Transcription de vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer le terme général ou la relation de récurrence d’une suite et à les utiliser pour calculer des termes de la suite. Nous verrons également ce qu’est une suite croissante, décroissante ou à signe alterné.
Commençons par un exemple. Une suite comme celle-ci - deux, quatre, six, huit, etc. - peut être décrite en fonction de l’indice du rang. Par exemple, le terme d’indice un est deux, le terme d’indice deux est quatre, et le terme d’indice trois est six, et ainsi de suite. Le terme d’indice un peut également être noté 𝑎 un. Et on peut dire qu’il s’agit du premier terme. Le deuxième terme peut être noté 𝑎 deux, le troisième terme 𝑎 trois, et ainsi de suite.
Nous essayons ensuite de rendre les choses aussi simples que possibles lorsque nous travaillons sur des suites. Par exemple, si nous recherchons le 290ème terme de cette suite, nous ne souhaitons surtout pas énumérer tous les termes jusqu’au 290ème. L’idéal serait d’avoir une relation entre le rang et la valeur du terme qui nous permettrait de calculer très rapidement le terme pour n’importe quel rang.
La lettre du rang généralement utilisé dans le terme général est 𝑛. Pour une suite donnée, nous souhaitons donc trouver une expression du terme de rang en fonction de 𝑛. Vous avez peut-être déjà identifié la relation de cette suite entre le rang et le terme. Chaque terme est égal au double du rang. Donc le terme d’indice ou de rang 𝑛 est égal à deux 𝑛. Le terme de rang 290 est alors égal à 580. Par conséquent, pour la suite deux, quatre, six, huit, et ainsi de suite, le terme de rang n, 𝑎 𝑛, est égal à deux 𝑛.
Les problèmes sur les suites peuvent parfois donner le terme général de la suite et nous demander de calculer ses premiers terme. Nous allons voir comment le faire dans le premier exemple. Voici donc l’énoncé.
Calculez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est 𝑎 𝑛 égale 𝑛 fois 𝑛 moins 34, où 𝑛 est supérieur ou égal à un.
La question nous donne le terme général, ou le terme de rang , d’une suite en fonction de 𝑛. Pour calculer un terme dans la suite, nous devons donc substituer son rang à 𝑛 dans le terme général. Par exemple, si nous souhaitions trouver le 20ème terme, nous substituerions 𝑛 égale 20 dans la formule du terme général. La question demande cependant les cinq premiers termes. Il est indiqué que l’indice 𝑛 est supérieur ou égal à un. Cela signifie donc que nous allons commencer par substituer 𝑛 égale un puis 𝑛 égale deux, trois, quatre et cinq dans le terme général pour calculer les cinq premiers termes.
Commençons par calculer 𝑎 un, le premier terme, c’est-à-dire lorsque 𝑛 est égal à un. Le premier terme 𝑎 un est égal à un fois un moins 34. Un moins 34 égale moins 33. Et lorsqu’on le multiplie par un, on obtient moins 33. Donc le premier terme est égal à moins 33. On peut maintenant substituer 𝑛 égale deux dans le terme général. Le deuxième terme, 𝑎 deux, est cette fois égal à deux fois deux moins 34. En simplifiant, on obtient deux fois moins 32, ce qui donne moins 64.
Pour le troisième terme, on suit le même raisonnement mais en substituant cette fois 𝑛 égale trois. Le troisième terme est alors égal à trois fois trois moins 34, soit moins 93. Lorsque 𝑛 égale quatre, le quatrième terme est égal à moins 120. Enfin, lorsque 𝑛 égale cinq, le cinquième terme est égal à moins 145. Nous pouvons donc donner la réponse pour les cinq premiers termes de la suite. Et nous les avons calculés en substituant les cinq valeurs différentes de dans la formule du terme de rang .
