Vidéo : Tous les triplets de Pythagore possibles, visualisés

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Tous les triplets de Pythagore possibles, visualisés

14:28

Transcription de vidéo

Lorsque vous avez découvert le théorème de Pythagore, la somme des carrés des deux côtés les plus courts d’un triangle rectangle correspond toujours au carré de son hypoténuse. J’imagine que vous connaissez assez bien quelques exemples comme le triangle trois-quatre-cinq ou le triangle cinq-12-13. Et je pense qu’il est facile de prendre pour acquis que ceux-ci existent réellement. Exemples où la somme de deux carrés parfaits se trouve être un carré parfait. Mais gardez à l’esprit pour la comparaison, si vous changiez cet exposant en un nombre entier supérieur à deux, vous passerez de nombreuses solutions entières à aucune solution. C’est le fameux dernier théorème de Fermat.

Maintenant, il y a un nom spécial pour tout triplet de nombres entiers 𝑎, 𝑏, 𝑐, où 𝑎 carré plus 𝑏 carré est égal à 𝑐 carré. C’est ce qu’on appelle un triplet de Pythagore. Et ce que nous allons faire ici, c’est trouver tous les exemples possibles. De plus, nous le ferons de manière à ce que vous puissiez voir comment toutes ces triplets s’assemblent. C’est une vieille question, presque aussi vieille que les maths. Il y a quelques tablettes d’argile babyloniennes datant de 1800 avant JC, plus d’un millénaire avant Pythagore lui-même, qui ne font que répertorier ces triplets.

Et d’ailleurs, alors que nous parlons du théorème de Pythagore, il serait dommage de ne pas partager ma preuve préférée, pour ceux qui ne l’ont pas déjà vu. Vous commencez par dessiner un carré de chaque côté du triangle. Et si vous prenez ce 𝑐 carré et ajoutez quatre exemplaires du triangle original autour, vous pouvez obtenir un grand carré dont les longueurs des côtés sont 𝑎 plus 𝑏. Mais vous pouvez également organiser le carré 𝑎 et le carré 𝑏 ensemble avec quatre copies du triangle d’origine pour obtenir un grand carré dont les longueurs des côtés sont 𝑎 plus 𝑏. Cela signifie que l’espace négatif dans chacun de ces diagrammes, l’aire de ce grand carré moins quatre fois l’aire du triangle, est, d’un point de vue, clairement 𝑎 carré plus 𝑏 carré. Mais d’un autre point de vue, c’est 𝑐 au carré.

Quoi qu’il en soit, revenons à la question de la recherche d’un nombre entier de solutions, commencez par reformuler légèrement la question. Parmi tous les points du plan avec des coordonnées entières — c’est-à-dire tous ces points du réseau où les lignes de la grille se croisent — lesquels sont à une distance entière de l’origine ? Par exemple, le point trois, quatre se situe à une distance cinq de l’origine. Et le point 12, cinq, est à une distance 13 l’origine. La question de trouver des triplets de Pythagore est complètement équivalente à la recherche de points de réseau qui sont à une distance d’un nombre entier de l’origine. Bien sûr, pour la plupart des points tels que deux, un, la distance de l’origine n’est pas un nombre entier. Mais c’est au moins la racine carrée d’un nombre entier. Dans ce cas, deux carrés plus un carré égal à cinq. Donc, cette distance, cette hypoténuse là-bas, est la racine carrée de cinq.

Maintenant, prenons ce qui peut sembler étrange, mais qui se justifiera dans un instant, considérez ceci comme un plan complexe. Alors que chacun de ces points — comme deux, un ici — est en fait un nombre complexe individuel, dans ce cas deux plus 𝑖. Cela donne un moyen étonnamment simple de le modifier pour obtenir un nouveau point dont la distance par rapport à l’origine est garantie d’être un nombre entier. De façon algébrique, lorsque vous définissez un nombre complexe en développant ce produit et en faisant correspondre tous les termes similaires. Parce que tout ici implique simplement de multiplier et d’ajouter des entiers, il est garanti que chaque composante du résultat est un entier. Dans ce cas, vous obtenez trois plus quatre 𝑖.

