Vidéo question :: Déterminer la dérivée seconde d’une fonction définie par des équations paramétriques Mathématiques

Transcription de la vidéo

Étant données 𝑥 égal à 𝑡 au cube plus cinq et 𝑦 égal à 𝑡 au carré moins trois 𝑡, trouvez 𝑑 deux 𝑦 sur 𝑑𝑥 deux.

Notre question nous demande en fait de trouver la dérivée seconde 𝑑 deux 𝑦 sur 𝑑𝑥 deux. Et pour ce faire, ce que nous allons devoir faire en premier, c’est trouver notre dérivée première. Et pour nous permettre de trouver 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥, nous allons examiner les deux équations que nous avons ici, car en fait, nous avons un couple d’équations paramétriques.

Donc, pour obtenir 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 à partir de nos équations paramétriques, ce que nous allons faire, c’est appliquer la règle de dérivation en chaîne pour nous aider à trouver la dérivée première. Donc, ce que nous allons obtenir, c’est en fait que 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est égal à 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑡. Et c’est 𝑑𝑡 parce que c’est l’autre variable de cette question, multipliée par 𝑑𝑡 sur 𝑑𝑥. Et nous le faisons parce que, comme on peut le voir, nous allons en fait simplifier nos 𝑑𝑡 parce que nous avons multiplié par 𝑑𝑡 puis nous avons divisé par 𝑑𝑡. Donc, ils se simplifient pour nous laisser 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. Et nous allons y arriver en dérivant chacune de nos équations paramétriques une par une.

Nous allons donc commencer par 𝑦 égal à 𝑡 au carré moins trois 𝑡. Nous obtenons que 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑡 est égal à deux 𝑡 moins trois. Et en regardant terme par terme, nous avons 𝑡 au carré, et nous avons dérivé cela, pour obtenir deux 𝑡 parce que on multiplie l’exposant par le coefficient, donc deux par un, ce qui nous donne deux. Et puis, nous réduisons l’exposant d’une unité. Donc, nous obtenons deux 𝑡, puis moins trois 𝑡 se dérive pour donner simplement moins trois.

D’accord, très bien, nous avons donc traité 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑡. Alors maintenant, passons à notre première équation paramétrique 𝑥 égal à 𝑡 au cube plus cinq. Alors maintenant, nous allons dériver cela. Et si nous dérivons cela, nous allons en fait obtenir 𝑑𝑥 sur 𝑑𝑡 égal à trois 𝑡 au carré. Très bien, cependant, si nous regardons notre règle de dérivation en chaîne, nous pouvons voir que nous ne voulons pas le 𝑑𝑥 sur 𝑑𝑡, nous voulons en fait le 𝑑𝑡 sur 𝑑𝑥.

Donc, ce que nous devons faire maintenant, c’est trouver l’inverse de 𝑑𝑥 sur 𝑑𝑡 afin que nous ayons réellement 𝑑𝑡 sur 𝑑𝑥. Et quand nous faisons cela, nous obtenons que 𝑑𝑡 sur 𝑑𝑥 est égal à un sur trois 𝑡 au carré. D’accord, super, alors maintenant nous avons trouvé 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑡. Nous avons trouvé 𝑑𝑡 sur 𝑑𝑥. Alors maintenant, nous pouvons en fait appliquer la règle de dérivation en chaîne pour trouver 𝑑𝑦 𝑑𝑥. On peut donc dire que 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est donc égal à deux 𝑡 moins trois multiplié par un sur trois 𝑡 au carré. Voilà donc notre 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑡 multiplié par 𝑑𝑡 sur 𝑑𝑥, ce qui va nous donner deux 𝑡 moins trois sur trois 𝑡 au carré.

Tellement fantastique, nous avons trouvé notre dérivée première. Nous avons trouvé 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. Maintenant, ce que nous devons faire, c’est trouver notre dérivée seconde. Et pour trouver notre dérivée seconde, ce que nous allons faire, c’est trouver 𝑑 sur 𝑑𝑡 de 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. Et puis, on va multiplier cela par 𝑑𝑡 sur 𝑑𝑥.

Et nous le faisons parce que si nous regardons, ce que nous voulons, en fait nous voulons 𝑑 deux 𝑦 sur 𝑑𝑥 deux. Et si nous le faisons de cette manière, encore une fois, nous allons simplifier nos termes parce que nous le voulons seulement en fonction de 𝑥 et 𝑦. Nous allons donc procéder maintenant pour trouver notre dérivée seconde.

