Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser le théorème de Pythagore pour résoudre des problèmes en trois dimensions. Nous devrions déjà être familier avec le théorème de Pythagore en deux dimensions, qui décrit la relation entre les longueurs des trois côtés d’un triangle rectangle. Commençons donc par récapituler ce théorème.
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés les plus courts. Donc si nous prenons ce triangle rectangle en dessous et étiquetons l’hypoténuse, c’est le côté le plus long, avec la lettre 𝑐 et les deux côtés les plus courts avec les lettres 𝑎 et 𝑏, alors par le théorème de Pythagore, nous pouvons dire que 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à 𝑐 au carré. Et comme nous le verrons dans cette vidéo, il est possible d’appliquer ce théorème de Pythagore en deux dimensions à des formes ou figures en trois dimensions.
Et nous le faisons en trouvant des coupes bidimensionnelles ou des coupes transversales d’une figure tridimensionnelle. Par exemple, nous pourrions utiliser ce triangle rectangle pour trouver la longueur de l’une des diagonales extérieures. Cependant, nous devons être un peu prudents. Par exemple, si nous voulions trouver la longueur de cette diagonale intérieure, nous devions d’abord trouver la longueur de cette diagonale extérieure afin d’appliquer le théorème de Pythagore en deux dimensions.
Dans cette vidéo, nous verrons comment appliquer ce théorème de Pythagore en deux dimensions à différentes formes tridimensionnelles, y compris des cônes et des pyramides. Mais commençons par un exemple où nous appliquons le théorème de Pythagore dans un cube.
Étant donné que 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 est un cube dont la longueur d’arête est de six radical de deux centimètres et 𝑋 est le milieu du segment 𝐴𝐵, trouvez l’aire du rectangle 𝐷𝑋𝑌𝐸.
On nous dit que cette forme tridimensionnelle est un cube avec une longueur d’arête de six radical deux centimètres. Et cela signifie que la longueur, la largeur, et la hauteur sont toutes de longueur six radical deux centimètres. Nous observons que nous avons ce segment supplémentaire 𝑋𝑌, où on nous donne que 𝑋 est le milieu du segment 𝐴𝐵. Le segment 𝑋𝑌 forme l’un des côtés du rectangle 𝐷𝑋𝑌𝐸, dont nous devons calculer l’aire.
On peut rappeler que l’aire d’un rectangle est égale à la longueur multipliée par la largeur. Par conséquent, pour trouver l’aire de 𝐷𝑋𝑌𝐸, nous pouvons calculer 𝐷𝑋 multiplié par 𝑋𝑌. Maintenant, la longueur de 𝑋𝑌 est relativement facile à calculer. Parce que nous savons que la hauteur du cube est de six radical deux centimètres, donc la longueur de 𝑋𝑌 est également de six radical deux centimètres. Cependant, la longueur de 𝐷𝑋 nécessitera quelques calculs supplémentaires.
Prenons un dessin en deux dimensions de la base du cube, qui formera un carré. Nous pouvons également ajouter le segment 𝑋𝐷. Étant donné que 𝑋 est le milieu du segment 𝐴𝐵, le segment 𝐴𝑋 a une longueur de la moitié de six radical deux centimètres, soit trois racine de deux centimètres. Nous pouvons maintenant utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle 𝐷𝐴𝑋 pour calculer la longueur du segment 𝐷𝑋.
Rappelons que le théorème de Pythagore stipule que dans chaque triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés les plus courts. En appliquant ceci au triangle 𝐷𝐴𝑋, nous notons que 𝐷𝑋 est l’hypoténuse. Nous avons donc 𝐴𝑋 au carré plus 𝐴𝐷 au carré est égal à 𝐷𝑋 au carré. Remplacer les valeurs des longueurs nous donne trois radical deux au carré plus six radical deux au carré est égal à 𝐷𝑋 au carré. En simplifiant, on obtient 90 égal à 𝐷𝑋 au carré. On peut alors trouver la longueur de 𝐷𝑋 en prenant la racine carrée des deux membres. Comme radical 90 peut être écrite comme radical neuf fois radical10, nous avons que 𝐷𝑋 est égal à trois radical10 centimètres.
Nous avons maintenant suffisamment d’informations pour revenir au calcul de l’aire. L’aire de 𝐷𝑋𝑌𝐸, qui est 𝐷𝑋 multipliée par 𝑋𝑌, peut être donnée comme trois radical 10 multipliée par six radical deux. Cela équivaut à 18 radical 20. Nous pouvons simplifier davantage en considérant que la racine de 20 est égale à radical quatre fois cinq. Et donc l’aire de 𝐷𝑋𝑌𝐸 est 36 racine cinq. Et comme il s’agit d’une aire, les unités seront des unités carrées. On peut donc répondre que l’aire du rectangle 𝐷𝑋𝑌𝐸 est de 36 radical cinq centimètres carrés.
Dans l’exemple suivant, nous verrons comment appliquer le théorème de Pythagore dans une pyramide. Mais d’abord, récapitulons certains des termes clés que nous utilisons pour décrire les longueurs dans une pyramide.