Mais vous pouvez aussi penser à une multiplication complexe de manière plus géométrique. Vous prenez cette ligne tirée de l’origine au nombre et considérez l’angle qu’elle fait avec l’axe horizontal ainsi que sa longueur, qui dans ce cas est la racine carrée de cinq. Multiplier quoi que ce soit par ce nombre complexe a pour effet de le faire pivoter de cet angle et de s’étirer d’un facteur égal à cette longueur. Ainsi, lorsque vous multipliez le nombre par lui-même, l’effet est de doubler cet angle et, surtout, de mettre au carré sa longueur. Étant donné que la longueur a commencé comme la racine carrée d’un nombre entier, la longueur résultante est garantie d’être un nombre entier. Dans ce cas, cinq. Ici, essayons avec un autre exemple.

Commencez avec un certain nombre complexe qui a comme coordonnées entières trois plus deux 𝑖. Dans ce cas, la distance entre ce nombre et l’origine est la racine carrée de trois carré plus deux, qui est la racine carrée de 13. Maintenant, multipliez ce nombre complexe par lui-même. La partie réelle équivaut à trois carré plus deux carré, soit neuf moins quatre. Et la partie imaginaire est trois fois deux plus deux fois trois. Le résultat est donc cinq plus 12𝑖. Et le module de ce nouveau numéro est 13, le carré du module de notre nombre de départ, trois plus deux 𝑖. Donc, le carré de notre point de réseau choisi au hasard nous donne le triangle cinq-12-13.

Regarder ce travail a quelque chose de magique. On a presque l’impression de tricher. Vous pouvez commencer par un point de treillis choisi au hasard, comme quatre plus 𝑖. Et juste en prenant sa place, vous générez un triplet de Pythagore. Dans ce cas, quatre plus 𝑖 carré égal à 15 plus huit 𝑖, ce qui correspond à une distance de 17 de l’origine. Si vous jouez avec cela, ce que je vous encourage à faire, vous constaterez que certains des résultats sont assez ennuyeux. Si les deux coordonnées de votre point de départ sont identiques ou si l’une d’entre elles est zéro, le triplet à la fin inclura un zéro. Par exemple, deux plus deux 𝑖 donne au carré de huit 𝑖. Et même si, techniquement, il s’agit bien d’un point de réseau, situé à une distance entière de l’origine, le triplet auquel il correspond est égal à zéro carré plus huit carré égal à huit carré. Ce qui n’est pas exactement quelque chose à écrire à la maison.

Mais pour la plupart, cette méthode de quadrature de nombres complexes est un moyen étonnamment simple de générer des triplets de Pythagore non triviaux. Et vous pouvez même le généraliser pour obtenir une bonne formule. Si vous écrivez les coordonnées de votre point initial sous la forme 𝑢 et 𝑣, lorsque vous calculez 𝑢 plus 𝑣𝑖 au carré, la partie réelle est 𝑢 au carré moins 𝑣 au carré. Et la partie imaginaire est deux fois 𝑢𝑣. La distance résultant de l’origine est va être 𝑢 au carré plus 𝑣 carré. C’est assez amusant de travailler cette expression algébriquement et de vérifier qu’elle marche. Et il est aussi amusant de substituer certains entiers aléatoires pour 𝑢 et 𝑣 et sortir un triplet pythagoricien. Pour l’essentiel, nous avons créé une machine où vous lui donnez n’importe quelle paire d’entiers et qui vous restitue du triple de Pythagore.

