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Vidéo de question : Différencier les fonctions trigonométriques Mathématiques

Si 𝑦 = -2 sec 2𝑥, déterminez le taux de variation de 𝑦 lorsque 𝑥 = 11𝜋 / 6.

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Transcription de vidéo

Si 𝑦 est égal à moins deux fois sécante de deux 𝑥, déterminez le taux de variation de 𝑦 lorsque 𝑥 est égal à 11𝜋 sur six.

On nous donne 𝑦 en fonction de 𝑥 et on nous demande de déterminer le taux de variation de 𝑦 lorsque 𝑥 est égal à 11𝜋 sur six. Tout d’abord, rappelons que le taux de variation d’une fonction n’est autre que sa dérivée par rapport à sa variable. Dans ce cas, 𝑦 est une fonction de 𝑥. Ainsi, nous voulons calculer le taux de variation de 𝑦 par rapport à 𝑥. Soit d𝑦 sur d𝑥. Cependant, nous voulons le faire spécifiquement lorsque 𝑥 est égal à 11𝜋 sur six. Ainsi, nous devons trouver une expression pour d𝑦 sur d𝑥, puis utiliser 𝑥 est égal à 11𝜋 sur six dans cette expression.

Ainsi, d𝑦 sur d𝑥 sera la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Soit la dérivée de moins deux sécante de deux 𝑥 par rapport à 𝑥. Il y a plusieurs façons de dériver cela. Par exemple, nous pourrions utiliser nos identités trigonométriques pour réécrire cette expression en moins deux divisé par le cosinus de deux 𝑥. Puis, nous pourrions dériver cette expression en utilisant la règle du quotient, la règle générale de la puissance ou la règle de dérivation en chaîne et cela fonctionnerait. Cependant, nous l’avons déjà fait dans le cas général pour obtenir le résultat suivant.

Nous savons que pour toute constante réelle 𝑎, la dérivée de la sécante de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois tangente de 𝑎𝑥 multiplié par la sécante de 𝑎𝑥. Premièrement, nous pouvons voir que notre dérivée n’est pas tout à fait sous cette forme. Nous avons un facteur constant de moins deux. Cependant, nous pouvons simplement le sortir de notre dérivée. Ainsi, nous pouvons réécrire ceci comme moins deux fois la dérivée de sécante de deux 𝑥 par rapport à 𝑥. Maintenant, nous pouvons simplement appliquer notre règle avec la valeur de 𝑎 égale à deux. Ainsi, en fixant la valeur de 𝑎 égale deux, et rappelez-vous, nous avons un coefficient de moins deux, nous obtenons moins deux fois deux tangente de deux 𝑥 multiplié par la sécante de deux 𝑥. Bien sûr, nous pouvons simplifier cela. Moins deux multiplié par deux est égal à moins quatre. Ainsi, nous avons pu montrer que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins quatre tangente de deux 𝑥 fois la sécante de deux 𝑥.

Cependant, rappelez-vous, la question nous demande de trouver le taux de variation de 𝑦 lorsque 𝑥 set égal à 11𝜋 sur six. Nous devons donc remplacer 𝑥 est égal à 11𝜋 sur six dans cette expression. En utilisant 𝑥 est égal à 11𝜋 sur six dans notre expression pour d𝑦 sur d𝑥, nous obtenons d𝑦 sur d𝑥 de 11𝜋 sur six est égal à moins quatre fois la tangente de deux multiplié par 11𝜋 sur six multiplié par la sécante de deux fois 11𝜋 sur six. Bien sûr, nous pouvons simplifier cela. Premièrement, nous savons que deux fois 11𝜋 sur six est égal à 11𝜋 sur trois. Cela nous donne moins quatre fois la tangente de 11𝜋 sur trois multiplié par la sécante de 11𝜋 sur trois. Nous pourrions simplement calculer cette expression en utilisant une calculatrice ; cependant, ce n’est pas nécessaire.

Tout d’abord, rappelons que la fonction tangente est périodique de période 𝜋. Cela signifie que nous pouvons ajouter et soustraire des multiples de 𝜋 de notre argument, cela ne changera pas la valeur de notre expression. Ainsi, pour rendre cette expression plus facile à calculer, nous allons soustraire trois 𝜋 de l’argument de la fonction tangente. Nous pouvons faire quelque chose de très similaire pour la fonction sécante. Cependant, la fonction sécante est un divisé par le cosinus. Elle est donc périodique d’environ deux 𝜋. Ainsi, nous ne pouvons ajouter et soustraire que des multiples de deux 𝜋. Au lieu de trois 𝜋, nous allons soustraire quatre 𝜋 de notre argument de la fonction sécante. Nous savons que 11𝜋 sur trois moins trois 𝜋 est deux 𝜋 sur trois et 11𝜋 sur trois moins quatre 𝜋 est égal à moins 𝜋 sur trois. Ainsi, cela nous donne moins quatre tangente de deux 𝜋 sur trois multiplié par la sécante de moins 𝜋 sur trois.

Maintenant, nous sommes presque prêts à calculer cette expression. Nous utiliserons l’identité trigonométrique suivante. Nous savons que la sécante de 𝜃 est équivalente à un divisé par le cosinus de 𝜃. Ainsi, au lieu de multiplier par la sécante de moins 𝜋 par trois, nous pouvons plutôt diviser par le cosinus de moins 𝜋 par trois. Cela nous donne moins quatre tangente de deux 𝜋 sur trois, le tout divisé par le cosinus de moins 𝜋 sur trois. Maintenant, la fonction est entièrement écrite en termes d’angles fondamentaux. Nous devrions donc connaître ces valeurs. La tangente de deux 𝜋 sur trois est moins la racine de trois et le cosinus de moins 𝜋 sur trois est un demi. Ainsi, cela se simplifie pour nous donner moins quatre fois la racine de moins trois sur un demi. Nous pouvons simplifier cela. Premièrement, diviser par un demi revient à multiplier par deux. Ensuite, au numérateur, moins huit multiplié par moins racine de trois est juste huit racine de trois, ce qui est notre réponse finale.

Par conséquent, nous avons pu montrer si 𝑦 est égal à moins deux sécante de deux 𝑥, alors le taux de variation de 𝑦 lorsque 𝑥 est égal à 11𝜋 sur six est huit racine de trois.

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