La tête d’une pyramide s’appelle le sommet de la pyramide. La hauteur perpendiculaire d’une pyramide est la distance perpendiculaire entre le sommet de la pyramide et sa base, et elle est perpendiculaire à toute droite qu’elle coupe sur la base de la pyramide. Ensuite, l’apothème d’une pyramide est la distance perpendiculaire de l’un des côtés de la base au sommet de la pyramide. Et enfin, une arête latérale représente la longueur de l’un des côtés du triangle constituant les faces de la pyramide. Nous devons faire attention à ne pas confondre l’apothème et l’arête latérale.
Dans l’exemple suivant, nous verrons comment appliquer le théorème de Pythagore pour trouver la hauteur d’une pyramide.
𝑀𝐴𝐵𝐶 est une pyramide régulière dont la base 𝐴𝐵𝐶 est un triangle équilatéral dont la longueur des côtés est de 32 centimètres. Si la longueur de son arête latérale est de 88 centimètres, déterminez la hauteur de la pyramide au centième près.
Commençons ce problème en esquissant la pyramide. L’information importante à montrer sur la figure est que 𝑀 est le sommet de la pyramide. La base est 𝐴𝐵𝐶. Et nous savons que c’est un triangle équilatéral. Parce qu’il est équilatéral, nous savons que toutes les longueurs des côtés du triangle à la base seront de 32 centimètres. Comme il s’agit d’une pyramide régulière, toutes les longueurs des arêtes latérales seront de 88 centimètres.
Nous devons calculer la hauteur de la pyramide, qui est la distance verticale du sommet 𝑀 au centre de la base de la pyramide, que nous pouvons étiqueter avec la lettre 𝑋. Nous pouvons connecter ce point central à l’un des sommets du triangle à la base. Notez que puisque nous avons un triangle rectangle dans 𝑀𝐴𝑋, nous pourrions alors calculer la hauteur 𝑀𝑋 si nous connaissions la longueur de ce segment 𝐴𝑋. Alors considérons un dessin en deux dimensions du triangle 𝐴𝐵𝐶 à la base de la pyramide et voyons comment nous pouvons calculer la longueur de 𝐴𝑋.
Le point 𝑋 est le centre de gravité du triangle, qui est le point d’intersection des trois médianes du triangle. Nous aurons besoin de deux propriétés importantes pour résoudre ce problème. La première est que dans un triangle équilatéral, les trois médianes sont de longueur égale. La deuxième propriété est que le centre de gravité d’un triangle divise chaque médiane dans le rapport deux à un à partir du sommet. A partir de ces propriétés, on peut donc dire que 𝐴𝑋 est égal à 𝐵𝑋 est égal à 𝐶𝑋. Et si nous étiquetons le milieu de 𝐵𝐶 avec la lettre 𝑌, alors à partir de la deuxième propriété, nous pouvons dire que 𝐴𝑋 est égal aux deux tiers de 𝐴𝑌.
Nous pouvons maintenant regarder de plus près le triangle 𝐴𝐵𝑌. Cela aura en fait un angle droit en 𝑌 puisque la médiane 𝐴𝑌 divise le triangle équilatéral 𝐴𝐵𝐶 en deux triangles rectangles égaux. 𝐵𝑌 est la moitié de la longueur de 𝐵𝐶, donc 16 centimètres. Comme nous connaissons deux des longueurs de ce triangle rectangle, nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de 𝐴𝑌. Comme 𝐴𝐵 est l’hypoténuse, nous aurons que 𝐴𝑌 au carré plus 𝐵𝑌 au carré est égal à 𝐴𝐵 au carré.
En remplaçant la longueur de 𝐵𝑌, qui est de 16 centimètres, et celle de 𝐴𝐵, qui est de 32 centimètres, nous avons 𝐴𝑌 au carré plus 16 au carré égale 32 au carré. En réarrangeant et en simplifiant, nous avons que 𝐴𝑌 au carré est égal à 768. Pour trouver la valeur de 𝐴𝑌, nous prenons la racine carrée des deux membres, nous laissant avec 16 racine de trois centimètres. Nous avons donc calculé que la longueur de la médiane entière 𝐴𝑌 est de 16 radical trois centimètres. Mais bien sûr, nous sommes vraiment intéressés par la longueur du segment 𝐴𝑋.
Rappelez-vous, cependant, que nous avons déjà noté que 𝐴𝑋 est égal aux deux tiers de 𝐴𝑌. Donc 𝐴𝑋 est égal à deux tiers multiplié par 16 radical trois. C’est 32 radical trois sur trois centimètres. Mais maintenant lorsque nous revenons à la pyramide, nous pouvons voir que nous avons deux côtés dans le triangle 𝑀𝐴𝑋, et nous pouvons calculer le troisième côté 𝑀𝑋 en utilisant le théorème de Pythagore.