Une façon très agréable de visualiser ce qui sera familier à l’ un de vous qui ont regardé la vidéo de la fonction zeta, est de regarder tous les points de 𝑧 sur le plan déplacer vers le point 𝑧 au carré. Ainsi, par exemple, le point trois plus deux 𝑖 se déplacent va plus à cinq plus 12𝑖. Le point 𝑖 va faire pivoter de 90 degrés vers son carré, moins un. Du point moins un, on va passer à un, et ainsi de suite. Maintenant, lorsque vous faites cela à chaque point de l’avion, y compris les lignes de la grille que je vais rendre plus colorées afin qu’elles soient plus faciles à suivre, voici à quoi cela ressemble.

Ainsi, toutes les lignes de la grille se transforment en ces arcs paraboliques. Et chaque point d’intersection de ces arcs est un endroit où votre point de réseau a atterri. Cela correspond donc à un triple pythagoricien. C’est-à-dire que si vous tracez un triangle dont l’hypoténuse est la ligne entre l’un de ces points et l’origine et dont les pieds sont parallèles aux axes, les trois côtés de ce triangle seront des nombres entiers. Ce que j’aime à propos de cela, c’est que lorsque vous visualisez des triplets de Pythagore, seuls, ils semblent complètement aléatoires et sans lien. Et vous seriez tenté de dire qu’il n’y a pas de modèle. Mais ici, nous en avons beaucoup qui sont vraiment organisés ensemble, posés juste aux intersections de ces courbes bien espacées.

Maintenant, vous pourriez demander si cela représente chaque triplet possible de Pythagore. Malheureusement, ce n’est pas le cas. Par exemple, vous n’obtiendrez jamais le point six plus huit 𝑖 en utilisant cette méthode même si six, huit, 10 est un triplet parfaitement valide de Pythagore. Il n’y a tout simplement pas de nombres entiers 𝑢 et 𝑣 où 𝑢 plus 𝑣𝑖 au carré est six plus huit 𝑖. De même, vous n’aurez jamais neuf plus 12𝑖. Mais ceux-ci ne sont vraiment pas nouveaux, n’est-ce pas ? Étant donné que vous pouvez obtenir chacun d’eux en mettant à la puissance le triplet trois, quatre, cinq, qui est bien connu dans notre méthode. En fait, pour des raisons que je vais expliquer brièvement, chaque triplet possible de Pythagore que nous manquons est juste un multiple d’un triplet différent que nous avons atteint. Pour donner un autre exemple, nous avons manqué le point quatre plus trois 𝑖. Il n’y a pas des entiers 𝑢 et 𝑣 tels que 𝑢 plus 𝑣𝑖 carré est quatre plus trois 𝑖. En fait, vous ne toucherez jamais de points dont la partie imaginaire est impaire.

Cependant, nous atteignons huit plus six 𝑖. C’est trois plus 𝑖 carré. Donc, même si nous manquons quatre plus trois 𝑖, nous ne touchons qu’un point et demi. Et au fait, vous ne réduirez jamais plus qu’un demi. Une bonne façon de penser à ces multiples que nous manquons est de prendre chaque point obtenu en utilisant cette méthode de quadrature et de tracer une ligne allant de l’origine à l’infini. Si vous marquez tous les points de réseau auxquels cette ligne correspond, vous pourrez comptabiliser les multiples de ces points manquants. En faisant cela pour tous les points possibles, vous allez rendre compte de chaque triplet possible de Pythagore. Tous les triangles rectangles que vous avez vus ou que vous verrez jamais et qui ont des longueurs entières sont pris en compte quelque part dans cette figure. Pour voir pourquoi, passons maintenant à une vue différente du problème des triplets de Pythagore, qui consiste à rechercher des points sur un cercle unitaire dotés de coordonnées rationnelles.

