Vidéo : Résoudre des équations logarithmiques impliquant des règles sur les logarithmes et des équations du second degré

Déterminer l’ensemble solution de log₆ (−2𝑥 + 48) = 2 log₆ dans R.

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Transcription de vidéo

Détermine l’ensemble solution de log à base six de moins deux 𝑥 plus 48 égal à deux fois log à base six de 𝑥 dans l’ensemble des nombres réels.

Nous écrivons donc à nouveau cette équation. Le membre de gauche est le logarithme à base six d’une expression. Le membre de droite est presque la même chose, mais il faut aussi tenir compte d’un facteur deux. Heureusement, nous avons une règle sur les logarithmes qui nous permet d’écrire le membre de droite comme un log à base six. C’est que 𝑛 fois le log à base 𝑏 de 𝑎 est égal au log à base 𝑏 de 𝑎 à la puissance 𝑛.

Et tu peux imaginer que cette constante multiplicative 𝑛 se déplace pour devenir l’exposant de 𝑎. Et ainsi dans le membre de droite, la constante multiplicative deux, qui est en dehors du logarithme, entre dans le logarithme en tant qu’exposant de 𝑥. Le membre de gauche reste juste le même. Alors maintenant, des deux côtés, nous avons le logarithme à base six d’une certaine expression. Et ainsi les choses à l’intérieur de ces logarithmes de chaque côté doivent être égales. Moins deux 𝑥 plus 48 doivent être égales à 𝑥 au carré.

Une autre façon de dire cela serait que six à la puissance le membre de gauche doit être égal à six à la puissance le mmebre de droite. De toute façon, nous obtenons cette équation du second degré et espérons pouvoir résoudre ce problème. En soustrayant le nombre moins deux 𝑥 plus 48 des deux côtés, nous obtenons que zéro est égal à 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 48. Nous pouvons échanger les deux côtés pour que les choses soient conventionnelles afin que le zéro soit à droite. Nous pouvons factoriser pour obtenir 𝑥 plus huit fois 𝑥 moins six égal à zéro. Et donc les solutions de cette équation du second degré sont 𝑥 égal à moins huit et 𝑥 égal à six.

Cependant, étant donné que nous travaillons avec une équation logarithmique, nous devons veiller à ce que les deux solutions de l’équation finale soient aussi des solutions à l’équation originale impliquant des logarithmes. L’argument d’une fonction logarithmique doit être supérieur à zéro. Donc, moins deux 𝑥 plus 48 et 𝑥 doivent tous deux être positifs pour que cette équation originale ait un sens.

Vérifions d’abord que 𝑥 est égal à moins huit. En substituant moins huit à notre équation initiale, nous obtenons le log à base six de moins deux fois moins huit plus 48 est égal à deux fois le log à base six de moins huit. En simplifiant, cela nous donne que le log à base six de 64 est égal à deux fois le log à base six de moins huit.

Moins huit est inférieur à zéro bien sûr, et il n’a pas de sens de parler du logarithme d’un nombre négatif. Log à base six de moins huit sera le nombre que tu mets à la puissance six pour obtenir moins huit. Et clairement, il n’y a pas un tel nombre. Ainsi, bien que moins huit soit une solution à l’équation du second degré que nous avons obtenue, ce n’est pas une solution de l’équation logarithmique originale que nous devions résoudre.

D’autre part, après avoir substitué six à notre équation logarithmique d’origine et après avoir simplifié, nous obtenons que le log à base 6 de 36 est égal à deux fois notre log à base 6 de 6. 36 et six sont tous deux strictement supérieurs à zéro. Les deux membres de l’équation sont donc bien définis.

Et si tu y réfléchis ou utilise ta calculatrice, tu verras que l’équation est en réalité vraie. Le log à base six de 36 ne fait en réalité que deux fois le log à base six de six ; ils sont tous deux égaux à deux. Et ainsi, 𝑥 égal à six est une solution à l’équation logarithmique. En fait, c’est la seule solution. Et donc l’ensemble solution de cette équation qui, après tout, nous a été demandé est simplement l’ensemble contenant le nombre six.

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