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Vidéo de question : Déterminer le taux de variation d’une fonction exponentielle dans un contexte réel Mathématiques

Dans une usine, la production de 𝑦 unités le jour 𝑡 est donnée par la relation 𝑦 = 400 (10 - 𝑒 ^ (- 0,8𝑡). Quel est le taux de variation de la production par rapport au temps au cinquième jour ?

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Transcription de vidéo

Dans une usine, la production de 𝑦 unités le jour 𝑡 est donnée par la relation 𝑦 égale à 400 multiplié par 10 moins 𝑒 puissance moins 0,8𝑡. Quel est le taux de variation de la production par rapport au temps au cinquième jour ?

Dans l’énoncé, on nous dit que dans une usine la production de 𝑦 unités au jour 𝑡 est donnée par 𝑦 égale à 400 multiplié par 10 moins 𝑒 puissance moins 0,8𝑡. Nous devons déterminer le taux de variation de la production par rapport au temps au cinquième jour.

Rappelons que calculer le taux de variation de la production par rapport au temps revient à dériver l’expression de la production par rapport au temps. Dans l’énoncé, on nous demande d’en prendre la valeur pour le cinquième jour. Ainsi, pour 𝑡 égal à cinq. Dans cette question, on nous demande donc de dériver 400 multiplié par 10 moins 𝑒 puissance moins 0,8𝑡 par rapport à 𝑡.

Nous savons que, pour toute constante 𝑎, la dérivée de 𝑎 fois une fonction 𝑓 de 𝑡 est égale à 𝑎 fois la dérivée de 𝑓 de 𝑡 par rapport à 𝑡. Nous pouvons donc sortir le facteur constant de la dérivée. Nous pouvons donc sortir le facteur 400 de la dérivée. Cela nous donne 400 multiplié par la dérivée par rapport à 𝑡 de 10 moins 𝑒 puissance moins 0,8𝑡.

Ensuite, nous allons utiliser le fait que la dérivée d’une somme ou de la différence de deux fonctions est égale à la somme ou la différence de leurs dérivées. Cela nous donne 400 multiplié par la dérivée de 10 par rapport à 𝑡 moins la dérivée de 𝑒 puissance moins 0,8𝑡 par rapport à 𝑡.

Nous pouvons maintenant calculer cette expression. Nous savons que la dérivée d’une constante est égale à zéro. La dérivée de 10 par rapport à 𝑡 est donc égale à zéro. Nous savons aussi que, pour toute constante 𝑎, la dérivée par rapport à 𝑡 de 𝑒 puissance 𝑎𝑡 est simplement égale à 𝑎 multiplié par 𝑒 puissance 𝑎𝑡. Il faut multiplier par le coefficient dans l’exposant.

La dérivée par rapport à 𝑡 de 𝑒 puissance moins 0,8𝑡 est égale à moins 0,8𝑒 puissance moins 0,8𝑡. Puisque nous avons un signe moins devant la dérivée, cela nous donne 400 multiplié par 0,8 fois 𝑒 puissance moins 0,8𝑡. Enfin, 400 multiplié par 0,8 est égal à 320.

Nous avons donc déterminé une expression du taux de variation de la production dans l’usine par rapport au temps. Dans la question, on nous demande de déterminer le taux de variation de la production le cinquième jour. Nous remplaçons donc 𝑡 par cinq dans cette expression. En remplaçant 𝑡 par cinq, nous obtenons que le taux de variation de la production dans l’usine le cinquième jour est égal à 320𝑒 puissance moins 0,8 fois cinq. Nous pouvons simplifier l’exposant qui vaut moins 0,8 fois cinq en moins quatre.

Enfin, nous allons passer l’exposant négatif au dénominateur. Nous avons montré que le taux de variation de la production par rapport au temps dans cette usine le cinquième jour est égal à 320 divisé par 𝑒 puissance quatre.

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