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Trouvez 𝑚 tel que 40A𝑚 plus 15 est égal à 11A𝑚 plus 15.
La notation utilisée dans cette équation est celle des arrangements. Pour un entier positif 𝑛 et un entier 𝑟 compris entre zéro et 𝑛, inclus, le symbole des arrangements 𝑛A𝑟 représente l’entier calculé par factorielle 𝑛 divisé par factorielle 𝑛 moins 𝑟. Nous l’appelons symbole des arrangements parce que ce nombre représente précisément le nombre possible d’arrangements différents de 𝑟 objets sélectionnés parmi une collection de 𝑛 objets.
La notation factorielle 𝑛 représente le produit de tous les entiers de un jusqu’à 𝑛, inclus. Et nous pouvons écrire, de manière récursive comme 𝑛 fois factorielle 𝑛 moins un. Cela a du sens parce que factorielle 𝑛 moins un est le produit de tous les entiers de un à 𝑛 moins un. Et le multiplier par 𝑛 nous donne alors le produit de tous les entiers de un à 𝑛.
Bien, nous allons maintenant utiliser ces définitions pour nous attaquer à la résolution de notre équation. Pour commencer, notez que le 𝑟 de 𝑛A𝑟 dans ces deux symboles est le même à savoir 𝑚 plus 15. Donc, pour simplifier nos expressions et nos calculs algébriques, définissons une autre variable 𝑘 égale à 𝑚 plus 15. Ceci permet de transformer notre équation en 40A𝑘 est égal à 11A𝑘. Ensuite, lorsque nous aurons résolu cette équation et trouvé 𝑘, nous lui soustrairons tout simplement 15 pour trouver 𝑚. Il est important de comprendre que ce changement de variable ne change pas le problème. Cela ne fait que rendre le problème plus facile à appréhender, ce qui est très utile pour le résoudre.
En développant, en utilisant notre définition de 𝑛A𝑟, nous obtenons factorielle 40 divisée par factorielle 40 moins 𝑘 égale factorielle 11 divisée par factorielle 11 moins 𝑘. Rappelez-vous que la définition de la factorielle signifie la multiplication de nombreux termes. De plus, pour que deux nombres soient égaux, ils doivent avoir exactement les mêmes facteurs premiers. Donc, puisque les deux membres de notre équation sont des produits d’entiers, notre stratégie sera de faire correspondre les facteurs premiers des deux membres. Avant de commencer à mettre en œuvre cette stratégie, nous devons cependant nous assurer que les hypothèses que nous avons faites sont réellement valables.
Premièrement, nous avons énoncé que les deux membres de l’équation sont des produits de nombres entiers. Mais tels qu’ils sont écrits, ce sont en fait tous deux des fractions. Ce que nous devons faire, c’est donc de montrer que ces deux fractions sont équivalentes à des entiers ou à des produits d’entiers. Nous ferons ceci en appliquant la définition de la factorielle de 𝑛 à la définition de 𝑛A𝑟. Nous commençons par écrire que 𝑛A𝑟 est égal à factorielle 𝑛 divisé par factorielle 𝑛 moins 𝑟. Nous utilisons maintenant notre définition pour réécrire factorielle 𝑛 comme 𝑛 fois factorielle 𝑛 moins un. Mais nous pouvons maintenant appliquer à nouveau la définition pour réécrire 𝑛 moins un factorielle comme 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux factorielle.
Et nous continuons à appliquer cette définition 𝑟 fois. Ce qui nous donne 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux, etc., fois 𝑛 moins 𝑟 plus un fois factorielle 𝑛 moins 𝑟 le tout divisé par factorielle 𝑛 moins 𝑟. Mais maintenant, il y a le facteur commun à savoir factorielle 𝑛 moins 𝑟 au numérateur et au dénominateur. Cette division nous donne donc juste un. Et 𝑛A𝑟 est égal à 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux, etc., fois 𝑛 moins 𝑟 plus un. En fait, écrire 𝑛A𝑟 comme le produit de ces 𝑟 entiers est souvent un moyen utile d’exprimer 𝑛A𝑟 sans utiliser les factorielles.
