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On suppose que 𝐴 et 𝐵 sont des événements. Sachant que la probabilité de 𝐴 est égale à quatre 𝑥, que la probabilité du contraire de 𝐵 est égale à 𝑥, que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à trois 𝑥 plus 0,9 et que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à un demi de 𝑥, déterminez la valeur de 𝑥.
Commençons par rappeler certaines des notations figurant dans cette question. Le contraire d’un événement est l’ensemble des issues qui ne sont pas dans cet événement. Il peut être noté 𝐵 prime comme ici, ou parfois 𝐵 barre. Comme la somme de toutes les probabilités est égale à un, la probabilité du contraire de l’événement 𝐵 est égale à un moins la probabilité de 𝐵. Dans cette question, nous pouvons réorganiser cette équation pour trouver une expression de la probabilité de 𝐵. Elle est égale à un moins 𝑥.
La notation de la réunion représente l’ensemble des issues de l’événement 𝐴, de l’événement 𝐵 ou des deux. Et la notation de l’intersection représente les issues de l’événement 𝐴 et de l’événement 𝐵. La formule de la probabilité d’une réunion indique que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. On nous dit que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à trois 𝑥 plus 0,9. Et que la probabilité de 𝐴 est égale à quatre 𝑥. Nous avons de plus déterminé que la probabilité de 𝐵 est égale à un moins 𝑥. Enfin, la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à un demi de 𝑥, ce qui nous donne cette équation.
En regroupant les termes semblables sur le membre droit, on a 2,5𝑥 plus un, car quatre 𝑥 moins 𝑥 moins un demi de 𝑥 égale 2,5𝑥. On peut ensuite soustraire 2,5𝑥 et 0,9 aux deux membres de l’équation. Cela nous donne trois 𝑥 moins 2,5𝑥 égale un moins 0,9. Ce qui se simplifie par 0,5𝑥 égale 0,1. En divisant par 0,5 ou un demi, on a 𝑥 égale 0,1 divisé par 0,5. Et en multipliant le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 10, on obtient un sur cinq. Par conséquent, la valeur de 𝑥 est de un sur cinq, ou 0,2 sous forme décimale.