Vidéo question :: Déterminer lequel d’une liste de vecteurs a la plus grande norme Mathématiques

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Lequel de ces vecteurs a la plus grande norme ? Option (A), le vecteur 𝐢 plus 𝐣. Option (B), le vecteur 𝐢 plus 𝐣 moins 𝐤. Option (C), le vecteur trois 𝐢 moins 𝐤. Option (D), le vecteur deux 𝐢 plus trois 𝐣 moins 𝐤. Ou option (E), le vecteur trois 𝐢 moins deux 𝐤.

Dans cette question, nous devons déterminer lequel des cinq vecteurs a la plus grande norme. Et nous pouvons voir que les cinq vecteurs sont donnés en fonction des vecteurs directionnels unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤. Pour ce faire, commençons par rappeler ce que nous entendons par la norme d’un vecteur. En fait, il y a deux façons de penser à cela. Tout d’abord, rappelons que les vecteurs ont deux propriétés. Ils ont une norme et une direction. Ainsi, par exemple, si nous dessinons graphiquement le vecteur 𝐯, la direction vers laquelle le vecteur pointe est représentée par la flèche et sa norme est représentée par la longueur.

Donc, une méthode que nous pourrions utiliser pour trouver la norme des cinq vecteurs donnés serait de les dessiner, puis de trouver la longueur des vecteurs donnés. Nous ferions cela en utilisant quelque chose comme le théorème de Pythagore. Et cela fonctionnerait. Et nous pourrions trouver la norme de tous nos vecteurs en utilisant cette méthode. Cependant, il est en fait plus facile de le faire en utilisant une formule.

Nous savons déjà comment trouver la norme de tout vecteur en général. La norme d’un vecteur est la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. Ainsi, par exemple, la norme du vecteur 𝑎𝐢 plus 𝑏𝐣 plus 𝑐𝐤 sera égale à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré. Tout ce que nous devons faire est d’appliquer cette formule aux cinq vecteurs qui nous sont donnés dans la question.

Commençons par trouver la norme de l’option (A). C’est la norme du vecteur 𝐢 plus 𝐣. Pour trouver la norme de ce vecteur, il pourrait être plus facile de le réécrire comme un 𝐢 plus un 𝐣 plus zéro 𝐤. Ensuite, nous pouvons voir que les composantes de ce vecteur sont un, un et zéro. Donc, pour trouver la norme de ce vecteur, nous devons prendre la racine carrée de la somme des carrés de ces composantes. Cela nous donne la racine carrée de un au carré plus un au carré plus zéro au carré, qui est égale à la racine carrée de deux. Et puisque nous devons trouver lequel de ces vecteurs a la plus grande norme, il serait plus facile de l’écrire sous forme décimale. Nous allons donc écrire ceci à deux décimales près. C’est 1,41.

Nous ferons exactement la même chose pour trouver la norme de l’option (B). C’est la norme du vecteur 𝐢 plus 𝐣 moins 𝐤. Cette fois, nous pouvons voir que les composantes du vecteur, les coefficients des vecteurs directionnels unitaires, seront un, un et moins un. Donc, pour trouver la norme de ce vecteur, nous devons prendre la racine carrée de la somme des carrés de ces composantes. C’est la racine carrée de un au carré plus un au carré plus moins un au carré, c’est-à-dire la racine carrée de trois. Et encore une fois, nous allons écrire ceci à deux décimales près : 1,73.

Calculons maintenant la norme du vecteur dans l’option (C). C’est la norme de trois 𝐢 moins 𝐤. Nous devons trouver les composantes du vecteur. Ce sont les coefficients des vecteurs directionnels unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤. Nous pouvons voir que ce sera trois, zéro, moins un. Et nous savons que le coefficient de 𝐣 est nul car il n’apparaît pas dans notre vecteur. Nous devons donc avoir zéro 𝐣. On peut alors trouver l’amplitude de ce vecteur en prenant la racine carrée de la somme des carrés des composantes. C’est la racine carrée de trois au carré plus zéro au carré plus moins un au carré. Ceci est égal à la racine de 10. Et à deux décimales près, cela correspond à 3,16.

Faisons maintenant la même chose pour le vecteur de l’option (D). Nous pouvons voir que ses composantes seront deux, trois et moins un. Nous pouvons calculer la norme de ce vecteur. Cela va être la racine carrée de deux au carré plus trois au carré plus moins un au carré, c’est-à-dire la racine carrée de 14. Et à deux décimales près, cela correspond à 3,74.

Et nous pouvons faire exactement la même chose pour le vecteur dans l’option (E). Ses composantes seront trois, zéro et moins deux. Et la norme de ce vecteur sera la racine carrée de trois au carré plus zéro au carré plus moins deux au carré, c’est-à-dire la racine carrée de 13. Et à deux décimales près, nous pouvons calculer que c’est 3,61.

Et maintenant, nous pouvons voir qu’il n’était pas réellement nécessaire de les écrire à deux décimales puisque nous savons que la plus grande racine sera la racine du plus grand nombre. C’est-à-dire la racine de 14. Cependant, nous avons pu montrer que parmi les cinq vecteurs donnés, le vecteur ayant la plus grande norme était l’option (D), le vecteur deux 𝐢 plus trois 𝐣 moins 𝐤, qui avait pour norme la racine carrée de 14.