Nous pouvons écrire que 𝐴𝑋 au carré plus 𝑀𝑋 au carré est égal à 𝐴𝑀 au carré. En remplaçant les longueurs, nous avons 32 racine trois sur trois au carré plus 𝑀𝑋 au carré égale 88 au carré. En réorganisant et en utilisant nos calculatrices, nous pouvons déterminer que 𝑀𝑋 au carré est égal à 22208 sur trois. On peut alors trouver la valeur de 𝑀𝑋 en prenant la racine carrée. Et comme nous avons besoin de la réponse au centième près, nous pouvons la convertir en nombre décimal. Comme 𝑀𝑋 est la hauteur de la pyramide, la réponse est que la hauteur de la pyramide au centième près est de 86,04 centimètres.
Dans l’exemple suivant, nous verrons comment appliquer le théorème de Pythagore dans un cône.
Un cône de révolution a une hauteur de 90 centimètres et un apothème de 106 centimètres. Trouvez la circonférence et l’aire de la base en fonction de 𝜋.
Nous pouvons commencer par représenter ce cône de révolution, qui a une hauteur de 90 centimètres et un apothème de 106 centimètres. Comme il s’agit d’un cône de révolution, la hauteur est la distance perpendiculaire entre le sommet du cône et le centre de la base. L’apothème est la distance entre tout point de la circonférence de la base circulaire et le sommet de la surface du cône.
Notez que si nous dessinons le rayon du cercle au centre de ce cône, alors le rayon, la hauteur et l’apothème forment tous un triangle rectangle. Comme nous devons trouver la circonférence et l’aire de cette base circulaire, il est très important de connaître le rayon. La circonférence est égale à deux fois 𝜋 fois le rayon, et l’aire d’un cercle est égale à 𝜋𝑟 au carré.
Rappelons que le théorème de Pythagore nous dit que dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés les plus courts. En considérant ce triangle rectangle bidimensionnel créé à l’intérieur du cône, on peut dire que 𝑟 au carré plus 90 au carré est égal à 106 au carré, où 𝑟 est le rayon du cercle. En réarrangeant et en résolvant, en prenant la racine carrée des deux membres, nous avons que 𝑟 est égal à 56 centimètres. Le rayon du cercle à la base de ce cône est de 56 centimètres.
On peut donc déterminer que la circonférence est égale à deux fois 𝜋 fois 56, soit 112𝜋 centimètres. L’aire, qui est égale à 𝜋 fois le rayon au carré, est donc égale à 𝜋 fois 56 au carré. Cela se simplifie à 3136𝜋. Et rappelez-vous, comme il s’agit d’une aire, nous aurons alors les unités de centimètres carrés. On peut donc donner les deux réponses alors que la base de ce cône, qui est un cercle, a une circonférence de 112𝜋 centimètres et une aire de 3136𝜋 centimètres carrés.
Nous allons maintenant voir comment le théorème de Pythagore en deux dimensions peut être étendu en trois dimensions.
Disons que nous avons ce pavé droit 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 et que nous voulons trouver la longueur de la diagonale 𝑑, qui est le segment 𝐴𝐺. Si les dimensions de ce pavé droit sont données comme 𝑎, 𝑏 et 𝑐, alors pour trouver la longueur 𝑑, il faudrait d’abord trouver la longueur 𝑒, qui serait créée par le segment 𝐴𝐹. En créant un triangle rectangle et en appliquant le théorème de Pythagore à deux dimensions, nous savons que 𝑒 au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Et si nous considérons le triangle rectangle 𝐴𝐹𝐺, nous pouvons dire que 𝑑 au carré est égal à 𝑒 au carré plus 𝑐 au carré.
Mais puisque nous savons que 𝑒 au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré, nous pouvons alors combiner ces deux équations. 𝑑 au carré doit être égal à 𝑎 carré plus 𝑏 carré plus 𝑐 carré. Nous avons donc prouvé l’extension tridimensionnelle du théorème de Pythagore. Cela indique que dans un pavé droit avec des longueurs latérales 𝑎, 𝑏 et 𝑐 et une diagonale intérieure 𝑑, alors 𝑎 carré plus 𝑏 carré plus 𝑐 carré est égal à 𝑑 carré.
Nous avons maintenant vu comment appliquer le théorème de Pythagore à deux dimensions dans une gamme de formes tridimensionnelles ainsi que l’extension à trois dimensions du théorème de Pythagore. Alors maintenant, résumons les points clés.
Nous avons vu que le théorème de Pythagore bidimensionnel peut être appliqué à des triangles rectangles dans les faces d’un objet tridimensionnel ou à des tranches bidimensionnelles à travers son intérieur. Dans un cône, le rayon de base 𝑟, la hauteur verticale ℎ et l’apothème 𝑙 forment un triangle rectangle. Donc, en appliquant le théorème de Pythagore, nous avons que 𝑟 au carré plus ℎ au carré est égal à 𝑙 au carré. Et enfin, nous avons vu l’extension du théorème de Pythagore à trois dimensions, qui stipule que pour un pavé droit avec des longueurs latérales 𝑎, 𝑏 et 𝑐 et une diagonale de longueur 𝑑, alors 𝑎 carré plus 𝑏 carré plus 𝑐 carré est égal à 𝑑 au carré.