Transcription de la vidéo
Un ballon est gonflé avec de l’air, ce qui augmente son volume, comme indiqué sur la figure. La pression de l’air dans le ballon est de 101 kilopascals avant gonflage et de 121 kilopascals après gonflage. La température de l’air dans le ballon ne change pas lorsqu’il est gonflé. On peut supposer que l’air se comporte comme un gaz parfait. Calcule le volume du ballon lorsqu’il est gonflé et exprime-le en pourcentage du volume du ballon avant gonflage.. Donne ta réponse au pourcentage près.
La figure représente le ballon avant et après avoir été gonflé avec de l’air. On nous indique également le volume que le ballon occupe à chacune de ces deux étapes. Pour répondre à cette première partie de la question, on va laisser de la place libre sur l’écran. On note que le volume du ballon avant qu’il ne soit gonflé est représenté par 𝑉 indice b, alors que le volume du ballon après son gonflage est représenté par 𝑉 indice a. On cherche le volume du ballon après gonflage, c’est-à-dire V indice a, en pourcentage du volume du ballon avant gonflage. Soit 𝑉 indice b. En d’autres termes, on souhaite exprimer 𝑉 indice a en pourcentage de 𝑉 indice b.
Pour voir comment faire, imaginons deux nombres. Pour faire simple, on choisit par exemple 1 et 0,5. Disons que l’on souhaite savoir ce que vaut ce nombre, 0,5, en pourcentage de celui-ci. Pour ce faire, on prend d’abord ce premier nombre, 0,5, et on le divise par le deuxième, 1. Cela donne 0,5. Mais ensuite, pour que cette réponse devienne un pourcentage, on doit déplacer la virgule de deux crans vers la droite. Ceci est évident car 0,5 correspond à 50 pour cent de 1. Notre formule consiste alors à diviser 0,5 par 1, puis à multiplier cette fraction par 100 pour cent. Cela nous donne le pourcentage de 1 auquel correspond 0,5.
Cette équation est spécifique aux deux nombres que l’on a choisis, mais la forme de cette équation est en fait une généralité que l’on peut appliquer à 𝑉 indice a et 𝑉 indice b. Ce que l’on cherche à faire est de trouver 𝑉 indice a en pourcentage de 𝑉 indice b. On prendra ensuite le volume du ballon après son gonflage, on le divisera par le volume du ballon avant gonflage, puis on multipliera cette fraction par 100 pour cent. Le volume du ballon après gonflage est donné comme étant 0,033 mètres cubes, et de 0,012 mètres cubes avant gonflage. Au pourcentage près, cette expression est égale à 275 pour cent. Il s’agit du volume du ballon gonflé en pourcentage du volume du ballon avant qu’il ne soit gonflé. Sachant cela, passons maintenant à la deuxième partie de la question.
Cette partie demande de calculer la masse de l’air dans le ballon quand il est gonflé en pourcentage de la masse du ballon avant qu’il soit gonflé. Donne ta réponse au pourcentage près.
Contrairement au volume, on ne nous donne pas la masse de l’air dans le ballon avant et après son gonflage. Mais on nous dit que l’on peut considérer cet air comme un gaz parfait. Cela signifie qu’il peut être décrit par la loi des gaz parfaits. Cette loi dit que la pression d’un gaz multipliée par son volume est égale au nombre de moles du gaz multiplié par une constante multipliée par la température du gaz. Même si cette équation n’inclut pas la masse, elle contient le nombre de moles de gaz. On peut considérer cela comme une équivalence de la masse de l’air. Le nombre de moles 𝑛 représente le nombre de particules d’air, où chaque particule a la même quantité de masse.
