Vidéo de question : Déterminer la hauteur d'une pyramide triangulaire droite en fonction de ses dimensions | Nagwa Vidéo de question : Déterminer la hauteur d'une pyramide triangulaire droite en fonction de ses dimensions | Nagwa

Vidéo de question : Déterminer la hauteur d'une pyramide triangulaire droite en fonction de ses dimensions Mathématiques

Si 𝑀𝐴𝐵𝐶 est une pyramide triangulaire droite, que la longueur de son arête latérale 𝑀𝐴 = 59 cm et que sa base 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐴, où 𝐵𝐴 = 105 cm et 𝐶𝐴 = 36 cm, alors déterminez la hauteur de la pyramide, arrondie au centième près.

04:55

Transcription de vidéo

Si 𝑀𝐴𝐵𝐶 est une pyramide triangulaire droite, que la longueur de son arête latérale 𝑀𝐴 est égale à 59 centimètres, et que sa base 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐴, où 𝐵𝐴 est égale à 105 centimètres et 𝐶𝐴 est égale à 36 centimètres, alors déterminez la hauteur de la pyramide, arrondie au centième près.

Faisons d'abord un dessin de cette pyramide. 𝐴𝐵𝐶 est la base avec un angle droit en 𝐴. Nous connaissons deux longueurs de côtés de la base. 𝐶𝐴 est de 36 centimètres et 𝐵𝐴 égale 105 centimètres. On nous donne également que l'arête latéral 𝑀𝐴 est de 59 centimètres. On nous demande dans cette question de calculer la hauteur, soit la hauteur perpendiculaire, de la pyramide, qui sera cette droite en orange. Si nous définissons la hauteur comme étant ℎ, soit ℎ centimètres, et si nous dessinons ce triangle en rose, alors nous pouvons penser que nous pouvons calculer la hauteur perpendiculaire en utilisant ce triangle rectangle. Seulement, le problème est que nous ne connaissons pas encore la longueur de la base de ce triangle rose.

Définissons cette longueur comme étant 𝑥 centimètres et voyons comment nous pourrions la calculer. Examinons de plus près à quoi ressemble la base de cette pyramide. Nous disposons de deux longueurs données, 36 centimètres et 105 centimètres. Nous savons aussi qu'il y a un angle droit en 𝐴. La longueur de 𝑥 centimètres sera sur la médiane du sommet 𝐴 à l'autre côté, 𝐵𝐶. Rappelons que le barycentre d'un triangle est trouvé par le point d'intersection des trois médianes du triangle. Si nous prolongeons cette droite depuis le sommet 𝐴 jusqu'au milieu de 𝐵𝐶, alors ce serait la médiane de 𝐴.

Ainsi, pour calculer la valeur de 𝑥, nous devrons d'abord calculer la longueur de la médiane à partir du sommet 𝐴, puis établir la proportion que représente la valeur de 𝑥 par rapport à la médiane. Pour cela, nous pouvons utiliser une propriété géométrique très importante. Cette propriété dit que la médiane à l'hypoténuse d'un triangle rectangle est la moitié de la longueur de l'hypoténuse. En d'autres termes, cette médiane de 𝐴 au point milieu de 𝐵𝐶 est la moitié de l'hypoténuse qui sera 𝐵𝐶. Ainsi, si nous connaissons la longueur 𝐵𝐶, nous pouvons calculer la longueur de la médiane. Pour trouver 𝐵𝐶, nous allons appliquer le théorème de Pythagore.

Le théorème de Pythagore stipule que dans tout triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Dans ce triangle, nous avons donc les deux côtés 36 et 105. Nous pourrions donc les élever au carré et les additionner, ce qui donnerait 𝐵𝐶 au carré. 1296 plus 11025 est égal à 𝐵𝐶 au carré. En simplifiant le membre de gauche, nous obtenons 12321. En prenant la racine carrée des deux côtés, nous trouvons que la racine carrée de 12321 est égale à 𝐵𝐶. Nous obtenons alors que 𝐵𝐶 vaut 111 centimètres. Puisque nous avons maintenant trouvé la longueur de l'hypoténuse dans ce triangle, nous pouvons revenir sur le fait que la médiane à l'hypoténuse est la moitié de la longueur de l'hypoténuse. Cela veut dire que la longueur de la médiane issue de 𝐴 est la moitié de 111 ou 111 sur deux centimètres.

Il nous faut maintenant déterminer la valeur de 𝑥. Pour cela, nous rappelons le théorème du barycentre qui nous dit que la distance de chaque sommet au barycentre est égale aux deux tiers de la longueur de la médiane depuis ce sommet. En d'autres termes, 𝑥 est égale à deux tiers fois 111 sur deux, qui est la longueur de la médiane. Nous avons donc 111 sur trois, soit 37. Nous avons donc déterminé que la distance entre le sommet 𝐴 et le barycentre est de 37 centimètres. Cela signifie que nous avons maintenant suffisamment d'informations pour calculer la hauteur perpendiculaire de la pyramide. Ensuite, nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore une fois de plus dans ce triangle bidimensionnel.

Cette fois, nous connaissons la valeur de l'hypoténuse 𝐶, qui est de 59. Les deux autres côtés seront ℎ et 37. Nous avons donc ℎ au carré plus 1369 égale 3481. Nous soustrayons ensuite 1369 des deux membres, ce qui donne ℎ au carré égale 2112. En prenant la racine carrée des deux membres, nous obtenons que ℎ égale la racine carrée de 2112 centimètres. Enfin, puisqu'on nous demande la réponse au centième près, nous devons trouver la réponse décimale équivalente. Nous obtenons 45.956 etc. En arrondissant au centième le plus proche, nous avons 45.96 centimètres.

En utilisant le théorème de Pythagore et les informations sur le barycentre et les médianes d'un triangle rectangle, nous avons donc trouvé que la hauteur de la pyramide est de 45.96 centimètres au centième près.

Téléchargez l’appli Nagwa Classes

Assistez à des séances, chattez avec votre enseignant ou votre classe et accéder à des questions en lien avec la classe. Téléchargez l’appli Nagwa Classes dès aujourd’hui !

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.