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Vidéo de la leçon : Vecteur vitesse Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à faire la distinction entre le vecteur vitesse et la vitesse et à résoudre des problèmes impliquant le vecteur vitesse moyenne et la vitesse moyenne.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à faire la distinction entre le vecteur vitesse et la vitesse et à résoudre des problèmes impliquant le vecteur vitesse moyenne et la vitesse moyenne.

La vitesse est une mesure de la rapidité à laquelle un objet se déplace. Par exemple, si nous conduisons une voiture, le compteur de vitesse nous indique à quelle rapidité la voiture se déplace à tout instant. C’est le taux auquel la voiture couvre une certaine distance. La vitesse est une quantité scalaire. Et elle est mesurée comme une distance par unité de temps, par exemple des kilomètres par heure. Cependant, comme il s’agit d’une quantité scalaire, la vitesse ne nous indique pas la direction et le sens dans lesquels l’objet se déplace. Si nous souhaitons intégrer la direction et le sens, alors nous devons utiliser le vecteur vitesse car le vecteur vitesse est une quantité vectorielle qui indique à la fois la vitesse, la direction et le sens du déplacement.

Par exemple, si une voiture roule à 80 kilomètres par heure, sa vitesse est de 80 kilomètres par heure. Cependant, si nous disons que la voiture se déplace vers le nord-est à 80 kilomètres par heure, nous parlons de son vecteur vitesse car nous indiquons la vitesse et le sens du mouvement de la voiture.

Considérons un objet se déplaçant entre deux points, par exemple, ce poisson. Le poisson pourrait prendre une infinité de chemins de longueurs différentes pour relier ces deux points. La longueur d’un chemin entre deux points est la distance que l’objet parcourt entre les points. Pour cet exemple, c’est la distance que le poisson parcourt. Cependant, pour le vecteur vitesse d’un objet, nous devons calculer son déplacement. Le déplacement mesure à quelle distance en ligne droite et dans quel sens le deuxième point est situé par rapport au premier.

Prenons un autre exemple, cette fois-ci d’un oiseau en train de voler. Supposons qu’il vole 30 kilomètres vers l’est puis 40 kilomètres vers le nord. Pour calculer la distance totale parcourue par l’oiseau, nous devons additionner les distances de chacune des deux étapes. 𝐴 à 𝐵 représente 30 kilomètres et 𝐵 à 𝐶 représente 40 kilomètres, ce qui nous donne une distance de 70 kilomètres. Si nous souhaitons plutôt déterminer le déplacement, il s’agit alors du vecteur de 𝐴 à 𝐶.

On peut calculer la longueur de ce segment en reconnaissant que 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle. Et appliquer ainsi le théorème de Pythagore. La norme du déplacement est alors de 50 kilomètres. Afin de déterminer sa direction et son sens, nous pouvons utiliser cet angle 𝐵𝐴𝐶, que nous appelons 𝜃. Et on remarque alors que la tangente de cet angle 𝜃 est égale à 40 sur 30. Donc 𝜃 doit être égal à 53,130 degrés. Nous pouvons ensuite le convertir en degrés, minutes et secondes et nous obtenons que le déplacement de l’oiseau est de 50 kilomètres, 53 degrés, sept minutes et 48 secondes dans la direction nord-est. Remarquez que ce déplacement a à la fois une norme, une direction et un sens.

Nous pouvons alors effectuer quelques remarques sur la vitesse et le vecteur vitesse. La vitesse, qui est une quantité scalaire, est le taux auquel un objet couvre une distance. Elle est égale à la distance divisée par la durée. Le vecteur vitesse, cependant, est une quantité vectorielle. Il correspond à la norme, la direction et le sens de la variation de la position d’un objet. Il est ainsi égal au déplacement divisé par la durée. Nous devons cependant souvent calculer la vitesse moyenne. Et elle est égale à la distance totale parcourue sur la durée totale.

Le vecteur vitesse moyenne est quant à lui égal au déplacement net divisé par la durée totale. Le déplacement net est le déplacement mesuré directement de la position de départ de l’objet à sa position d’arrivée. Comme le déplacement est une quantité vectorielle, le vecteur vitesse moyenne est également une quantité vectorielle. Et il peut être positif ou négatif. Cependant, sa norme, qui est un scalaire, est mesurée comme une distance par unité de temps. Et elle est toujours positive. Nous allons maintenant voir comment nous pouvons appliquer ces formules dans les exemples suivants.

Un objet se déplace vers le nord à 12 mètres par seconde pendant 10 secondes, puis s’arrête et reste immobile pendant 10 secondes avant de se déplacer à nouveau vers le nord à 12 mètres par seconde pendant 10 secondes supplémentaires. Quel est le vecteur vitesse moyenne vers le nord de l’objet ?

