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Vidéo de question : Calcul de la raison d’une suite arithmétique à partir de son terme général Mathématiques

Déterminez la raison de la suite arithmétique étant donné le terme général 𝑎_𝑛 = −3𝑛 − 1.

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Transcription de vidéo

Déterminez la raison de la suite arithmétique étant donné le terme général 𝑎 𝑛 égale moins trois 𝑛 moins un.

Rappelons qu’une suite arithmétique est une suite dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est une constante, appelée raison. On nous demande de trouver cette raison dans la question. Il y a deux façons de le faire. La première méthode consiste à utiliser le terme général 𝑎 indice 𝑛 égale moins trois 𝑛 moins un pour calculer quelques termes de cette suite, puis chercher la raison.

Par exemple, pour le premier terme de la suite, 𝑛 est égal à un. En remplaçant 𝑛 par un, on a 𝑎 indice un égale moins trois fois un moins un. Cela donne moins trois moins un, soit moins quatre. Pour le deuxième terme, 𝑛 est égal à deux. Nous avons donc 𝑎 indice deux égale moins trois multiplié par deux moins un. Cela donne moins six moins un, ce qui est égal à moins sept. Pour être sûr, calculons-en un dernier. Pour le troisième terme, 𝑛 égale trois. Nous avons donc moins trois multiplié par trois moins un. Cela donne moins neuf moins un, soit moins 10.

Nous avons donc calculé les trois premiers termes de cette suite. Nous aurions pu calculer les termes suivants en remplaçant toutes les valeurs de 𝑛. Examinons à présent ces trois valeurs pour déterminer la raison. Pour passer de moins quatre à moins sept, il faut retrancher trois. Pour passer de moins sept à moins dix, il faut aussi retrancher trois. Ainsi, pour passer d’un terme au suivant dans cette suite arithmétique, on retranche trois. Par conséquent, la raison est moins trois.

L’autre méthode pour répondre à cette question sans calculer aucun terme est d’utiliser le terme général fourni. Cela demande une plus grande familiarité avec les suites arithmétiques. Le terme général d’une suite arithmétique peut toujours s’exprimer sous la forme 𝑏𝑛 plus 𝑐. Soit un multiple de 𝑛 plus une constante. Le coefficient de 𝑛 dans le terme général donne toujours la raison de la suite. Le terme général de cette suite est moins trois 𝑛 moins un. Nous voyons que le coefficient de 𝑛 est moins trois.

En utilisant deux méthodes différentes, nous avons trouvé que la suite arithmétique de terme général moins trois 𝑛 moins un a pour raison moins trois.

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