Nous allons maintenant voir comment déterminer une relation de récurrence pour une suite. On considère la suite: un, quatre, sept, 10, etc. Nous pouvons comparer les valeurs du rang 𝑛 supérieur ou égal à un aux valeurs de trois fois 𝑛. Ces valeurs de trois 𝑛 ne sont pas identiques aux valeurs des termes de la suite. Mais si on soustrait deux à chaque valeur de trois 𝑛, on obtient les valeurs des termes de la suite d’origine. On peut en fait écrire que le terme de rang de cette suite est égal à trois 𝑛 moins deux. Nous pouvons cependant décrire cette suite d’une autre manière.
Vous avez peut-être remarqué que l’on doit ajouter trois pour passer d’un terme à l’autre. Par exemple, si on souhaite calculer le cinquième terme, on prend le quatrième terme et on y ajoute trois. Donc, pour calculer le terme de rang n, nous devons prendre le terme précédent et y ajouter trois. En utilisant la même notation, le terme précédant le terme de rang n – qui est le terme d’indice 𝑛 - est le terme d’indice 𝑛 moins un. Et donc une façon différente de décrire cette suite est de dire que le terme de rang n, 𝑎 𝑛, est égal à 𝑎 𝑛 moins un plus trois.
Lorsque nous obtenons une telle formule pour une suite, nous devons également indiquer quel est le premier terme. Nous pouvons l’écrire comme une liste comme ceci: 𝑎 un égale un puis le terme général. Notez que nous avons également précisé que l’indice 𝑛 doit être supérieur ou égal à deux. Dans ce cas, l’indice doit commencer à deux. Il ne peut pas commencer à un car nous avons déjà donné le premier terme. Et si nous substituions un dans cette partie, nous essayerions de trouver le terme d’indice zéro. Une formule écrite de cette manière est ce que l’on appelle une relation de récurrence de la suite.
Une relation de récurrence est une formule dans laquelle les termes d’une suite sont définis en utilisant un ou plusieurs des termes précédents. Dans ce cas, le terme de rang 𝑛 est défini en fonction du terme qui le précède. Avant de conclure sur les formules de récurrence, nous devons préciser un dernier point. Dans ce cas, nous avons écrit la formule de 𝑎 𝑛. Mais nous aurions également pu donner une formule du terme de rang plus un. La relation serait identique, le terme précédent plus trois. Le premier terme serait également le même. Mais notez que l’indice serait alors différent. Comme il s’agit de la formule de 𝑎 𝑛 plus un, la première valeur de 𝑛 devrait être un pour pouvoir trouver le terme de rang deux.
Nous allons maintenant étudier un exemple où nous devons calculer un terme spécifique d’une suite lorsque nous avons une relation de récurrence.
Si 𝑎 𝑛 est une suite définie par 𝑎 un égale 11 et 𝑎 𝑛 plus un égale 𝑎 𝑛 moins trois, où 𝑛 est supérieur ou égal à un, alors le quatrième terme est égal à ?
La question propose 4 réponses: deux, quatre, cinq ou huit. Nous connaissons la formule de la suite. Ce type de formule est appelée relation de récurrence. C’est-à-dire que les termes de la suite sont définis en fonction d’un ou plusieurs termes précédents. Si nous voulions décrire ce terme, nous dirions que pour tout terme de rang 𝑛 plus un, nous prenons le terme précédent - c’est celui de rang 𝑛 - et nous soustrayons trois. Et donc si nous souhaitons trouver le quatrième terme – le terme de rang quatre - cela signifie que 𝑛 plus un doit être égal à quatre, et donc 𝑛 doit être égal à trois. Le quatrième terme doit alors être égal au troisième terme moins trois. Mais comment trouver le troisième terme?
Eh bien, on trouve le troisième terme - le terme de rang trois - lorsque 𝑛 plus un égale trois. Et donc 𝑛 doit être égal à deux. Le troisième terme est donc égal au deuxième terme moins trois. Bien sûr, nous ne connaissons pas le deuxième terme non plus. Mais vous l’avez deviné! Il est égal au premier terme moins trois. Et c’est aussi l’un des inconvénients des formules de récurrence, car nous devons calculer chaque terme jusqu’à celui que nous recherchons.
