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Dans un triangle 𝐴𝐵𝐶, 𝑎 est égal à cinq centimètres, 𝑏 est égal à neuf centimètres et la mesure de l’angle 𝐴 est de 25 degrés. Combien de triangles peuvent être formés ? Est-ce (A) un nombre infini de triangles, (B) zéro triangle, (C) un triangle, (D) deux triangles ou (E) trois triangles?
La question indique que la mesure de l’angle en 𝐴 dans le triangle 𝐴𝐵𝐶 est de 25 degrés. Puisque cet angle est inférieur à 90 degrés, il s’agit d’un angle aigu. Lorsque l’angle en 𝐴 est aigu, nous savons que trois triangles peuvent être formés. Tout d’abord, lorsque la longueur de côté 𝑎 est inférieure à la hauteur ℎ du triangle, alors aucun triangle ne peut être formé. Ensuite, si la longueur de côté 𝑎 est égale à la hauteur ℎ ou si 𝑎 est supérieure à ℎ et 𝑎 est supérieure à la longueur de côté 𝑏, alors un seul triangle peut être formé. Enfin, si la hauteur ℎ du triangle est inférieure à la longueur de côté 𝑎, qui est inférieure à la longueur de côté 𝑏, alors deux triangles peuvent être formés.
Comme nous connaissons les longueurs des côté 𝑎 et 𝑏, cela exclut immédiatement les réponses (A) et (E). Lorsque l’on connaît deux longueurs de côté et un angle dans un triangle, il est impossible de former trois triangles ou une infinité de triangles. Nous savons que la longueur du côté 𝑎 est de cinq centimètres et que celle du côté 𝑏 est de neuf centimètres. Par conséquent, 𝑎 est inférieur à 𝑏.
Traçons maintenant un schéma possible du triangle à partir des informations données. Nous pouvons calculer la hauteur ℎ de ce triangle en utilisant nos connaissances en trigonométrie. La formule du sinus nous indique que sin 𝜃 est égal au côté opposé sur l’hypoténuse. Dans notre triangle, sin de 25 degrés est donc égal à la hauteur ℎ sur neuf. En multipliant les deux membres par neuf, on a ℎ égale neuf fois sin de 25 degrés. Et en tapant ceci sur une calculatrice paramétrée en mode degré, on obtient ℎ égale 3,803. Au dixième près, la hauteur du triangle est donc égale à 3,8 centimètres. Cette longueur est inférieure à la longueur de cinq centimètres du côté 𝑎.
Nous pouvons alors voir qu’avec les mesures données, ℎ est inférieur à 𝑎, qui est inférieur à 𝑏. Et cela signifie que deux triangles peuvent être formés, où le deuxième triangle possible est celui-ci. La bonne réponse est donc (D). D’après les informations fournies, deux triangles peuvent être formés : un où l’angle en 𝐵 est un angle aigu et un où l’angle en 𝐵 est un angle obtus. Et bien que cela ne soit pas demandé dans cette question, nous pourrions utiliser la loi des sinus pour calculer les mesures de ces angles.
