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Vidéo : Suites géométriques

Anne-Claire Dupuis

Définition, identification et exploration de suites géométriques au travers d’une série d’exemples. Cette vidéo montre comment trouver la raison (qu’elle soit positive, négative ou fractionnaire) d’une suite géométrique et l’utiliser pour trouver une formule générale pour le nième terme de la suite.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons étudier les suites géométriques, et nous allons voir comment il est possible d’écrire une formule générale pour une suite géométrique donnée. Ensuite, nous allons voir comment résoudre quelques exercices typiques.

Donc commençons tout d’abord par une définition : Une suite de nombres est une suite géométrique si chaque terme, multiplié par le même nombre appelé la raison, donne le terme suivant. Prenons comme exemple trois ; six ; 12 ; 24, etc. Ici, le premier terme de la suite est trois, et dans chaque cas, le terme suivant est obtenu en multipliant par deux le terme précédent, ou en le doublant. Donc, la raison est deux. Chaque terme de la suite est donc obtenu en doublant le terme précédent, ou en le multipliant par deux. Donc vous pouvez par exemple trouver quel sera le prochain terme ; 48 en effet.

Voici un autre exemple avec la suite 10 ; 15 ; 22,5 ; 33,75, etc. Le premier terme de la séquence est 10, et chaque terme est obtenu en multipliant le précédent terme par 1,5. La raison de la suite est donc 1,5.

Un autre exemple de suites est sept, sept dixièmes, sept centièmes, sept millièmes, etc. Dans cette suite, le premier terme est sept, et chaque terme est obtenu en multipliant le précédent terme par un dixième. La raison de cette suite est donc un dixième.

Un autre exemple est la suite 32 ; - 16 ; huit ; moins quatre, etc. Le premier terme de cette suite est 32, et chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par moins un demi. La raison de cette suite et donc moins un demi.

Comme on vient de le voir au travers de ces exemples, la raison peut-être n’importe quel type de nombres. Ça peut être un nombre positif ou négatif, un nombre entier, une fraction o𝑢 un nombre décimal.

Maintenant que nous avons compris le principe général d’une suite géométrique, nous allons voir comment nous pouvons la décrire à l’aide d’une formule générale. Pour désigner les termes d’une suite géométrique, on utilise souvent la lettre a ou 𝑢. Et pour désigner le premier terme, nous allons donc utiliser soit a zéro ou 𝑢 un, ou 𝑢 zéro ou 𝑢 un, en fonction de la première valeur que l’on veut donner à n. Dans cette vidéo, nous allons utiliser la notation 𝑢 un pour le premier terme, et 𝑢 𝑛 pour le nième terme, et, enfin 𝑞 pour la raison.

Maintenant, écrivons les cinq premiers termes d’une suite géométrique dont le premier terme est 𝑢 un égale 12, et de raison 𝑞 égale un tiers.

Première information importante, le premier terme 𝑢 un est égal à 12. Donc écrivons premier terme, 12. Deuxième information, la raison 𝑞 est un tiers. Donc je dois multiplier chaque terme par un tiers pour obtenir le suivant. Donc je dois multiplier 12 par un tiers pour obtenir le deuxième terme. Donc 12 multiplié par un tiers, cela la nous donne quatre. De même, pour obtenir le troisième terme, je dois multiplier le deuxième terme, c’est-à-dire quatre, par un tiers, ce qui nous donne quatre tiers. Et pour obtenir le quatrième terme, je multiplie ce quatre tiers par un tiers. Mon quatrième terme est donc quatre neuvièmes. Et donc enfin, faisons cette opération encore une fois, et multiplions donc quatre neuvièmes par un tiers, ce qui nous donne quatre vingt-septièmes pour le cinquième terme.