Heureusement, nous connaissons la valeur du premier terme. 𝑎 un égale 11. Nous pouvons donc maintenant avancer dans la suite. Si 𝑎 un égale 11 et 𝑎 deux égale 𝑎 un moins trois, alors 𝑎 deux, le deuxième terme, est égal à 11 moins trois. Soit huit. Comme le troisième terme est égal au deuxième terme moins trois, le troisième terme doit être égal à huit moins trois, soit cinq. Et enfin, le quatrième terme est égal au troisième terme moins trois. Et cinq moins trois égale deux. Nous pouvons conclure que le quatrième terme de la suite est celui donné dans la réponse (A). Il est égal à deux.
Dans cet exemple, les termes de la suite étaient 11, huit, cinq, deux, etc. Ce type de suite est appelé une suite décroissante. Nous allons maintenant définir ce que nous entendons par suites croissantes, décroissantes ou constantes, ainsi que monotones.
Une suite de nombres réels 𝑎 𝑛 est dite strictement croissante si 𝑎 𝑛 plus un est strictement supérieur à 𝑎 𝑛 pour toutes les valeurs de 𝑛 dans les nombres naturels.
Cette définition signifie que chaque terme de la suite doit être strictement supérieur au terme précédent pour que la suite soit strictement croissante. Par exemple, si nous prenons la suite des nombres carrés un, quatre, neuf, 16, etc., chaque valeur de cette suite est strictement supérieure au terme précédent. La suite des nombres carrés est donc une suite strictement croissante. Notez que cela doit être vrai pour toutes les valeurs de 𝑛. Si nous avions une autre suite telle que un, deux, trois, un, et ainsi de suite, elle ne serait pas croissante parce que bien qu’une partie de la suite soit croissante, cela n’est pas le cas partout.
Nous pouvons définir une suite strictement décroissante de manière similaire. Cette fois, chaque terme de la suite doit être strictement inférieur au terme précédent. Un exemple de suite décroissante peut être la suite un, un demi, un tiers, un quart, etc. Lorsque chaque terme d’une suite est égal au terme précédent, on dit que c’est une suite constante. Un exemple de ce type de suite peut être la suite de tous les deux. Si une suite est de l’un de ces trois types, c’est-à-dire croissante, décroissante ou constante, alors on dit que c’est une suite monotone. Dans l’exemple suivant, nous devons identifier si une suite est croissante, décroissante ou aucun des deux.
La suite 𝑎 𝑛 égale moins un puissance 𝑛 sur 11 moins 22 est-elle croissante, décroissante ou ni l’un ni l’autre?
Lorsque nous vérifions si une suite est croissante ou décroissante, nous devons comparer chaque terme avec le précédent. Si une suite est croissante, alors tout terme 𝑎 𝑛 doit être supérieur à 𝑎 𝑛 moins un. Cela doit être vrai pour toutes les valeurs de 𝑛. Similairement, si une suite est décroissante, alors tout terme de rang 𝑛 de la suite doit être inférieur au terme précédent. Nous pouvons commencer par calculer les premiers termes de la suite et observer si les valeurs augmentent, diminuent ou aucun des deux.
On prend donc le terme général et on commence par substituer 𝑛 égale un. Pour le premier terme 𝑎 un, on a moins un puissance un sur 11 fois un moins 22. En simplifiant, on obtient la fraction moins 243 sur 11. Maintenant que nous avons trouvé le premier terme, nous pouvons calculer le deuxième terme en substituant 𝑛 égale deux. En simplifiant moins un au carré sur 11 fois deux moins 22, on obtient la fraction moins 483 sur 22. On peut calculer le troisième terme de la même manière en substituant 𝑛 égale trois. Et on obtient que le troisième terme, 𝑎 trois, est égal à moins 727 sur 33.
