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Vidéo de la leçon: Conversion entre radians et degrés Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à convertir des radians en degrés et inversement.

14:51

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à convertir entre radians et degrés et vice versa. Commençons par rappeler ce qu’est un radian.

Tout comme les degrés, les radians sont une unité de mesure d’angle. Un radian est défini comme la mesure de l’angle formé au centre d’un cercle par un arc dont la longueur est égale au rayon du cercle. Essayons d’illustrer cela. Supposons que nous ayons un cercle de centre 𝑂 et voici son rayon, que nous pouvons appeler 𝑟. Traçons une autre ligne de même longueur que le rayon 𝑟, puis courbons-la pour qu’elle se situe le long du cercle. Elle ressemble donc à cela. Et nous savons que le segment de l’autre côté de cette courbe sera également de longueur 𝑟. L’angle créé dans ce secteur mesure un radian. Et la question à laquelle nous souhaitons répondre dans cette vidéo est si nous pouvons déterminer quelle est la mesure en degrés de cet angle en radians.

Rappelons une autre propriété importante des cercles. La longueur la courbe délimitant un cercle s’appelle la circonférence. Et on peut calculer la circonférence d’un cercle en multipliant deux 𝜋 par le rayon. Une question judicieuse à poser maintenant est: combien de ces longueurs d’arc 𝑟 pourrait-on aligner sur la circonférence? Et la réponse est que deux 𝜋 arcs tiendraient sur la circonférence. Nous pouvons vérifier cela en nous rappelant que 𝜋 est environ égal à 3,14. Ce qui signifie que deux 𝜋 est environ égal à 6,28.

Donc, si nous dessinons une autre longueur d’arc de 𝑟, cela ressemblerait à cela, puis une autre à ceci, jusqu’à ce nous ayons bien six longueurs d’arc plus cette petite partie. Donc si nous considérons que l’angle autour du centre de ce cercle est de deux 𝜋 radians, alors nous pouvons le relier à une autre propriété connue des angles dans un cercle. Elle stipule que l’angle au centre d’un cercle ou autour d’un point est de 360 degrés. Et nous pouvons donc dire que deux 𝜋 radians égale 360 degrés. Connaître cette égalité nous aidera à convertir des radians en degrés et inversement.

Notez que si on divise les deux membres de cette égalité par deux, on obtient 𝜋 radians égale 180 degrés. Cela peut être très utile car nous savons qu’il y a 180 degrés dans un demi-cercle, dans un angle plat ou dans un triangle. Si nous le souhaitons, nous pouvons même diviser les deux membres de cette deuxième équation par deux pour obtenir 𝜋 sur deux radians égale 90 degrés, ce qui est bien sûr un angle droit. Connaître ces trois égalités de conversion peut être utile pour nous aider à effectuer des conversions entre radians et degrés. Mais il suffit de se rappeler de l’une d’entre elles car en connaître une nous permet de déduire les deux autres.

Étudions maintenant quelques exemples. Dans la première question, nous devons convertir plusieurs angles en degrés en angles en radians.

Convertissez les mesures d’angle suivantes de degrés en radians. Donnez vos réponses en fonction de 𝜋 sous forme irréductible. 90 degrés, 30 degrés, 55 degrés.

La question nous donne trois mesures d’angles en degrés et nous devons les convertir dans une unité de mesure d’angle différente, le radian. Une des égalités de conversion clés que nous pouvons rappeler entre degrés et radians est que 180 degrés est égal à 𝜋 radians. Voyons comment cela peut nous aider à déterminer combien de radians il y a dans 90 degrés. Eh bien, nous pouvons remarquer que pour passer de 180 degrés à 90 degrés, nous devons diviser par deux. La mesure en radian doit donc également être divisée par deux. 𝜋 divisé par deux peut s’écrire 𝜋 sur deux. Et la réponse est donc 𝜋 sur deux radians.

Notez que cette réponse est donnée en fonction de 𝜋 sous forme irréductible. Les angles en radians sont généralement donnés sous cette forme, mais nous pourrions bien sûr utiliser une calculatrice pour obtenir une valeur décimale si nécessaire.

Voyons maintenant comment convertir l’angle de 30 degrés. Nous pouvons utiliser la même égalité de conversion: 180 degrés égale 𝜋 radians. Et nous observons cette fois que pour passer de 180 degrés à 30 degrés, il faut diviser par six. Sur le membre droit, nous devons alors également diviser par six. Nous pouvons donc répondre que 30 degrés est égal à 𝜋 sur six radians. Cette réponse est à nouveau en termes de 𝜋 et sous forme irréductible.

Penchons-nous maintenant sur la troisième mesure. Nous essayons cette fois de convertir 55 degrés en radians. Vous avez peut-être déjà réalisé que cela ne sera pas aussi simple car 55 degrés n’est pas un diviseur de 180 degrés. Plutôt que passer directement de 180 degrés à 55 degrés, nous allons donner quelques étapes intermédiaires. Nous pouvons notamment chercher l’équivalent de un degré pour faciliter les calculs, mais il existe d’autres méthodes. Nous pourrions aussi trouver combien il y a de radians dans cinq degrés.