On nous dit que de l’air est ajouté à notre ballon pour le gonfler. Cela signifie que le nombre de moles d’air dans le ballon avant le gonflage (on le notera 𝑛 indice b) n’est pas égal au nombre de moles d’air dans le ballon après le gonflage. On le notera 𝑛 indice a. Plus précisément, comme le ballon est gonflé, on sait que 𝑛 indice a est supérieur à 𝑛 indice b. Puisque ces nombres de moles d’air sont des équivalences, comme on l’a dit précédemment, pour la masse d’air dans le ballon, si on trouve le nombre de moles d’air dans le ballon après gonflage en pourcentage du nombre de moles d’air dans le ballon avant gonflage, alors cela sera égal à la masse d’air dans le ballon après gonflage en pourcentage de la masse d’air dans le ballon avant gonflage.
Donc, on peut tout-à-fait calculer ceci et déduire la réponse à la question. Rappelons que l’air dans notre ballon doit être modélisé comme un gaz parfait. Avant que le ballon ne soit gonflé, il a une certaine pression, un certain volume et une certaine température, et contient un certain nombre de moles d’air. On peut écrire la loi des gaz parfaits pour l’air dans le ballon avant le gonflage comme ceci. Tous ces indices b représentent l’état initial. On note que cette valeur de 𝑅 n’a pas d’indice, car 𝑅 est une valeur constante appelée constante des gaz. Si on écrit une relation similaire pour le ballon après le gonflage, l’équation de la loi des gaz parfaits ressemblerait à ceci, la même chose que ci-dessus, mais maintenant avec des indices.
Pour calculer la valeur cherchée, on a besoin de connaître le rapport 𝑛 indice a sur 𝑛 indice b. On peut commencer à résoudre ce problème en divisant cette équation entière par cette équation. On peut effectuer ceci puisque les deux côtés de cette équation au dénominateur sont égaux, et par définition, on divise donc les numérateurs des deux côtés de l’équation par la même valeur.
Cette fraction peut alors être écrite comme cette unique équation. Ce que l’on a fait est de prendre l’équation du numérateur. Puis diviser le côté gauche de cette équation par une valeur égale à la valeur par laquelle on a divisé le côté droit. C’est pourquoi l’écriture du rapport de ces deux équations en une seule équation comme on l’a fait ici est valide. Du côté droit de cette expression, on remarque que la constante de gaz 𝑅 apparaît à la fois au numérateur et au dénominateur et donc, elle s’annule. Parallèlement à cela, dans l’énoncé, on nous dit que lorsque le ballon est gonflé d’un volume plus petit à un volume plus élevé, sa température reste constante. En utilisant nos symboles, cela signifie que 𝑇 indice a est égal à 𝑇 indice b. Cette égalité signifie que 𝑇 indice a divisé par 𝑇 indice b est égal à un.
On a alors maintenant une expression pour 𝑛 indice a divisé par 𝑛 indice b en termes de pression et de volume du ballon avant et après son gonflage. Sur notre schéma, on nous donne les volumes 𝑉 indice a et 𝑉 indice b. Sachant que dans l’énoncé du problème, on nous donne des valeurs de 𝑃 indice a et 𝑃 indice b. La pression de l’air dans le ballon avant gonflage, 𝑃 indice b, est de 101 kilopascals. La pression de cet air après le gonflage, 𝑃 indice a, est de 121 kilopascals.
Maintenant que l’on a des valeurs pour les quatre variables du côté gauche de cette équation, on est donc prêt à calculer 𝑛 indice a sur 𝑛 indice b. Pour ce faire, et aussi pour trouver 𝑛 indice a en pourcentage de 𝑛 indice b, faisons de la place en haut de notre écran. Sachant que cette valeur sera égale à la masse de l’air dans le ballon après gonflage en pourcentage de la masse de l’air dans le ballon avant gonflage, on remplace avec les valeurs données P indice a, 𝑉 indice a, 𝑃 indice b, et 𝑉 indice b. On remarque que toutes les unités au numérateur de cette fraction apparaissent également au dénominateur. Toutes les unités vont donc s’annuler. Lorsque l’on calcule cette expression au pourcentage près, on obtient 329.
Ainsi, la masse de l’air dans le ballon après gonflage en pourcentage de la masse de l’air dans le ballon avant gonflage est de 329 pour cent. Cela signifie qu’il y a 3,29 fois plus d’air dans le ballon après le gonflage qu’avant.