Donc, ce qu’on va réellement faire, c’est qu’on va commencer par dériver notre 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 - donc deux 𝑡 moins trois sur trois 𝑡 au carré par rapport à 𝑡. Ainsi, la règle du quotient que nous allons utiliser stipule que si 𝑦 est égal à 𝑢 sur 𝑣, 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est égal à 𝑣 𝑑𝑢 sur 𝑑𝑥 moins 𝑢 𝑑𝑣 sur 𝑑𝑥 le tout sur 𝑣 au carré. Alors maintenant, nous allons appliquer cela pour trouver la dérivée de notre terme. Nous avons donc que notre 𝑢 est deux 𝑡 moins trois et notre 𝑣 est trois 𝑡 au carré.

Donc, tout d’abord, nous voulons trouver 𝑑𝑢 sur 𝑑𝑡 et 𝑑𝑣 sur 𝑑𝑡. Donc 𝑑𝑢 sur 𝑑𝑡 va être égal à deux parce que nous avons en fait dérivé deux 𝑡 moins trois, ce qui nous laisse juste deux. Et 𝑑𝑣 sur 𝑑𝑡 va en fait nous donner six 𝑡. Très bien, alors maintenant nous avons 𝑑𝑢 sur 𝑑𝑡 et 𝑑𝑣 sur 𝑑𝑡, utilisons la règle du quotient et déterminons la dérivée par rapport à 𝑡 de deux 𝑡 moins trois sur trois 𝑡 au carré.

Donc, ce que nous allons obtenir, c’est trois 𝑡 au carré multiplié par deux parce que c’est notre 𝑣 multiplié par notre 𝑑𝑢 sur 𝑑𝑥 moins deux 𝑡 moins trois multiplié par six 𝑡 parce que c’est notre 𝑢 𝑑𝑣 sur 𝑑𝑥. Et puis, tout cela est divisé par 𝑣 au carré. Donc, c’est trois 𝑡 au carré le tout au carré. Donc, au numérateur, nous avons six 𝑡 au carré moins 12𝑡 au carré plus 18𝑡. Et au dénominateur, nous avons neuf 𝑡 à la puissance quatre. Et nous obtenons cela parce que trois 𝑡 au carré, eh bien, on élève trois au carré, donc neuf. Et puis, 𝑡 à la puissance deux ou 𝑡 au carré, au carré, est 𝑡 à la puissance quatre. Tellement génial!

Si nous simplifions maintenant, nous allons nous en sortir, six 𝑡 au carré moins 12𝑡 au carré nous donne moins six 𝑡 au carré plus 18𝑡 le tout sur neuf 𝑡 à la puissance quatre. Et puis si nous divisons par trois 𝑡 - nous divisons donc le numérateur par trois 𝑡 et le dénominateur par trois 𝑡 - nous allons obtenir moins deux 𝑡 plus six sur trois 𝑡 au cube qui va nous laisser avec deux puis en parenthèses trois moins 𝑡 parce que ce qu’on a fait là-bas est en fait de prendre deux comme facteur de chacun des termes au numérateur. Et c’est tout sur trois 𝑡 au cube.

D’accord, très bien, nous l’avons fait maintenant et nous avons trouvé notre 𝑑 sur 𝑑𝑡 égal deux 𝑡 moins trois sur trois 𝑡 au carré en utilisant la règle du quotient. Alors maintenant, la dernière étape est que nous devons multiplier par 𝑑𝑡 sur 𝑑𝑥. Et pour rappel, 𝑑𝑡 sur 𝑑𝑥 était égal à un sur trois 𝑡 au carré. D’accord, nous allons donc multiplier cela par l’expression que nous avons obtenue à l’étape précédente.

Et si nous faisons cela, nous multiplions les numérateurs. Donc, c’est deux ensuite entre parenthèses trois moins 𝑡 multiplié par un, ce qui va nous laisser avec le même numérateur. Et puis, notre dénominateur est trois 𝑡 au cube multiplié par trois 𝑡 au carré, ce qui nous donne neuf 𝑡 à la puissance cinq.

Nous pouvons donc dire que étant donné que 𝑥 égal 𝑡 au cube plus cinq et 𝑦 égal 𝑡 au carré moins trois 𝑡, la dérivée seconde va être égal à deux puis entre parenthèses trois moins 𝑡 sur neuf 𝑡 à la puissance cinq.