Transcription de la vidéo
Calculez la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de l’expression 𝑥 au carré moins quatre sur 𝑥 au carré moins neuf multiplié par 𝑥 moins trois sur 𝑥 moins deux.
Maintenant, nous pourrions être tentés de répondre à cette question en substituant 𝑥 égale deux dans l’expression. Voyons ce qui se passe si nous le faisons. L’expression devient deux au carré moins quatre sur deux au carré moins neuf multiplié par deux moins trois sur deux moins deux. Bien sûr, deux au carré est égal à quatre. Ainsi, la première fraction devient quatre moins quatre, c’est-à-dire zéro, sur quatre moins neuf, ce qui donne moins cinq. Et il n’y a pas de problème avec cela jusqu’à présent.
La deuxième fraction devient cependant moins un sur zéro. Nous savons que nous ne pouvons pas diviser par zéro. L’expression est indéfinie. Nous allons donc devoir trouver une autre méthode pour résoudre ce problème. Au lieu de cela, nous allons chercher à simplifier l’expression en factorisant là où c’est possible.
Nous allons commencer par factoriser l’expression 𝑥 au carré moins quatre. Ceci est un exemple particulier de la différence de deux carrés. Nous avons deux nombres au carrés séparés par un symbole de soustraction. On retrouve donc la racine carrée de chaque partie. La racine carrée de 𝑥 au carré est 𝑥. Nous plaçons donc un 𝑥 au début de chaque parenthèse. La racine carrée de quatre est deux. Nous avons donc ajouté deux comme partie numérique de chaque parenthèse. Et avec la différence de deux carrés, nous écrivons un de ceux-là plus deux et un de ceux-là moins deux. Et nous verrons pourquoi en vérifiant notre réponse.
Nous pouvons vérifier notre réponse en multipliant les parenthèses à nouveau. Nous multiplions le premier terme dans chaque parenthèse. On a 𝑥 multiplié par 𝑥 donne 𝑥 au carré. Nous multiplions les termes extérieurs. On a 𝑥 multiplié par moins deux donne moins deux 𝑥. Ensuite, les termes intérieurs, deux multiplié par 𝑥 donne deux 𝑥. Et les derniers termes, deux multiplié par moins deux donne moins quatre. Et nous pouvons voir maintenant que moins deux 𝑥 plus deux 𝑥 vaut zéro. Ainsi, développer 𝑥 plus deux par 𝑥 moins deux nous donne effectivement 𝑥 au carré moins quatre comme prévu.
Nous allons répéter ce processus pour 𝑥 carré moins neuf. Encore une fois, nous avons un 𝑥 à l’avant de chaque parenthèse. Et la racine carrée de neuf est trois. Donc, cela se factorise en 𝑥 plus trois multiplié par 𝑥 moins trois. Et maintenant, nous trouvons la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑥 plus deux fois 𝑥 moins deux sur 𝑥 plus trois fois 𝑥 moins trois multiplié par 𝑥 moins trois sur 𝑥 moins deux.
Nous pouvons simplifier. Nous divisons par 𝑥 moins deux. Nous divisons ensuite par 𝑥 moins trois. Et nous pouvons voir que nous multiplions maintenant 𝑥 plus deux sur 𝑥 plus trois par un. Et nous avons la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑥 plus deux sur 𝑥 plus trois. Nous pouvons maintenant l’évaluer. Substituons deux dans l’expression. Nous obtenons deux plus deux sur deux plus trois, soit quatre sur cinq.
Et nous voyons que la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑥 au carré moins quatre sur 𝑥 au carré moins neuf multiplié par 𝑥 moins trois sur 𝑥 moins deux est quatre cinquièmes.