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Vidéo de la leçon : Résoudre graphiquement des équations du second degré Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des équations du second degré à l’aide de courbes de fonctions.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des équations du second degré à l’aide de courbes de fonctions.

Rappelons la définition d’une équation du second degré. Une équation du second degré est une équation qui peut être écrite sous forme standard comme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro, où 𝑥 est la variable, 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes, et 𝑎 n’est pas égal à zéro. Nous notons qu’il est toujours possible de réorganiser une équation du second degré pour qu’elle soit égale à zéro, comme indiqué ici, en rassemblant les termes contenant la variable et le terme constant d’un côté de l’équation.

Maintenant, rappelons que lorsque nous résolvons une équation du second degré, nous recherchons les valeurs de 𝑥 pour lesquelles l’équation est satisfaite. L’une des façons de résoudre une équation du second degré est de factoriser. Cela signifie que nous réorganisons l’équation du second degré sous la forme factorisée 𝑎 multiplié par 𝑥 moins 𝑝 multiplié par 𝑥 moins 𝑞 égale zéro. De là, il est possible de déduire que 𝑥 égale 𝑝 et 𝑥 égale 𝑞 satisfont à l’équation et que ces valeurs sont donc des solutions de l’équation.

Dans cette vidéo, nous verrons comment nous pouvons également utiliser une méthode graphique pour résoudre une équation du second degré. Pour tracer une équation du second degré, nous la réécrivons comme une fonction : 𝑦 égale 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐. En d’autres termes, nous remplaçons zéro par la variable 𝑦. Nous notons souvent le côté gauche de la fonction 𝑓 de 𝑥 comme indiqué. Écrire notre équation comme une fonction nous permet de montrer graphiquement comment 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 varie pour différentes valeurs de 𝑥.

Supposons que nous voulions ensuite résoudre l’équation du second degré en utilisant la courbe de cette fonction. Puisque l’équation du second degré est résolue quand elle est égale à zéro, nous posons 𝑦 égale zéro dans la fonction et déterminons les valeurs de 𝑥 pour lesquelles l’équation est satisfaite. Ainsi, les solutions de l’équation sont les valeurs 𝑥 pour lesquelles la fonction est nulle, que nous appelons les racines de la fonction. Sur une courbe, ces valeurs sont les abscisses des points où l’ordonnée est nulle, ce qui correspond aux points où la courbe coupe l’axe des 𝑥.

Alors les courbes des fonctions du second degré ont des propriétés qui peuvent être utilisées pour nous aider à identifier les points d’intérêt d’une équation. Que ce soit en inspectant la courbe d’une fonction du second degré ou en utilisant une équation pour dessiner la courbe, les points suivants sont importants à retenir. Les courbes des fonctions du second degré de la forme 𝑦 égale 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 ont des formes de parabole. Elles ont un minimum et s’ouvrent vers le haut lorsque la valeur de 𝑎 est supérieure à zéro, comme le montre le graphique de gauche. Elles ont un maximum et s’ouvrent vers le bas lorsque 𝑎 est inférieur à zéro, comme le montre le graphique de droite.

On note que la valeur de 𝑎 ne peut pas être égale à zéro, car cela signifierait qu’il n’y a pas de terme en 𝑥 au carré. Et en cela, l’équation correspondante ne serait pas du second degré. Une fonction du second degré peut également être écrite sous la forme canonique 𝑦 égale 𝑎 multiplié par 𝑥 moins ℎ, le tout au carré plus 𝑘, où ℎ, 𝑘 sont les coordonnées du sommet de la parabole, c’est-à-dire le point tournant.

La courbe d’une fonction du second degré est symétrique par rapport à la droite verticale 𝑥 égale ℎ. L’ordonnée à l’origine de la fonction 𝑦 égale 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est toujours au point zéro, 𝑐. Les abscisses à l’origine, là où la courbe coupe l’axe des 𝑥, sont les points où 𝑦 égale zéro. Les abscisses de ces points sont les racines de la fonction et correspondent aux solutions de l’équation du second degré. Sur un graphique, nous pouvons identifier ces points par inspection.

Il est utile de se rappeler qu’une équation du second degré a jusqu’à deux solutions réelles. Si une équation a deux solutions, la fonction correspondante a une courbe qui coupe deux fois l’axe des abscisses 𝑥. Une équation avec une seule solution conduit à une courbe qui a un sommet sur l’axe des 𝑥. Enfin, une équation sans solution signifie que la courbe est entièrement au-dessus ou en dessous de l’axe des 𝑥. Dans les graphiques représentés, la première fonction a deux racines réelles, la fonction du milieu a une racine réelle là où le graphique touche l’axe des 𝑥, et la dernière fonction n’a pas de racines réelles.