Revenons maintenant sur les notations. Donc mon premier terme noté 𝑢 un est 12, et mon deuxième terme 𝑢 deux est quatre, mon troisième terme 𝑢 trois est quatre tiers, le quatrième terme 𝑢 quatre est quatre neuvièmes et le cinquième terme est 𝑢 cinq, quatre vingt-septièmes, et ainsi de suite. Maintenant, pour obtenir le deuxième terme, nous avons pris le premier terme et nous l’avons multiplié par la raison. Nous pouvons donc écrire 𝑢 deux égale 𝑢 un fois la raison. De même, pour obtenir le troisième terme, nous avons multiplié le deuxième terme par la raison. Nous pouvons donc écrire 𝑢 trois égale 𝑢 deux fois 𝑞, mais nous venons de voir que 𝑢 deux est lui-même 𝑢 un fois 𝑞. Je peux donc remplacer 𝑢 deux dans ma dernière équation par 𝑢 un fois 𝑞. Pour obtenir 𝑢 quatre, nous avons pris 𝑢 trois et nous l’avons multiplié par la raison. Mais rappelons-nous que 𝑢 trois est donné par 𝑢 un fois la raison fois la raison, donc nous avons pris ça que nous avons multiplié par la raison. Nous pouvons donc écrire 𝑢 quatre égale 𝑢 un fois 𝑞 fois 𝑞 fois 𝑞. Et de même pour 𝑢 cinq, nous avons pris 𝑢 quatre, nous l’avons multiplié par 𝑞, donc nous pouvons écrire 𝑢 cinq égale 𝑢 un fois 𝑞 fois 𝑞 fois 𝑞 fois 𝑞. Nous pouvons réécrire toutes ces relations en utilisant les puissances, et nous avons donc 𝑢 deux égale 𝑢 un fois 𝑞 à la puissance un, 𝑢 trois égale 𝑢 un fois 𝑞 la puissance deux, 𝑢 quatre égale 𝑢 un fois 𝑞 à la puissance trois et 𝑢 cinq égale 𝑢 un fois 𝑞 à la puissance quatre. Et maintenant, pour écrire 𝑢 un en fonction de 𝑢 un, nous pourrions bien sûr écrire 𝑢 un égale 𝑢 un fois un, mais au lieu de écrire ce un, on va le remplacer par 𝑞 à la puissance zéro. Rappelez-vous que n’importe quel nombre à la puissance zéro est un. Donc maintenant on peut reconnaître une certaine tendance : le premier terme est obtenu par le premier terme multiplié par 𝑞 à la puissance zéro, le deuxième terme est obtenu en multipliant le premier terme par 𝑞 à la puissance un, le troisième terme est obtenu en multipliant le premier terme par 𝑞 à la puissance deux, le quatrième en multipliant le premier terme par 𝑞 à la puissance trois et le cinquième en multipliant le premier terme par 𝑞 à la puissance quatre. On voit qu’à chaque fois, la puissance de 𝑞 est en fait un de moins que le numéro du terme. Donc si n est la position dans la suite, je considère le terme donc 𝑢 𝑛, il est alors tout simplement donné par le premier terme multiplié par la raison à la puissance 𝑛 moins un. Nous avons donc trouvé maintenant une formule qui va nous permettre de trouver la valeur de n’importe quel terme de la suite, sans avoir besoin de partir du premier terme et de multiplier par la raison pour obtenir le terme suivant, et ainsi de suite jusqu’au terme voulu.

Illustrons cela à l’aide d’un exemple.

Avec la même suite géométrique précédent- l’exemple précédent, c’est-à-dire dont le premier terme 𝑢 un est 12 et la raison est un tiers. On nous demande ici d’utiliser la formule générale pour trouver la valeur du septième terme de la suite. Reprenons ici la suite géométrique précédente, c’est-à-dire dont le premier terme est 12 et la raison est un tiers, et utilisons la formule générale pour trouver la valeur du septième terme de la suite. Adaptons d’abord la formule générale à cette suite géométrique particulière. Donc 𝑢 𝑛 est donné par le premier terme, ici 12, multiplié par la raison, ici un tiers, à la puissance 𝑛 moins un. Rappelons-nous que n désigne la position du terme dans la suite. Ici, on nous demande de trouver la valeur du septième terme, c’est-à-dire n égale sept. Nous pouvons donc écrire 𝑢 sept égale 12 fois un tiers à la puissance 𝑛 moins un, c’est-à-dire sept moins un, c’est-à-dire six. Et un tiers à la puissance six est un sur 729, donc 12 fois un tiers à la puissance six est 12 divisé par 729 ; ce qui nous donne après simplification quatre sur 243.