Étudions les trois étapes du mouvement de cet objet. Pendant la première étape, l’objet se déplace vers le nord à 12 mètres par seconde pendant 10 secondes. L’objet s’arrête ensuite et reste immobile pendant 10 secondes. Enfin, il se déplace à nouveau vers le nord à 12 mètres par seconde pendant 10 secondes supplémentaires. Nous devons alors calculer son vecteur vitesse moyenne vers le nord. On peut rappeler que le vecteur vitesse moyenne est égal au déplacement net divisé par la durée totale.

Comme il n’y a aucun changement de sens, la norme de ce déplacement net est égale à la distance totale parcourue. On peut donc calculer la distance parcourue pendant chaque étape. On rappelle que la distance est égale à la vitesse multipliée par la durée. Donc, pendant la première étape, la vitesse est 12 et la durée est 10 secondes. En les multipliant, on obtient une distance de 120 mètres. Pendant la deuxième étape, l’objet est au repos, sa vitesse est égale à zéro et la durée est de 10 secondes. La distance parcourue est donc de zéro mètre. Enfin, la distance de la troisième étape est la même que celle de la première étape. Elle est égale à 12 fois 10, ce qui fait 120 mètres.

En additionnant ces trois valeurs, on obtient une distance totale de 240 mètres. Pour appliquer la formule du vecteur vitesse moyenne, nous devons calculer la durée totale. Les trois étapes durent 10 secondes, 10 secondes et 10 secondes, ce qui donne une durée totale de 30 secondes. Nous pouvons ensuite substituer ces valeurs dans la formule, en nous souvenant que nous pouvons utiliser la distance dans ce cas car il n’y a pas de changement de sens. La norme de ce déplacement est donc égale à la distance parcourue. 240 sur 30 égale huit. Et les unités sont ici des mètres par seconde. Nous pouvons ainsi conclure que le vecteur vitesse moyenne vers le nord-est est de huit mètres par seconde.

Nous aurions également pu aborder ce problème en utilisant un graphique du déplacement en fonction du temps. Pendant la première étape, lorsque l’objet s’est déplacé pendant 10 secondes, nous avons calculé que le déplacement était de 120 mètres. Il est ensuite resté immobile pendant 10 secondes. Et enfin, il s’est déplacé à nouveau à 12 mètres par seconde pendant 10 secondes. Les première et troisième sections représentent un mouvement dans le sens positif. Donc la courbe a une pente positive. Pendant la section du milieu, l’objet était au repos. La pente est donc nulle. Pour calculer le vecteur vitesse d’une étape, on peut calculer la pente de cette section. Et pour calculer le vecteur vitesse moyenne, on peut créer un segment entre le point de départ et le point d’arrivée.

On rappelle que pour deux points de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, la pente du segment entre ces points est définie par 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un. Donc, pour les deux points de coordonnées 30, 240 et zéro, zéro, la pente est égale à 240 moins zéro sur 30 moins zéro. Et cela se simplifie par 240 sur 30, soit huit mètres par seconde. Nous avons ainsi confirmé notre réponse en utilisant un graphique du déplacement en fonction du temps.

Étudions un autre exemple.

Un homme est en retard à un rendez-vous dans un bureau situé à l’autre bout d’une longue route droite menant à sa maison. Il quitte sa maison et court vers sa destination pendant 45 secondes avant de se rendre compte qu’il doit rentrer chez lui pour récupérer des documents dont il a besoin pour son rendez-vous. Il rentre chez lui à la même vitesse et passe 185 secondes à la recherche des documents, puis il court à nouveau vers son rendez-vous. Cette fois, il court à 5,5 mètres par seconde pendant 260 secondes puis arrive au bureau.

On nous pose ensuite trois questions. Commençons donc par la première. Combien de temps s’écoule entre le moment où l’homme quitte sa maison pour la première fois et le moment où il arrive à son rendez-vous ?

Il pourrait être utile de commencer par visualiser ce qui se passe à chaque étape du trajet de cette personne. Son trajet commence par une course de 45 secondes vers le bureau. L’homme réalise alors qu’il a oublié quelque chose dont il a besoin, donc il rentre chez lui à la même vitesse que précédemment. Cela signifie que la durée de cette étape est également de 45 secondes. Il passe ensuite 185 secondes à chercher ces documents, mais ne se déplace nulle part. Et enfin, il court vers le bureau à 5,5 mètres par seconde pendant 260 secondes.

Nous devons alors calculer le temps qui s’est écoulé entre son premier départ et son arrivée au rendez-vous. Nous devons donc simplement additionner les quatre durées : 45 secondes plus 45 secondes plus 185 secondes plus 260 secondes. Nous obtenons alors 535 secondes. Et il s’agit de la réponse à la première question.

La question suivante nous demande quelle est la distance entre la maison et le bureau.