Quoi qu’il en soit, nous voyons que 𝑛A𝑟 est toujours un entier, ce qui signifie que notre stratégie est bien justifiée. Il y a cependant un autre point qui doit être abordé, à savoir que notre stratégie suppose implicitement que les deux membres sont des produits de facteurs premiers. Bien que presque tout entier positif soit en fait le produit de facteurs premiers, il existe une seule exception. Le nombre un n’est pas un nombre premier mais n’est pas non plus un produit de nombres premiers. Nous devons donc modifier notre stratégie faisant attention au fait que l’égalité est valable si nous pouvons faire correspondre tous les facteurs premiers des deux membres ou si les deux membres sont égaux à un.
Est-ce possible? Peut-on avoir les deux membres égaux à un? En effet, c’est possible. Regardez le membre de gauche. factorielle 40 divisé par factorielle 40 moins 𝑘 sera égal à un si factorielle 40 égale factorielle 40 moins 𝑘. Mais cette égalité sera vraie si et seulement si 40 est égal à 40 moins 𝑘. Et bien sûr, si 40 est égal à 40 moins 𝑘, alors 𝑘 est égal à zéro.
En regardant le membre de droite, factorielle 11 divisé par factorielle 11 moins 𝑘 avec 𝑘 égal à zéro est simplement factorielle 11 divisé par factorielle 11, ce qui est aussi égal à un. Ainsi, si 𝑘 vaut zéro, les deux membres sont égaux à un. En fait, quel que soit 𝑛 positif 𝑛A zéro est égal à un. En effet, factorielle 𝑛 divisé par factorielle 𝑛 moins zéro est tout simplement factorielle 𝑛 divisé par factorielle 𝑛, qui est égal à un.
Notez pour l’autre expression de 𝑛A𝑟, cette expression suppose implicitement que 𝑟 est supérieur à zéro car cela n’aurait aucun sens d’avoir zéro terme dans le membre de droite de cette. Et en effet, dans cette expression, prendre 𝑟 égale zéro ne nous donne pas 𝑛A zéro égale un. Il convient également de préciser qu’en représentant ce produit, nous avons mis en évidence deux termes explicites car 𝑟 est indéterminé. Mais si 𝑟 est égal à un, il n’y a en fait qu’un seul terme et c’est 𝑛.
Quoi qu’il en soit, nous avons maintenant complètement traité le cas particulier où les deux membres de l’équation valent un. Et en effet, nous avons trouvé une solution pour ce cas particulier, à savoir, 𝑘 est égal à zéro. Nous conserverons cette solution pour plus tard et appliquerons maintenant notre stratégie principale consistant à faire correspondre les facteurs premiers des deux membres. N’oubliez pas que pour ce faire, il est utile d’écrire explicitement les deux membres comme des produits de facteurs. Donc, pour y arriver, nous allons utiliser cette autre expression de 𝑛A𝑟. Mais comme nous l’avons vu, cette expression n’est valable que si 𝑟 est supérieur à zéro.
Pour y remédier, nous ferons tous les calculs en supposant que 𝑘 est supérieur à zéro. Maintenant, puisque cette hypothèse élimine la possibilité que 𝑘 soit égal à zéro, nous devons vérifier si 𝑘 égal à zéro nous donne ou ne nous donne pas une solution. Heureusement, nous savons déjà que 𝑘 égal à zéro nous donne une solution. Nous sommes donc prêts à aller de l’avant avec notre stratégie.
Le développement de notre équation nous donne donc que 40 fois 39, etc., fois 40 moins 𝑘 plus un est égal à 11 fois 10, etc., fois 11 moins 𝑘 plus un. Nous avons placé ce petit point d’interrogation autour du signe égal car nous ne savons pas si ces deux quantités sont égales. C’est ce que nous essayons de savoir. De plus, pour être précis, les facteurs 39 et 10 ne sont présents que si 𝑘 est supérieur ou égal à deux. Nous les avons écrits juste pour voir ce qui se passe. Mais nous devons bien comprendre que si nous découvrons que 𝑘 est inférieur à deux, nous devrons alors supprimer ces facteurs de l’équation.