Nous avons à ce stade calculé trois termes de la suite, mais il n’est pas évident s’ils augmentent ou diminuent. Il pourrait donc être utile de calculer leurs valeurs décimales. Le premier terme est environ égal à moins 22,09, le deuxième terme à environ moins 21,95 et le troisième terme à environ moins 22,03. Nous remarquons que le deuxième terme est supérieur premier terme. Mais que le troisième terme est inférieur au deuxième terme. Cela signifie que nous ne pouvons pas dire que pour toutes les valeurs, soit 𝑎 𝑛 est supérieur à 𝑎 𝑛 moins un, soit 𝑎 𝑛 est inférieur à 𝑎 𝑛 moins un. Et cela signifie que la suite n’est ni croissante ni décroissante. La réponse est donc que 𝑎 𝑛 n’est ni croissante ni décroissante.
Nous pouvons maintenant introduire les suites à signe alterné. Une suite à signe alterné est une suite dont les termes alternent entre positif et négatif. Par exemple, la suite moins deux, trois, moins quatre, cinq, moins six, etc. est une suite à signe alterné. Les valeurs alternent entre positif et négatif. Nous allons maintenant voir un exemple où nous devons déterminer le terme général d’une suite à signe alterné.
Le terme général de la suite trois, moins six, neuf, moins 12, 15 est 𝑎 𝑛 égale?
Et la question propose quatre réponses. Nous pouvons remarquer que les termes de cette suite alternent entre des valeurs positives et négatives. Ce type de suite est une suite à signe alterné. Si nous considérons la suite définie par la valeur absolue des termes, nous obtenons alors la suite trois, six, neuf, 12 et 15. Dans ce cas, comme l’indice 𝑛 est supérieur ou égal à un, alors pour tout 𝑛, le terme de rang n de cette suite des valeurs absolues est 𝑎 𝑛 égale trois 𝑛. Mais comme la suite initiale n’est pas exactement définie par trois, six, neuf, 12, et ainsi de suite, le terme général de cette suite ne peut pas être trois 𝑛. Nous pouvons de plus voir que le terme de rang n’est pas non plus égal à moins trois 𝑛. Si c’était le cas, la suite aurait les valeurs moins trois, moins six, moins neuf, moins 12, etc. Notre suite correspond cependant presque à trois 𝑛.
Et une façon de déterminer le terme général d’une suite qui inclut trois 𝑛 mais qui alterne entre positif et négatif consiste à multiplier trois 𝑛 par une puissance de moins un. Nous remarquons que les réponses (A) et (B) présentent deux alternatives. Étudions le terme général de la réponse (A). Afin de trouver le premier terme, on substitue 𝑛 égale un. Moins un puissance un égale moins un et trois fois un égale trois. En les multipliant, on obtient un premier terme égale à moins trois. Cependant, le premier terme de la suite donnée est égal à trois, au lieu de moins trois. Par conséquent, le terme général de la réponse (A) est faux.
Le terme général de la réponse (B) est différent car l’exposant de moins un est 𝑛 plus un. Lorsque l’on substitue 𝑛 égale un pour trouver le premier terme, on a moins un puissance un plus un, soit deux, et moins un au carré égale un, ce qui, multiplié par trois, est égal à trois. Cela correspond au premier terme de la suite d’origine. En substituant 𝑛 égale deux, on trouve que le deuxième terme est égal à moins six. Nous pouvons observer le modèle. Lorsque l’indice est pair, comme par exemple quand 𝑛 est égal à deux, alors l’exposant de moins un est impair. Moins un à une puissance impaire égale moins un. Le résultat de cela est que chaque indice pair produit un terme négatif.
Si nous continuons en substituant l’indice impair trois, nous obtenons une valeur positive de neuf. Nous pouvons donc dire que la bonne réponse est (B). 𝑎 n est égal à moins un puissance 𝑛 plus un fois trois 𝑛.
Nous pouvons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons tout d’abord vu que pour trouver les termes d’une suite dont nous connaissons le terme général, nous pouvons substituer des valeurs de 𝑛 supérieur ou égal à un dans la formule du terme général. Nous avons ensuite défini les relations de récurrence et avons vu que nous devons parfois appliquer la formule plusieurs fois afin de trouver les valeurs des termes précédents. Nous avons enfin donné la définition des suites croissantes, décroissantes, constantes et à signe alterné.