Afin de calculer la distance, nous pouvons utiliser les informations de la dernière étape de son trajet, dont nous connaissons la vitesse et la durée. On rappelle que la distance est égale à la vitesse multipliée par la durée. On peut alors substituer les valeurs. La vitesse est de 5,5 et la durée est de 260. Il est toujours utile de s’assurer que les valeurs sont exprimées dans les mêmes unités. Dans les deux cas, l’unité de temps est la seconde, on peut donc simplement multiplier ces valeurs. Et on obtient une valeur de 1 430. L’unité de cette valeur est le mètre. Et il s’agit de la réponse à la deuxième question.

La troisième question demande quel est le vecteur vitesse moyenne de l’homme entre son premier départ et son arrivée à son bureau. Donnez votre réponse au centième près.

On rappelle que le vecteur vitesse moyenne est égal au déplacement net sur la durée totale. Dans ce problème, le déplacement net est simplement la distance directe entre le domicile de l’homme et le bureau. Nous avons déjà calculé cette distance dans la deuxième partie de la question. Elle est de 1 430 mètres. Et la durée de tout le trajet est de 535 secondes. Cela nous donne alors 2,672 et ainsi de suite. Et en arrondissant cette valeur au centième près, nous obtenons une réponse de 2,67 mètres par seconde. Donc, si le sens positif est de la maison vers le bureau, alors le vecteur vitesse moyenne de la personne est égal à 2,67 mètres par seconde.

Il est intéressant de remarquer que si nous devions en fait calculer la vitesse moyenne, nous aurions dû déterminer les distances des deux premières parties et de la dernière partie du trajet. Dans ce cas, la vitesse moyenne aurait été égale à la distance totale divisée par la durée totale. Cependant, comme le vecteur vitesse moyenne utilise le déplacement, nous avons obtenu la valeur de 2,67 mètres par seconde.

Dans la dernière question, nous allons voir un exemple où nous devons déterminer le vecteur vitesse moyenne pour un cas où le mouvement change de direction.

Un homme a marché six kilomètres vers l’est pendant 1,2 heure. Il a ensuite marché huit kilomètres vers le nord pendant deux heures. Calculez la norme du vecteur vitesse moyenne de l’homme.

Commençons par réfléchir au trajet de cet homme. Nous devons pour cela connaître les directions d’une boussole. Dans la première partie du trajet, il marche six kilomètres vers l’est. Et il fait cela pendant 1,2 heure. Il marche ensuite huit kilomètres vers le nord pendant deux heures. Afin de calculer le vecteur vitesse moyenne, nous pouvons rappeler qu’il est égal au déplacement net sur la durée totale. Dans ce cas, la durée totale est relativement simple à calculer : elle est simplement égale à 1,2 plus deux, soit 3,2 heures. Nous devons cependant déterminer le déplacement net.

Eh bien, le déplacement net est le déplacement entre les positions de départ et d’arrivée. Nous savons que l’homme a parcouru six kilomètres vers l’est et huit kilomètres vers le nord. Pour calculer ce déplacement, nous observons que nous avons ici un triangle rectangle. Et nous pouvons donc appliquer le théorème de Pythagore. Par conséquent, le déplacement net est égal à racine carrée de six au carré plus huit au carré, soit racine carrée de 100. Ce qui fait 10 kilomètres. Et vous avez peut-être déjà remarqué qu’il s’agit en fait du triplet pythagoricien six-huit-10.

Il convient de noter que le déplacement étant une quantité vectorielle, nous devons généralement spécifier une direction et un sens de déplacement. Nous pourrions le faire en calculant l’angle entre l’est et la direction du déplacement. Ou nous pourrions même indiquer que le déplacement est dans la direction approximative nord-est. Cependant, comme on nous demande seulement la norme du vecteur vitesse moyenne, nous n’avons pas besoin de le faire ici. Nous pouvons donc simplement substituer la norme du déplacement net dans la formule pour calculer le vecteur vitesse moyenne. 10 divisé par 3,2 nous donne 3,125, que nous pouvons arrondir au dixième par 3,1.

Les unités sont ici des kilomètres par heure car le déplacement est en kilomètres et la durée est en heures. Et nous concluons ainsi que la norme du vecteur vitesse moyenne est de 3,1 kilomètres par heure.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. La vitesse est une quantité scalaire et représente le taux auquel un objet couvre une distance, où la distance est la longueur d’un chemin entre deux points. La vitesse est égale à la distance divisée par la durée. La vitesse est mesurée en distance par unité de temps. Le vecteur vitesse est une quantité vectorielle et spécifie à la fois la norme, la direction et le sens de la variation de position d’un objet. Le vecteur vitesse est égal au déplacement divisé par la durée. Le vecteur vitesse est exprimé en distance par unité de temps et a une direction et un sens.

Nous avons également vu les formules de la vitesse et du vecteur vitesse moyenne. La vitesse moyenne est égale à la distance totale divisée par la durée totale. Et le vecteur vitesse moyenne est égal au déplacement net divisé par la durée totale. Enfin, nous avons appris que sur un graphique du déplacement en fonction du temps, le vecteur vitesse moyenne du mouvement d’un objet est la pente de la droite entre les positions de départ et d’arrivée de l’objet.

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