Transcription de la vidéo
Déterminez algébriquement l’ensemble solution de l’équation quatre 𝑥 multiplié par la valeur absolue de 𝑥 moins quatre 𝑥 est égal à zéro.
Dans ce genre de problème, nous avons deux cas à considérer. Ceci tient du fait que nous avons la valeur absolue de 𝑥. Ceci signifie que nous ne prendrons que les valeurs positives de ce 𝑥. Tout d’abord, si nous considérons que 𝑥 est supérieur ou égal à zéro, alors il sera positif et nous n’aurons pas à nous soucier de changer ou de faire quoi que ce soit à notre 𝑥. Cependant, si nous avons que 𝑥 est inférieur à zéro, alors ce que nous allons devoir faire est de prendre son opposé de sorte à avoir une valeur positive. Ainsi, nous allons commencer par le cas à gauche.
Ici, nous examinons les valeurs où 𝑥 est supérieur ou égal à zéro et ainsi sa valeur absolue sera égale à 𝑥. Ainsi, nous avons que quatre 𝑥 multiplié par 𝑥 moins quatre 𝑥 est égal à zéro. Si nous effectuons donc la multiplication, nous allons alors obtenir que quatre 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 est égal à zéro. Ensuite, nous pouvons diviser par quatre les deux membres pour obtenir que 𝑥 au carré moins 𝑥 est égal à zéro. Maintenant, si nous factorisons ceci, nous obtenons que 𝑥 multiplié par 𝑥 moins un est égal à zéro. Nous pouvons donc dire que les solutions de cette équation sont telles que 𝑥 est égal à zéro ou à un. Ceci parce que si nous avions que 𝑥 est égal à zéro, alors zéro multiplié par quoi que ce soit est égal à zéro. Si 𝑥 était égal à un, nous aurions entre parenthèses un moins un, ce qui serait égal à zéro, ce qui nous donnerait encore une fois un résultat de zéro.
Très bien. Maintenant, considérons le cas à droite. Comme nous l’avons déjà dit, si 𝑥 est inférieur à zéro et que nous voulons que le résultat soit positif, alors nous devrons prendre son opposé. Ainsi, nous allons avoir que quatre 𝑥 multiplié par moins 𝑥 moins quatre 𝑥 est égal à zéro. Ceci va donc nous donner que moins quatre 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 est égal à zéro. Ainsi, si nous divisons par moins quatre les deux membres, nous obtiendrons que 𝑥 au carré plus 𝑥 est égal à zéro. Nous pouvons donc factoriser ceci pour obtenir les solutions. Nous allons donc obtenir que 𝑥 multiplié par 𝑥 plus un est égal à zéro.
Par conséquent, 𝑥 va être égal à zéro ou égal à moins un. Nous obtenons ces résultats car si 𝑥 est égal à zéro, alors zéro multiplié par quoi que ce soit est égal à zéro. Si 𝑥 était égal à moins un, alors moins un plus un est égal à zéro qui encore une fois multiplié par quoi que ce soit est égal à zéro. Ainsi, si nous rassemblons tout ceci, nous avons que l’ensemble solution de l’équation quatre 𝑥 multiplié par le module ou la valeur absolue de 𝑥 moins quatre 𝑥 est égal à zéro est l’ensemble moins un, zéro et un.