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Vidéo de la leçon: Triangle des forces Mathématiques

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Transcription de la vidéo

Dans cette leçon, nous allons apprendre à résoudre des problèmes concernant l’équilibre d’une particule sous l’action de trois forces se rencontrant en un point en utilisant la force résultante ou la méthode du triangle des forces.

Rappelez-vous que lorsque deux forces ou plus agissent sur un corps rigide et que ce corps n’accélère dans aucune direction, les forces sont en équilibre. Cela ne signifie pas nécessairement que l’objet est au repos. Il pourrait également se déplacer à une vitesse constante.

Prenez, par exemple, deux forces de même intensité agissant sur un corps dans des sens opposés mais suivant la même ligne d’action. Ces deux forces sont en équilibre, et le corps restera au repos ou continuera de se déplacer à une vitesse constante. Supposons que nous ayons une paire de forces différentes agissant sur un corps rigide. Pour que ce corps soit en équilibre, il doit également y avoir une troisième force agissant sur le corps, qui est de même intensité et de sens opposé à la résultante de ces deux forces.

Maintenant, si nous connaissons l’angle 𝜃 entre 𝐴 et 𝐵, alors nous pouvons calculer l’intensité de la résultante en utilisant cette formule. Appliquons cela à un exemple très rapide. Supposons que l’intensité de 𝐴 est de cinq newtons et que l’intensité de 𝐵 est de quatre newtons. Si le corps est en équilibre, alors nous pouvons calculer l’intensité de la force 𝐅 en trouvant l’intensité de la résultante de 𝐴 et 𝐵. C’est la racine carrée de cinq au carré plus quatre au carré plus deux fois cinq fois quatre fois cosinus de 70 degrés. C’est la racine carrée de 47,84 et ainsi de suite, qui est à peu près 6,916. Cela signifie que l’intensité de la force 𝐅 est de 6,92 newtons au centièmes près.

Augmentons la difficulté lors de notre premier exemple entier.

Utilisez le diagramme suivant pour trouver la tension en 𝐶𝐵. Arrondissez votre réponse au centièmes près.

Rappelez-vous que si une paire de forces agit sur un corps rigide et que ce corps est en équilibre, alors une troisième force 𝐅 doit également agir sur le corps, d’une intensité égale et opposée à la résultante de ces deux forces. Dans ce cas, la paire de forces sont les tensions d’intensité 𝑇 indice un et 𝑇 indice deux. La troisième force est la force descendante de 10 newtons, ce qui signifie que l’intensité de la résultante 𝑅 doit également être de 10 newtons.

Donc, si nous connaissons l’angle entre les deux forces, appelons cela 𝜃, nous pouvons utiliser cette équation pour trouver l’intensité de la résultante. En substituant ce que nous savons de ce système, nous obtenons 10 est égal à la racine carrée de 𝑇 indice un au carré plus 𝑇 indice deux au carré plus deux fois 𝑇 indice un fois 𝑇 indice deux cosinus 𝜃.

Puisque dans ce cas le triangle est équilatéral, 𝑇 indice un et 𝑇 indice deux sont égaux. Nous pouvons donc les remplacer par 𝑇, mettre les deux membres au carré et commencer à évaluer le membre de droite. Nous pouvons maintenant factoriser deux 𝑇 au carré, donc 100 est égal à deux 𝑇 au carré fois un plus cosinus 𝜃. Isoler 𝑇 au carré en divisant par deux fois un plus cosinus 𝜃 donne 𝑇 au carré égale 50 sur un plus cosinus 𝜃.

Ensuite, nous pourrions remarquer que nous pouvons trouver la valeur de 𝜃 en utilisant les longueurs des côtés dans le triangle. Nous étiquetons notre triangle comme indiqué. Et nous obtenons 50 au carré égale 30 au carré plus 30 au carré moins deux fois 30 fois 30 cosinus 𝜃. C’est 2500 est égal à 1800 moins 1800 cosinus 𝜃, et nous pouvons réorganiser pour trouver que cosinus de 𝜃 est égal à moins sept sur 18. Remplaçons cela dans notre expression précédente. C’est 𝑇 au carré est égal à 50 sur un plus moins sept sur 18, soit 900 sur 11.

Enfin, nous savons que la tension dans 𝐶𝐵 est 𝑇 indice un, ce qui est égal à 𝑇, nous avons donc juste besoin de prendre la racine carrée. La racine carrée de 900 sur 11 est 9,0453. Arrondie au centièmes près, c’est 9,05, donc la tension dans 𝐶𝐵 est de 9,05 newtons.