Mais partons sur un degré. Cette fois, pour passer de 180 à un degré, on doit diviser par 180. Diviser la valeur en radians par 180 donne 𝜋 sur 180 radians. Nous devons maintenant réfléchir à la façon dont nous passons de un degré à 55 degrés. Et on doit en fait multiplier par 55. On doit effectuer cette opération sur les deux membres de cette équation. Plutôt que de donner la réponse 55𝜋 sur 180, on peut éliminer un facteur commun de cinq. Par conséquent, nous pouvons conclure que 55 degrés est égal à 11𝜋 sur 36 radians. Et nous avons ainsi converti tous ces angles de degrés à radians.

Dans la question suivante, nous allons voir comment convertir un angle en radians en un angle en degrés.

Convertissez 𝜋 sur trois radians en degrés.

Nous rappelons que tout comme les degrés, les radians sont une unité de mesure d’angle. Un radian est la mesure de l’angle formé au centre d’un cercle par un arc dont la longueur est égale au rayon du cercle. Pour convertir des radians en degrés, nous devons alors nous rappeler d’une égalité de conversion clé. On se souviendra peut-être que deux 𝜋 radians égale 360 degrés ou que 𝜋 radians égale 180 degrés. Chacune de ces égalité nous permet de convertir la valeur de 𝜋 sur trois radians.

Utilisons donc l’égalité 𝜋 radians égale 180 degrés. Nous nous demandons ensuite comment passer de 𝜋 à 𝜋 sur trois. Eh bien, nous devons simplement diviser par trois. Nous prenons donc la valeur de 180 degrés et nous la divisons par trois, ce qui nous donne 60 degrés. Et il s’agit de notre réponse en degrés pour 𝜋 sur trois radians.

Nous allons maintenant étudier un problème où nous devons effectuer des conversions entre radians et degrés.

Déterminez la mesure de deux angles en degrés sachant que leur somme est égale à 74 degrés et que leur différence est égale à 𝜋 sur six radians. Donnez votre réponse au degré près.

La question nous demande de calculer deux angles. Et nous savons que leur somme est de 74 degrés et que leur différence est de 𝜋 sur six radians. Pour répondre à une question comme celle-ci, nous allons faire appel à différentes compétences mathématiques. Nous devrons utiliser un peu d’algèbre pour résoudre ce problème. Et nous devrons également savoir comment effectuer des conversions entre des angles en degrés et des angles en radians.

Commençons par appeler nos deux angles 𝑥 et 𝑦. Comme nous savons que leur somme est égale à 74 degrés, nous pouvons écrire 𝑥 plus 𝑦 égale 74 degrés. Nous savons ensuite que leur différence est de 𝜋 sur six radians. Rappelez-vous que la différence est une soustraction, nous pouvons donc écrire 𝑥 moins 𝑦 égale 𝜋 sur six radians.

Maintenant que nous avons deux équations à deux inconnues, nous pourrions les résoudre. Le problème est cependant qu’une de ces équations est en degrés et l’autre est en radians. Nous pouvons soit calculer ces deux angles en degrés soit les deux en radians. Mais en relisant la question, nous voyons que devons donner notre réponse finale en degrés, il est donc plus logique de les calculer tous les deux en degrés.

Prenons donc cet angle de 𝜋 sur six radians et convertissons-le en degrés. Pour cela, nous rappelons une égalité de conversion importante entre radians et degrés. 𝜋 radians égale 180 degrés. Certaines personnes préfèrent se rappeler que deux π radians égale 360 degrés. Mais chacune nous permettra de manière équivalente de convertir ces angles. Si on prend donc 𝜋 radians égale 180 degrés, comme la valeur 𝜋 sur six est six fois plus petite que π, l’angle en degrés doit également être six fois plus petit que 180 degrés, il est donc égal à 30 degrés.

Maintenant que nous savons que 𝜋 sur six radians est égal à 30 degrés, nous pouvons réécrire 𝑥 moins 𝑦 égale 30 degrés. Nous pouvons alors résoudre ce système d’équations par substitution ou par élimination. Si nous choisissons l’élimination et que nous souhaitons éliminer la variable 𝑦, nous pouvons alors additionner la première et la deuxième équation. Additionner les deux valeurs de 𝑥 donne deux 𝑥. 𝑦 moins 𝑦 donne zéro. Et 74 degrés plus 30 degrés égale 104 degrés.

On peut alors trouver la valeur de 𝑥 en divisant les deux membres de cette équation par deux. Donc 𝑥 égale 52 degrés. On prend ensuite cette valeur de 𝑥 et on la substitue dans la première ou la deuxième équation. En utilisant la première équation avec 𝑥 égale 52 degrés, on a 52 degrés plus 𝑦 égale 74 degrés. Soustraire 52 degrés aux deux membres nous donne 𝑦 égale 22 degrés. Nous pouvons donc conclure que les deux angles doivent être de 52 et 22 degrés. Et comme ce sont déjà des réponses entières, nous n’avons pas besoin de les arrondir au degrés près.

