moins six plus 𝐶. Nous pouvons alors évaluer et réorganiser pour trouver la valeur de 𝐶. Nous obtenons que 𝐶 est égal à moins 69. Nous pouvons alors substituer cette valeur de 𝐶 dans l’équation de la courbe. Cela nous donne que l’équation de la courbe est 𝑦 égale 𝑥 au cube sur trois plus trois 𝑥 au carré sur deux moins 18𝑥 moins 69.

Et maintenant, nous pouvons trouver la valeur du minimum local de cette courbe. Nous savons qu’il se produit au point critique 𝑥 égale trois. Nous substituons donc 𝑥 égale trois dans l’équation de la courbe. Nous obtenons 𝑦 égale trois au cube sur trois plus trois fois trois au carré sur deux moins 18 fois trois moins 69. Nous pouvons alors évaluer cette expression pour trouver que la coordonnée 𝑦 de ce point est moins 100,5, ce qui est notre réponse finale.

Par conséquent, nous avons pu montrer que si le gradient d’une courbe est donné par d𝑦 sur d𝑥 égale 𝑥 carré plus trois 𝑥 moins 18 et que le maximum local de cette courbe est de 21, alors le minimum local est moins 100,5.