Quand un corps rigide est en équilibre sous l’action de trois forces coplanaires se réunissant en un point, nous pouvons analyser le système en utilisant un triangle de forces. Pensons aux forces en tant que vecteurs et représentons-les à l’aide de flèches dont la longueur est proportionnelle à leur intensité. Puisque le système est en équilibre, la somme de ces forces est nulle. Ensuite, l’addition de forces peut être représentée en plaçant les flèches face à face, comme indiqué ici. Définissons tout cela formellement. Les vecteurs de force qui forment un triangle où les sens des forces sont toutes dans le sens des aiguilles d’une montre autour du triangle ou dans le sens inverse des aiguilles d’une montre ont une résultante nulle, ils sont donc en équilibre. Faisons la démonstration dans notre prochain exemple.

Trois forces coplanaires 𝐅 indice un, 𝐅 indice deux et 𝐅 indice trois agissent sur un corps en équilibre. Le triangle des forces forme un triangle rectangle comme indiqué. Étant donné que l’intensité de 𝐅 indice un est égal à cinq newtons et que l’intensité de 𝐅 indice deux est égale à 13 newtons, trouvez l’intensité de 𝐅 indice trois.

Puisque le corps est en équilibre, nous savons que la somme vectorielle des trois forces doit être égale à zéro. Nous savons également que cela signifie que nous pouvons représenter le système comme un triangle, où les longueurs du triangle sont proportionnelles à leurs intensités. Cela signifie que nous pouvons traiter les intensités des deux forces comme si elles étaient des longueurs et utiliser le théorème de Pythagore pour trouver l’intensité manquante. C’est-à-dire que cinq au carré plus l’intensité de 𝐅 indice trois au carré est égal à 13 au carré. En soustrayant cinq au carré des deux membres et nous voyons que l’intensité de 𝐅 indice trois au carré est égale à 144.

Enfin, nous prenons la racine carrée positive. Rappelez-vous, nous n’avons pas besoin d’une racine négative car une intensité, par définition, est positive. L’intensité de cette force est de 12 newtons. Donc, nous avons trouvé l’intensité de 𝐅 indice trois.

Nous avons pu appliquer le théorème de Pythagore ici parce que les forces sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle. Cela nous permet de former une équation que nous définissons comme la règle du triangle des forces. Le rapport de l’intensité de 𝐅 indice un et de la longueur 𝐴𝐵 est égal au rapport de l’intensité de 𝐅 indice deux et de la longueur 𝐵𝐶, qui à son tour est égale au rapport de l’intensité de 𝐅 indice trois et 𝐴𝐶.

Sur la figure, trois forces d’intensité 𝐅 indice un, 𝐅 indice deux et 𝐅 indice trois newtons se rencontrent en un point. Les lignes d’action des forces sont parallèles aux côtés du triangle rectangle. Étant donné que le système est en équilibre, trouvez le rapport de 𝐅 indice un sur 𝐅 indice deux sur 𝐅 indice trois.

Rappelez-vous que lorsque les trois forces sont en équilibre, les intensités des forces sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle. Commençons par trouver la longueur du troisième côté. Nous pouvons étiqueter les sommets du triangle comme indiqué, ce qui signifie que nous voulons trouver la longueur de l’hypoténuse, 𝐵𝐶. Utilisons le théorème de Pythagore, donc 𝐵𝐶 au carré est égal à 87 au carré plus 208,8 au carré. Cela nous donne 𝐵𝐶 au carré égal à 51166,44. En prenant la racine carrée positive, on obtient que la longueur 𝐵𝐶 est de 226,2 centimètres.

Puisque le triangle est en équilibre, nous savons que les rapports des forces et des longueurs des côtés auxquelles elles sont parallèles sont tous égaux. On peut donc aussi dire que le rapport de deux des forces doit être égal au rapport des longueurs de côtés respectives. Puisque 𝐴𝐵 est de 87 centimètres et 𝐴𝐶 est de 208,8 centimètres, nous pouvons les diviser pour obtenir cinq douzièmes. De la même manière, nous pouvons trouver le rapport de 𝐅 indice un et 𝐅 indice trois en divisant 𝐴𝐵 par 𝐵𝐶. Cela nous donne 𝐅 indice un sur 𝐅 indice trois égale cinq sur 13. Puisque le numérateur est le même pour chaque fraction, nous pouvons créer le rapport requis. Le rapport de 𝐅 indice un à 𝐅 indice deux à 𝐅 indice trois est de cinq à 12 à 13.

Bien sûr, ce processus ne fonctionne pas uniquement pour les triangles rectangles. Nous pouvons répéter un processus similaire lorsque nous travaillons avec des triangles non rectangles. Voyons à quoi cela ressemble.