Regardons maintenant cet exemple : Écrire le premier terme et la raison de la suite géométrique suivante : 10, moins cinq, cinq demis, moins cinq quarts, etc. Le premier terme est 10. Donc 𝑢 un égale 10, et 𝑞 est le nombre par lequel chaque terme est multiplié pour obtenir le suivant. Pour trouver la valeur de 𝑞, nommons d’abord chaque terme de la suite : 𝑢 un, 𝑢 deux, 𝑢 trois et 𝑢 quatre, et écrivons la relation qui lie 𝑢 deux à 𝑢 un. 𝑢 un fois 𝑞 égale 𝑢 deux. Et si on multiplie 𝑢 deux par 𝑞 on obtient 𝑢 trois, et de même, 𝑢 trois fois 𝑞 égale 𝑢 quatre. Si je regarde la première équation ici, et que je divise chaque côté de l’équation par 𝑢 un, j’obtiens 𝑞 égale 𝑢 deux divisé par 𝑢 un. Faisons de même avec la deuxième équation, et divisons chaque côté par 𝑢 deux, et nous obtenons 𝑞 égale 𝑢 trois divisé par 𝑢 deux. Et de même pour la troisième équation, en divisant les deux côtés par 𝑢 trois, on obtient 𝑞 égale 𝑢 quatre divisé par 𝑢 trois. Donc pour trouver la valeur de la raison 𝑞, il suffit de prendre la valeur d’un terme et la diviser par la valeur du terme précédent. Rappelez-vous que dans une suite géométrique, la raison est constante. Donc cela n’a aucune importance quels deux termes consécutifs vous prenez pour trouver la valeur de 𝑞 ; tant qu’il s’agit de deux termes consécutifs, la valeur de 𝑞 sera toujours la même. Ici, les valeurs les plus simples à utiliser sont peut-être 𝑢 deux et 𝑢 un, et on- nous pouvons donc écrire 𝑞 égale moins cinq sur 10, ce qui nous donne moins un demi. Nous avons donc trouvé la raison ici de la suite géométrique est moins un demi, et nous pouvons vérifier en effet que le deuxième terme est obtenu en multipliant le premier terme, donc 10, par moins un demi ; nous obtenons bien moins cinq. Le troisième terme et obtenu en multipliant moins cinq par moins un demi, ce qui nous donne bien cinq demis, etc.

Nous voyons qu’avoir le premier terme et la raison suffit amplement pour définir la suite puisque nous pouvons obtenir n’importe quel terme de la suite avec ces deux données.

Essayons maintenant de reconnaître si une suite donnée est arithmétique ou géométrique. Et commençons par l’exemple donné ici de la suite un, deux, trois, quatre, cinq. Rappelons-nous que dans une suite arithmétique, chaque terme est obtenu en additionnant toujours le même nombre au terme précédent. Donc pour décider si une suite est arithmétique ou géométrique, nous pouvons d’abord tester si nous pouvons passer d’un terme à l’autre en ajoutant toujours le même nombre, ou bien si, au contraire, pour passer d’un terme à l’autre, il nous faut le multiplier toujours par un, un même nombre. Dans l’exemple donné nous voyons que si nous ajoutons un à chaque terme, nous obtenons bien le terme suivant. Par contre, pour aller de un à deux, j’ai multiplié donc le terme un par deux. Mais par contre, il me faut multiplier deux par un et demi pour obtenir trois, trois par quatre tiers pour obtenir quatre, etc. Donc nous voyons ici que le facteur multiplicatif change à chaque fois ; il n’est pas constant. Nous n’avons donc ici pas une suite géométrique mais bien une suite arithmétique. Ici, la différence entre deux termes consécutifs est constante, donc nous concluons que c’est une suite arithmétique.

Regardons maintenant cette suite, et déterminons si elle est arithmétique ou géométrique : 11 ; 33 ; 99 ; 297… Supposons que cette suite est arithmétique, et cherchons quel nombre nous devons additionner à un terme pour obtenir le suivant. Pour aller de 11 à 33, je dois ajouter 22. Pour aller de 33 à 99, je dois ajouter 66, et je dois ajouter 198 à 99 pour obtenir 297. Voyons maintenant si cette suite pourrait être une suite géométrique, et cherchons donc par quel facteur je dois multiplier 11 pour obtenir 33 ; et nous trouvons fois trois. De même, pour aller de 33 à 99 avec la multiplication, je dois multiplier par trois, et 99 multiplié par trois donne aussi 297. Ici, la différence entre deux termes consécutifs n’est pas constante, alors que le quotient de deux termes consécutifs l’est. Nous pouvons donc conclure que cette suite est géométrique puisque le quotient de deux termes consécutifs est constant.