Voyons maintenant un exemple où nous pouvons appliquer ces propriétés pour trouver la solution à une équation du second degré à l’aide d’un graphique.

La figure montre la courbe de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. Quel est l’ensemble solution de l’équation 𝑓 de 𝑥 égale zéro ?

Rappelons que les coordonnées de tout point sur la courbe d’une fonction sont données par 𝑥, 𝑦. On nous demande de trouver l’ensemble solution de l’équation 𝑓 de 𝑥 égale zéro, qui est l’ensemble des valeurs de 𝑥 pour lesquelles la valeur 𝑦 est égale à zéro. Sur ce graphique, cela correspond aux points où la courbe coupe l’axe des 𝑥, puisque 𝑦 est égal à zéro en ces points. En inspectant la courbe, nous pouvons voir qu’elle coupe l’axe des 𝑥 en deux points : en 𝑥 égale moins deux et en 𝑥 égale deux. Par conséquent, l’ensemble solution est moins deux, deux.

Dans cet exemple, nous avons vu que puisque la courbe coupe l’axe des 𝑥 deux fois, l’équation a deux solutions. Prenons un exemple où ce n’est pas forcément le cas.

La courbe montre la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus trois. Quel est l’ensemble solution de 𝑓 de 𝑥 égal à zéro ?

Ici, on nous a donné la fonction explicite qui décrit 𝑓 de 𝑥, mais puisque nous avons la courbe, nous pouvons simplement résoudre l’équation graphiquement sans factoriser ou utiliser la formule du second degré. Rappelons que l’ensemble solution de 𝑓 de 𝑥 égale zéro peut être trouvé en identifiant les points 𝑥, 𝑦 sur la courbe où 𝑦 est égal à zéro, soit l’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑥. Cependant dans le cas présent, la courbe est entièrement au-dessus de l’axe des 𝑥. Pour cette raison, il n’y a pas de points où 𝑦 égale zéro. Par conséquent, il n’y a pas de valeurs réelles de 𝑥 qui résolvent l’équation. L’ensemble solution est donc l’ensemble vide, noté comme indiqué.

Dans notre prochain exemple, nous verrons comment factoriser une équation et utiliser le résultat pour déterminer à quoi doit ressembler la courbe.

Résolvez 𝑥 carré moins 𝑥 moins six égale zéro en factorisant, puis déterminez laquelle des figures suivantes pourrait représenter la courbe 𝑦 égale 𝑥 carré moins 𝑥 moins six. Est-ce (A), (B), (C), (D) ou (E) ?

Comme on nous a demandé de résoudre 𝑥 au carré moins 𝑥 moins six égale zéro en factorisant, rappelons d’abord comment faire cela. Nous voulons factoriser l’expression en utilisant les deux valeurs inconnues 𝑝 et 𝑞 comme indiqué. En faisant correspondre les coefficients, nous pouvons voir que cela nécessite que 𝑝𝑞 soit égal à moins six et que 𝑝 plus 𝑞 soit égal à moins un. Puisque le produit de 𝑝 et 𝑞 est négatif, cela signifie que parmi 𝑝 et 𝑞, l’un est négatif et l’autre est positif. Supposons que 𝑝 est négatif. Ainsi, considérons les quatre paires possibles de 𝑝 et 𝑞 dont le produit vaut moins six. Sur ces choix, seul 𝑝 égale moins trois et 𝑞 égale deux nous donne 𝑝 plus 𝑞 égale moins un. Ainsi, la factorisation correcte est 𝑥 moins trois multiplié par 𝑥 plus deux.

Après avoir factorisé l’expression, nous pouvons la résoudre en la posant égale à zéro et en déterminant les valeurs de 𝑥 qui satisfont l’équation. Celle-ci est satisfaite lorsque 𝑥 moins trois égale zéro ou 𝑥 plus deux égale zéro, ce qui conduit à 𝑥 égale trois ou 𝑥 égale moins deux.

Nous devons maintenant déterminer laquelle des figures données pourrait représenter 𝑦 égale 𝑥 au carré moins 𝑥 moins six. Rappelons que les racines d’une fonction nous indiquent quelles valeurs de 𝑥 nous donnent 𝑦 égale zéro. Cela signifie que nous savons en quels points la courbe coupe l’axe des 𝑥 : 𝑥 égale trois et 𝑥 égale moins deux. En considérant les cinq courbes, une seule coupe l’axe des 𝑥 en ces points : celle du choix (E).