Si vous prenez l’expression 𝑎 carré plus 𝑏 carré est égal à 𝑐 carré et divisez par ce 𝑐 carré, ce que vous obtenez est 𝑎 sur 𝑐 carré plus 𝑏 sur 𝑐 carré est égal à un. Cela nous donne un point sur le cercle unité, 𝑥 au carré plus 𝑦 carré est égal à un, dont les coordonnées sont chacun des nombres rationnels. C’est ce que nous appelons un point rationnel du cercle unitaire. Et inversement, si vous trouvez un point rationnel dans le cercle des unités. Lorsque vous multipliez par un dénominateur commun pour chacune de ces coordonnées, vous allez atterrir sur un point qui possède des coordonnées entières. Et dont la distance de l’origine est également un entier.

En gardant cela à l’esprit, considérons notre diagramme dans lequel nous avons mis au carré tous les points possibles du réseau, puis tracé ces lignes radiales à travers chacun d’eux pour tenir compte des multiples que nous aurions pu manquer. Si vous projetez tous ces points sur le cercle unitaire, chacun se déplaçant le long de sa ligne radiale correspondante, vous obtiendrez un tas de points rationnels sur ce cercle. Et gardez à l’esprit, au fait, je ne dessine qu’une grande partie de ces points et de ces lignes. Mais si je dessinais un nombre infini de lignes correspondant à tous les points de réseau quadrillés possibles, cela remplirait en réalité chaque pixel de l’écran.

Maintenant, si notre méthode était incomplète, s’il nous manquait un triple pythagoricien quelque part. Cela signifierait qu’il y a un point rationnel sur ce cercle que nous n’atteignons jamais une fois que nous projetons tout sur le cercle. Et laissez-moi vous montrer pourquoi cela ne peut pas arriver. Prenez n’importe lequel de ces points rationnels et tracez une ligne entre celui-ci et le point moins un. Lorsque vous calculez la pente de cette droite, la variation verticale entre les deux points est rationnelle et le décalage horizontal est également rationnel. Donc, la pente elle-même va juste être un nombre rationnel. Donc, si nous pouvons montrer que notre méthode de calcul des nombres complexes tient compte de toutes les pentes rationnelles possibles ici, cela garantira que nous atteindrons tous les points rationnels possibles du cercle des unités, n’est-ce pas ?

Eh bien, réfléchissons à notre méthode. Nous commençons avec un point 𝑢 plus 𝑣𝑖 qui a des coordonnées entières. Et ce nombre fait un certain angle avec l’horizontale que je vais appeler 𝜃. En mettant au carré ce nombre, l’angle formé avec l’horizontale est deux fois 𝜃. Et bien sûr, lorsque vous projetez cela sur le cercle unitaire, il suit la même ligne radiale. Ainsi, le point rationnel du cercle unitaire correspondant a également le même angle, deux fois 𝜃. Et ici, je vais apporter un petit peu de géométrie de cercle. Ce qui est que chaque fois que vous avez un angle entre deux points de la circonférence d’un cercle et son centre. Cela se révèle être exactement deux fois l’angle formé par ces mêmes points et par tout autre point de la circonférence du cercle. Pourvu que cet autre point ne soit pas entre les deux points d’origine.

Ce que cela signifie pour notre situation est que la ligne entre moins un et le point rationnel sur le cercle doit faire un angle 𝜃 avec l’horizontale. En d’autres termes, cette ligne a la même pente que la ligne entre l’origine et notre nombre complexe initial, 𝑢 plus 𝑣𝑖. Mais regardons la pente de montée de la ligne définie par notre choix d’entiers, 𝑢 et 𝑣. La pente est 𝑣 divisé par 𝑢. Et bien sûr, nous pouvons choisir 𝑣 et 𝑢 entiers comme nous voulons. Et par conséquent, nous tenons effectivement compte de toutes les pentes rationnelles possibles. Donc là vous allez, les lignes radiales de notre méthode déterminée par tous les choix possibles de 𝑢 et 𝑣 doivent passer par chaque point rationnel sur ce cercle. Et cela signifie que notre méthode doit atteindre tous les triplets pythagoriciens possibles.

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