Un corps est sous l’effet de trois forces d’intensité 𝐅 indice un, 𝐅 indice deux et 36 newtons, agissant respectivement dans les directions 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 et 𝐶𝐴, où le triangle 𝐴𝐵𝐶 est un triangle tel que 𝐴𝐵 égale quatre centimètres, 𝐵𝐶 est de six centimètres, et 𝐴𝐶 est de six centimètres. Étant donné que le système est en équilibre, trouvez 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux.

Rappelez-vous que pour que le système de forces soit en équilibre, il doit y avoir une force résultante nulle. Cela signifie que l’intensité de la force dans notre triangle doit être dans le même rapport que les longueurs des côtés du triangle. Alors esquissons cela. Nous avons un triangle isocèle, avec un côté de quatre centimètres de longueur et deux côtés de six centimètres de longueur. Nous pouvons tracer le diagramme de force correspondant en haut, où le rapport de 𝐅 indice un et la longueur du côté 𝐴𝐵 est égal au rapport de 𝐅 indice deux et du côté 𝐵𝐶, qui à son tour est égal au rapport de la force de 36 newton et la longueur du troisième côté.

Si nous écrivons les rapports pour les deux côtés de longueurs égales, nous devrions pouvoir repérer la valeur de l’intensité de 𝐅 indice deux. La seule façon pour que l’affirmation soit vraie est si 𝐅 indice deux est de 36 newtons. De même, comparons le premier rapport avec celui du côté 𝐴𝐵. Nous pouvons calculer le multiplicateur des longueurs des côtés en divisant quatre par six, pour obtenir les deux tiers. Donc, nous devons aussi multiplier 36 par deux tiers pour trouver la valeur de 𝐅 indice un. Cela fait 24 newtons. Ainsi, 𝐅 indice un est de 24 newtons et 𝐅 indice deux est de 36 newtons.

Dans notre dernier exemple, voyons comment appliquer ce processus à un système impliquant un objet suspendu.

Une barre uniforme de longueur 50 centimètres et de poids 143 newtons est librement suspendue à son extrémité au plafond au moyen de deux cordes perpendiculaires attachées au même point du plafond. Étant donné que la longueur de l’une des cordes est de 30 centimètres, déterminez la tension dans chaque corde.

Commençons par esquisser ce système. Voici la barre, soutenue par deux morceaux de ficelle qui se rencontrent à un angle de 90 degrés. Nous pourrions commencer par calculer la longueur du troisième côté de ce triangle. Appelons cela 𝑙 centimètres. Cela sera utile. Puisque nous savons que le système est en équilibre, nous pourrons alors trouver les forces dans le système. Puisque nous avons un triangle rectangle, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore. 50 au carré est égal à 30 au carré plus 𝑙 au carré. En soustrayant 30 des deux membres et nous obtenons 𝑙 au carré est égal à 50 au carré moins 30 au carré, qui est 1600. Enfin, si nous prenons la racine carrée des deux membres de cette équation, nous constatons que 𝑙 est égal à 40.

Ensuite, nous savons que les forces qui agissent ici sont les poids de la barre et les tensions dans les cordes. Puisque les forces sont en équilibre, elles peuvent être tirées en agissant au même point. Le poids de la barre agit verticalement vers le bas. Ensuite, nous pouvons représenter la tension dans la corde de 40 centimètres comme 𝑇 indice un et la tension dans l’autre corde comme 𝑇 indice deux. Cela nous donne le triangle de force correspondant.

Enfin, nous savons que les rapports des longueurs des côtés du triangle et des forces correspondantes sont égaux. Soit 143 sur 50 égale 𝑇 indice un sur 30. Nous pouvons résoudre pour trouver 𝑇 indice un en multipliant par 30, ce qui nous donne 85,8 newtons.

Répétons cela pour 𝑇 indice deux. Cette fois, 143 sur 50 est égal à 𝑇 indice deux sur 40. Nous trouvons donc que 𝑇 indice deux est égal à 143 sur 50 fois 40, soit 114,4 newtons. Les tensions dans les deux cordes sont donc de 85,8 newtons et de 114,4 newtons.

Récapitulons maintenant les points clés de cette leçon.

Dans cette leçon, nous avons vu que lorsqu’un corps rigide est en équilibre sous l’action de trois forces coplanaires qui se rencontrent en un point donné, nous pouvons analyser le système en utilisant un triangle de forces. Et nous avons appris que dans ces cas, l’intensité des forces est proportionnelle à la longueur des côtés du triangle. Cela peut nous permettre de calculer les forces manquantes et les longueurs manquantes.

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