Il est bien sûr toujours utile de vérifier que notre réponse est correcte. Nous avons utilisé l’équation 𝑥 plus 𝑦 égale 74 degrés pour la trouver, vérifions donc que si nous soustrayons nos angles, nous obtenons bien 30 degrés. Et 52 degrés moins 22 degrés est bien égal à 30 degrés, ce qui confirme que les deux angles mesurent 52 et 22 degrés.

Dans le dernier exemple, nous allons résoudre un problème impliquant des angles en radians et en degrés dans un triangle.

Deux angles d’un triangle mesurent respectivement 55 degrés et sept 𝜋 sur 18 radians. Calculez la mesure du troisième angle en donnant votre réponse en radians en fonction de 𝜋.

Cette question porte sur un triangle. Nous savons qu’un des angles mesure 55 degrés. Et l’autre, sept 𝜋 sur 18 radians. Nous devons déterminer la mesure du troisième angle de ce triangle. Et nous devons donner la réponse en radians.

Le premier problème que nous remarquons ici est que l’un des angles est exprimé en degrés et l’autre en radians. Nous pourrions être un peu perdus et penser que les radians sont uniquement reliés aux cercles. Mais rappelez-vous que les radians sont comme des degrés; ce ne sont que des unités de mesure d’angle. Nous souhaitons alors simplement nous assurer que tous les angles sont exprimés dans la même unité de mesure. Nous pourrions tous les convertir en degrés ou tous les convertir en radians. Mais nous remarquons que la question demande un angle en radians, il est donc plus judicieux de convertir la mesure en degrés en une mesure en radians.

Pour convertir des degrés en radians, nous pouvons rappeler deux égalités de conversion courantes, 180 degrés égale 𝜋 radians ou 360 degrés égale deux 𝜋 radians. Une seule d’entre elle est suffisante pour convertir n’importe quelle mesure en degrés en une mesure en radians. On prend alors 180 degrés égale 𝜋 radians et on l’utilise pour convertir 55 degrés en une mesure en radians. Si on effectue une étape intermédiaire permettant de trouver l’équivalent de un degré, on remarque que pour passer de 180 à un, on doit diviser par 180.

Cela signifie que l’on doit faire la même chose sur l’autre membre avec la valeur en radians. Et 𝜋 divisé par 180 peut s’écrire 𝜋 sur 180 radians. Pour passer de un degré à 55 degrés, il faut maintenant multiplier par 55. On peut alors simplifier cette valeur sur le membre droit. Nous pouvons donc dire que 55 degrés est égal à 11𝜋 sur 36 radians. Nous pouvons remarquer qu’il existe bien sûr d’autres façons de résoudre ce problème. Au lieu de déterminer l’équivalent de un degré, nous aurions pu convertir cinq degrés en radians. Pour passer de 180 degrés à cinq degrés, on doit diviser par 36. Et pour passer de cinq degrés à 55 degrés, il faut multiplier les deux membres par 11. Les deux méthodes nous permettent de calculer la valeur de 11𝜋 sur 36 radians.

Maintenant que nous avons calculé que cet angle de 55 degrés est équivalent à 11𝜋 sur 36 radians, essayons de déterminer le troisième angle du triangle. Nous rappelons que la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Si nous appelons cet angle inconnu 𝑥, nous pourrions commencer à écrire que la somme des trois angles doit être égale à - Oh non! Elle ne peut pas être égale 180 degrés; sa valeur doit être en radians. Mais nous savons déjà que 180 degrés égale 𝜋 radians. Par conséquent, la somme de ces trois angles doit être égale à 𝜋.

Nous devons maintenant effectuer quelques opérations sur les fractions. Et nous rappelons que pour additionner des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur. Pour écrire la deuxième fraction avec le dénominateur 36, on doit multiplier le numérateur et le dénominateur par deux. La deuxième fraction est donc égale à 14𝜋 sur 36. Et pour additionner des fractions avec le même dénominateur, on additionne leurs numérateurs. On a donc 25𝜋 sur 36 plus 𝑥 égale 𝜋. Pour trouver 𝑥, on soustrait 25𝜋 sur 36 aux deux membres de cette équation. Il peut maintenant être utile de factoriser par 𝜋. On a donc 𝑥 égale 𝜋 fois un moins 25 sur 36.

Et comme un égale 36 sur 36, nous obtenons 𝑥 égale 11𝜋 sur 36 radians. Il s’agit de notre réponse pour le troisième angle de ce triangle. Et il est exprimé en radians et en fonction de 𝜋.

Résumons maintenant ce que nous avons appris dans cette vidéo. Nous avons tout d’abord vu que les radians et les degrés sont deux unités de mesure d’angles. Nous avons ensuite défini qu’un radian est la mesure de l’angle formé au centre d’un cercle par un arc dont la longueur est égale au rayon du cercle. Enfin, nous pouvons effectuer des conversions entre degrés et radians en nous souvenant de l’une des égalités suivantes: deux 𝜋 radians égale 360 degrés, 𝜋 radians égale 180 degrés ou 𝜋 sur deux radians égale 90 degrés. Chacune de ces trois égalités nous permet de convertir des degrés en radians et inversement.

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