Regardons maintenant cette suite-ci : un, deux, quatre, sept, 11… Si je regarde les nombres que je dois ajouter à chaque terme pour obtenir le suivant, je vois qu’ils changent à chaque fois. Cette suite n’est donc pas arithmétique. Maintenant, si je regarde par combien je dois multiplier chaque terme pour obtenir le suivant, je double le premier j’obtiens le deuxième terme, je double le deuxième terme j’obtiens le troisième terme. Mais après cela, ça n’est plus deux, mais ici, sept quarts, et ici, onze septièmes. Cette suite et donc ni arithmétique ni géométrique. Cette suite est certainement intéressante, mais elle est ni arithmétique ni géométrique.

Dernier exemple de ce type maintenant, la suite suivante est-elle arithmétique ou géométrique ? 5,2 ; 5,2 ; 5,2 ; 5,2… Alors à votre avis, alors quel nombre dois-je ajouter à un terme pour obtenir le suivant ? Et bien, je dois ajouter zéro pour aller de 5,2 à 5,2. C’est un peu étrange, mais c’est bien une suite arithmétique, puisque la différence entre deux termes consécutifs est constante, et c’est zéro. Et par quel nombre doit-on multiplier chaque terme pour obtenir le suivant ? Et bien, nous voyons que dans chaque cas c’est un. Donc de nouveau, ça peut être un petit peu étrange, mais nous avons bien une suite géométrique, puisque le quotient de deux termes consécutifs est constant, et ici est égal à un. Donc clairement cette suite et une suite très particulière, mais on peut vraiment le dire qu’elle est à la fois arithmétique et géométrique, car nous avons à la fois une différence entre deux termes consécutifs qui est constante, et le quotient entre deux termes consécutifs est constant lui aussi.

Regardons cet exemple maintenant : Trouver les trois prochains termes de la suite géométrique 100 ; - 10 ; un ; - 0,1 ; 0,01, etc. Donc nous avons ici les cinq premiers termes 𝑢 un, 𝑢 deux, 𝑢 trois, 𝑢 quatre, 𝑢 cinq. Ce que je dois trouver maintenant c’est la raison de la suite, c’est-à-dire par quel nombre je multiplie un terme pour obtenir le deuxième- le terme suivant. Ce qui est donc plus facilement être trouvé, comme nous l’avons vu précédemment, en prenant un terme et en le divisant par le terme précédent. N’importe quelle paire de termes consécutifs peut-être utilisée pour trouver la raison. Donc utilisons ici par exemple 𝑢 trois et 𝑢 deux, donc 𝑢 trois divisé par 𝑢 deux égale un divisé par moins 10, égale moins un dixième. Nous avons donc trouvé que la raison est moins un dixième, et nous pouvons vérifier qu’en effet, chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par moins un dixième. Le sixième terme est donc obtenu en prenant le cinquième terme, et en le multipliant par moins un dixième. C’est-à-dire 0,01 multiplié par moins un dixième, égale moins 0,001. De même, le septième terme est obtenu en multipliant le sixième terme, donc 𝑢 six, par moins un dixième, ce qui nous donne moins 0- 0,001 fois moins un dixième, égale 0,0001. Et enfin, le huitième terme 𝑢 huit est égal à 𝑢 sept multiplié par moins un dixième, et donc nous trouvons un résultat de moins 0,00001. Nous avons donc ainsi trouvé les trois prochains termes de la suite géométrique, 𝑢 six, 𝑢 sept et 𝑢 huit.

Penchons-nous maintenant sur la formule générale. Ici, nous devons trouver une formule générale pour la suite géométrique 3 ; 15 ; 75 ; 375 et 1875. Une fois le premier terme identifié, ici trois, nous devons trouver la raison. Et pour cela, il nous suffit de diviser un terme par le terme précédent, et donc par ici, ici par exemple 𝑢 deux divisé par 𝑢 un égale 15 divisé par trois, égale cinq. Puisqu’il est dit dans la question que la suite est géométrique, nous pouvons vérifier que nous ne sommes pas trompés avec cette valeur de cinq, en vérifiant que chaque terme multiplié par cinq donne bien le terme suivant. Il nous suffit maintenant de remplacer 𝑢 un par sa valeur et 𝑞 par sa valeur dans la formule générale, et nous obtenons ainsi 𝑢 𝑛 égale trois fois cinq à la puissance 𝑛 moins un.

En résumé, chaque terme d’une suite géométrique multiplié par la raison donne le terme suivant, et donc chaque terme 𝑢 𝑛 est donné par la formule 𝑎 un fois 𝑞 à la puissance 𝑛 moins un.