De plus, notons d’autres aspects de la courbe que nous pouvons utiliser pour vérifier la bonne réponse. Nous notons que l’ordonnée à l’origine de la courbe est moins six. Rappelons que pour une fonction du second degré de la forme 𝑦 égale 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, l’ordonnée à l’origine est 𝑐. Puisque la fonction est 𝑦 égale 𝑥 au carré moins 𝑥 moins six, cela nous donne 𝑐 égale moins six, ce qui est correct. De plus, nous pouvons voir que puisque 𝑎 est égal à un, la courbe doit s’ouvrir vers le haut, ce qui est exactement ce qui se passe dans le graphique (E). Nous pouvons donc conclure que la bonne réponse est le choix (E).

Dans certaines questions, on nous donnera une équation du second degré qui doit être réarrangée avant de pouvoir la résoudre graphiquement. Nous allons maintenant voir un exemple de ce type.

Trouvez l’ensemble solution de l’équation 𝑥 au carré égale trois 𝑥 plus 10.

Comme on nous a demandé de trouver l’ensemble solution de l’équation 𝑥 au carré égale trois 𝑥 plus 10, nous devons d’abord la réorganiser sous la forme 𝑓 de 𝑥 égale zéro. On note que nous pouvons le faire en soustrayant trois 𝑥 et 10 des deux côtés pour obtenir 𝑥 au carré moins trois 𝑥 moins 10 égale zéro. Rappelons que les solutions de l’équation 𝑓 de 𝑥 égale zéro sont les abscisses 𝑥 des points où la courbe de la fonction coupe l’axe des 𝑥. Nous pouvons déterminer ces valeurs en dessinant la courbe de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins trois 𝑥 moins 10 et en recherchant où elle coupe l’axe des 𝑥.

Nous pouvons dessiner le graphique en dressant un tableau de valeurs et en calculant 𝑓 de 𝑥 pour les valeurs de 𝑥 sélectionnées. En prenant les valeurs de 𝑥 de moins trois à six, nous obtenons les valeurs de 𝑓 de 𝑥 indiquées. Nous pouvons ensuite les représenter sur le graphique et les joindre avec une courbe lisse. On voit facilement que la courbe coupe l’axe des 𝑥 en 𝑥 égale cinq et 𝑥 égale moins deux. On note que nous aurions pu lire ces valeurs directement dans notre tableau, qui a montré que 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro pour ces deux valeurs de 𝑥. Nous concluons que l’ensemble solution de l’équation 𝑥 au carré égale trois 𝑥 plus 10 est moins deux, cinq.

Dans notre dernier exemple, nous considérerons ce qui se passe lorsque nous voulons résoudre 𝑓 de 𝑥 égale une constante autre que zéro.

La courbe représente la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 moins six. Quel est l’ensemble solution de 𝑓 de 𝑥 égale zéro ? Quel est l’ensemble solution de 𝑓 de 𝑥 égale moins six ?

L’ensemble solution de 𝑓 de 𝑥 égale zéro est l’ensemble des valeurs de 𝑥 pour lesquelles la courbe coupe l’axe des 𝑥, puisque 𝑦 est égal à zéro en ces points. En inspectant le graphique, nous pouvons voir que la courbe coupe l’axe des 𝑥 en deux points : 𝑥 égale moins un et 𝑥 égale trois. Par conséquent, l’ensemble solution de 𝑓 de 𝑥 égale zéro est moins un, trois.

Tout comme la solution de 𝑓 de 𝑥 égale zéro est l’ensemble des valeurs pour lesquelles 𝑦 est égal à zéro, l’ensemble solution de 𝑓 de 𝑥 égale moins six est l’ensemble des valeurs où 𝑦 est égal à moins six. Nous pouvons trouver cela en traçant une droite horizontale en 𝑦 égale moins six et en déterminant les coordonnées des points d’intersection de cette droite et de la courbe. Nous pouvons identifier à partir du graphique que les points d’intersection sont en 𝑥 égale zéro et 𝑥 égale deux. Par conséquent, l’ensemble solution de 𝑓 de 𝑥 égale moins six est zéro, deux.

Nous allons maintenant terminer cette vidéo en récapitulant les points clés.

Résoudre des équations du second degré graphiquement est souvent une méthode plus facile et plus rapide que de le faire algébriquement. Pour résoudre graphiquement une équation du second degré, nous inspectons la courbe pour trouver les points où la courbe coupe l’axe des 𝑥. Nous pouvons avoir deux, une ou aucune solution selon que la fonction coupe l’axe des 𝑥 deux fois, une fois ou jamais. Nous pouvons résoudre des équations du second degré formées en posant 𝑦 égale 𝑑 en traçant une droite horizontale à la valeur 𝑦 égale 𝑑 et en recherchant où elle coupe la fonction.

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