Quoi qu’il en soit, commençons par faire correspondre ces facteurs premiers. Puisque 𝑘 est supérieur à zéro par hypothèse, le membre de droite inclura toujours le facteur premier 11. De plus, étant donné que 11 est le plus grand nombre du membre de droite, quelle que soit la valeur de 𝑘, ce membre ne sera jamais divisible par un nombre premier supérieur à 11. Appliquons maintenant chacune de ces deux conditions au membre de gauche.
Parce que 11 est un nombre premier, pour qu’il y ait un facteur 11 dans le membre de gauche, l’un des termes de ce produit doit être divisible par 11. Observez maintenant que tous les termes du membre de gauche sont inférieurs ou égaux à 40 et que 40 n’est pas divisible par 11. Le multiple de 11 le plus proche mais n’excédant pas 40 est 33, soit trois fois 11. Donc, pour que le membre de gauche soit divisible par 11, l’un des termes doit être égal à 33. Pour voir pourquoi 33 doit nécessairement être un terme et non pas, disons, 22 ou 11, observons que tous les termes du membre de gauche forment une suite d’entiers décroissants, ce qui signifie que si 22 apparaît, 33 serait déjà apparu 11 nombres plus tôt. De même, si 11 apparaît, alors 33 serait déjà apparu 22 nombres plus tôt.
Quoi qu’il en soit, avant d’aller plus loin, revenons à l’observation selon laquelle aucun nombre premier supérieur à 11 n’est un facteur du membre de droite. Mais regardons maintenant ce que nous avons écrit pour le membre de gauche. L’un des termes possibles du membre de gauche est 39, mais 39 est égal à trois fois 13. Mais cela signifie que si 39 est vraiment un terme du produit du membre de gauche, alors 13 est un facteur premier de ce produit, ce qui contredit la contrainte selon laquelle il n’y aurait pas de nombres premiers supérieurs à 11. Nous concluons donc que 39 ne peut pas être un terme du membre de gauche.
Mais maintenant, nous avons établi une contradiction. Pour tout 𝑘 supérieur à zéro, le membre de droite aura toujours comme facteur premier 11 et aucun facteur premier supérieur à 11. Donc, pour que ces produits soient égaux, c’est-à-dire, pour que nous puissions faire correspondre les facteurs premiers, le membre de gauche doit avoir comme facteur premier 11 et aucun facteur premier supérieur à 11. Et comme nous l’avons vu, cela signifie que 33 doit être un terme du membre de gauche et que 39 par contre ne doit pas être un terme de ce membre.
Mais encore une fois, comme nous l’avons vu, le membre de gauche est une suite d’entiers consécutifs décroissants. Cela signifie que si 33 est vraiment un terme du membre de gauche, alors 39 doit l’être aussi car pour atteindre 33, nous devons avoir 40, 39, 38, 37, 36, 35, 34, 33. Mais il est bien sûr impossible que 39 soit à la fois un terme et pas un terme. Nos conditions nécessaires pour le membre de droite conduisent donc à une contradiction sur le membre de gauche.
Mais puisque nous arrivons à une contradiction, c’est que notre hypothèse n’est pas valable. Et notre hypothèse était que cette équation avait des solutions pour des 𝑘 supérieurs à zéro. Donc, la conclusion à laquelle nous sommes forcés d’arriver est que cette équation n’a pas de solutions pour 𝑘 supérieur à zéro et que la seule solution est celle que nous avons déjà trouvée, 𝑘 égale zéro.
Maintenant, tout ce qui reste à faire est d’utiliser que 𝑘 est égal à zéro pour trouver 𝑚. Nous avons donc que zéro est égal à 𝑚 plus 15 soit que 𝑚 est égal à moins 15 qui est notre unique solution.
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