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Utilisez le calcul matriciel pour résoudre le système moins 𝑥 plus cinq 𝑦 égale huit, moins trois 𝑥 plus 𝑦 égale huit.
Nous pouvons représenter ce système de deux équations à deux variables comme une équation matricielle. Nous commençons par rappeler que les deux équations 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 égale 𝑒 et 𝑐𝑥 plus 𝑑𝑦 égale 𝑓 peuvent être écrites sous forme d’équation matricielle comme indiqué. Nous commençons par la matrice des coefficients deux par deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Celle-ci est multipliée par la matrice des variables 𝑥, 𝑦 et est égale à la matrice des constantes 𝑒, 𝑓.
Dans cette question, la matrice des coefficients est moins un, cinq, moins trois, un. En multipliant celle-ci par la matrice des variables 𝑥, 𝑦, on obtient la matrice des constantes huit, huit. Nous pouvons résoudre cette équation matricielle en multipliant à gauche par l’inverse de la matrice des coefficients, si elle existe. Nous savons que l’inverse d’une matrice carrée existe si son déterminant n’est pas égal à zéro. Calculons d’abord le déterminant de cette matrice.
Nous savons que le déterminant de la matrice 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 est égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. En appliquant cette formule à la matrice des coefficients, nous avons moins un multiplié par un moins cinq multiplié par moins trois, ce qui est égal à 14. Puisque le déterminant est non nul, nous pouvons procéder à la recherche de son inverse. Nous rappelons la formule de l’inverse d’une matrice deux par deux 𝐴 égale à 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 est un sur le déterminant de 𝐴 multiplié par 𝑑, moins 𝑏, moins 𝑐, 𝑎. Par conséquent, en utilisant le déterminant de la matrice des coefficients, nous constatons que son inverse est un sur 14 multiplié par un, moins cinq, trois, moins un.
Ensuite, nous rappelons que pour toute matrice inversible 𝐴, nous avons l’inverse de 𝐴 multipliée par 𝐴 égale à la matrice identité 𝐼. Cela signifie que nous pourrons supprimer la matrice des coefficients du membre gauche de notre équation en multipliant à gauche par l’inverse de la matrice des coefficients. En multipliant les deux membres de l’équation par l’inverse de la matrice des coefficients, nous avons 𝑥, 𝑦 est égal à un sur 14 multiplié par un, moins cinq, trois, moins un multiplié par huit, huit.
Nous savons que pour multiplier une paire de matrices, le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la deuxième matrice. Nous pouvons voir que la multiplication matricielle du membre droit de l’équation est bien définie. En calculant cette multiplication matricielle, nous obtenons un multiplié par huit plus moins cinq multiplié par huit et trois multiplié par huit plus moins un multiplié par huit. Donc 𝑥, 𝑦 est égal à un quatorzième de cela. Le membre droit de notre équation se simplifie en un sur 14 multiplié par moins 32, 16. Enfin, en calculant la multiplication par un scalaire, nous avons 𝑥, 𝑦 est égal à moins 16 sur sept, huit sur sept, ce qui représente la solution de l’équation matricielle.
Nous savons qu’une paire de matrices est égale si chaque paire de coefficients correspondants est égale. Par conséquent, nous obtenons la solution au système d’équations donné : 𝑥 est égal à moins 16 sur sept et 𝑦 est égal à huit sur sept.