Vidéo : Vecteurs de l'espace

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à représenter un vecteur de l’espace en utilisant un système de coordonnées tridimensionnelles.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à représenter un vecteur de l'espace en utilisant un système de coordonnées tridimensionnelles. Nous commencerons par examiner les vecteurs unitaires dans la direction des axes 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Ensuite, nous trouverons les composantes d'un vecteur qui relie deux points dans l'espace 3D. Nous le ferons à la fois algébriquement et graphiquement.

Trouver le vecteur unitaire dans la direction de l'axe des 𝑦.

Nous rappelons qu'un vecteur unitaire a une norme égale à un. Considérons le système de coordonnées tridimensionnel ou le repère de centre ou d’origine 𝑂. On nous dit que le vecteur se déplace dans la direction de l'axe des 𝑦. Cela signifie que ses coordonnées 𝑥 et 𝑧 doivent être égales à zéro. Pour que la norme du vecteur soit un, la coordonnée 𝑦 doit également être un. Le vecteur unitaire dans la direction de l'axe des 𝑦 est zéro, un, zéro.

Nous pouvons vérifier que sa norme est égale à un en trouvant la racine carrée de la somme des carrés des différentes coordonnées. Il s'agit de la racine carrée de zéro au carré plus un au carré plus zéro au carré. C'est égal à la racine carrée de un. Et comme la norme doit être positive, alors elle est égale à un. Nous pouvons utiliser cette information pour trouver le vecteur unitaire dans la direction de l'axe 𝑥 et 𝑧.

Le vecteur unitaire dans la direction de l'axe des 𝑥 est un, zéro, zéro. Il a une coordonnée 𝑥 égale à un et des coordonnées 𝑦 et 𝑧 égales à zéro. Nous venons de voir que le vecteur unitaire dans la direction de l'axe 𝑦 est zéro, un, zéro. Enfin, le vecteur unitaire dans la direction de l'axe des 𝑧 est zéro, zéro, un. Cette fois, nous avons une coordonnée 𝑧 égale à un et des coordonnées 𝑥 et 𝑦 égales à zéro.

Nous allons maintenant voir quelques questions où nous devons déterminer le vecteur entre deux points donnés.

Laquelle des expressions suivantes est égale au vecteur 𝐀𝐁 ? Est-ce (A) 𝐀 plus 𝐁, (B) 𝐀 moins 𝐁, (C) 𝐁 moins 𝐀 ou (D) 𝐀 fois 𝐁 ?

Commençons par considérer les deux points 𝐴 et 𝐵 sur un repère de coordonnées bidimensionnelle. Le vecteur 𝐀 nous emmènera de l'origine 𝑂 vers le point 𝐴. De même, le vecteur 𝐁 nous emmènera de l'origine au point 𝐵. Nous devons déterminer comment nous pouvons nous rendre du point 𝐴 au point 𝐵. Une façon d'y parvenir est de passer par l'origine 𝑂. Cela signifie que le vecteur 𝐀𝐁 est égal au vecteur 𝐀𝐎 plus le vecteur 𝐎𝐁. Comme le vecteur 𝐎𝐀 est égal à 𝐀, alors le vecteur 𝐀𝐎 sera moins 𝐀, car il va dans la direction opposée mais a la même norme. Le vecteur 𝐎𝐁 est égal à 𝐁. Le vecteur moins 𝐀 plus 𝐁 peut être réécrit comme 𝐁 moins 𝐀. Cela signifie que la bonne réponse est l'option (C). Le vecteur 𝐀𝐁 est égal au vecteur 𝐁 moins le vecteur 𝐀.

Nous allons maintenant utiliser cette règle pour déterminer un vecteur entre deux points donnés.

Sachant que le vecteur 𝐀 est égal à six, un, quatre et le vecteur 𝐁 est égal à trois, un, deux, déterminez le vecteur 𝐀𝐁.

Nous rappelons que la règle générale pour trouver des vecteurs entre deux points est que le vecteur 𝐀𝐁 est égal au vecteur 𝐁 moins le vecteur 𝐀. Dans cette question, nous voulons soustraire le vecteur six, un, quatre du vecteur trois, un, deux. En soustrayant les vecteurs, nous soustrayons les cordonnées correspondantes. Dans ce cas, nous devons soustraire six de trois. Cela nous donne moins trois. Un moins un égale zéro. Enfin, deux moins quatre égale moins deux. La coordonnées 𝑥 est moins trois, la coordonnées 𝑦 est zéro, et la coordonnée 𝑧 est moins deux. Le vecteur 𝐀𝐁 est égal à moins trois, zéro, moins deux.

Dans notre question suivante, nous devrons trouver le vecteur de position d'un point étant donné le vecteur qui le relie à un autre point.

Sachant que 𝐀𝐁 est égal à moins un, moins trois, zéro, et que le vecteur 𝐀 est égal à moins quatre, moins cinq, moins cinq, exprimez le vecteur 𝐁 en fonction de vecteurs unitaires fondamentaux.

On rappelle que pour déterminer le vecteur entre deux points, le vecteur 𝐀𝐁 est égal au vecteur 𝐁 moins le vecteur 𝐀. Si nous disons que le vecteur 𝐁 a comme coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧, alors le vecteur moins un, moins trois, zéro est égal à 𝑥, 𝑦, 𝑧 moins quatre, moins cinq, moins cinq. En ajoutant le vecteur 𝐀 aux deux membres de cette équation, nous obtenons moins un, moins trois, zéro plus moins quatre, moins cinq, moins cinq est égal à 𝑥, 𝑦, 𝑧.

En ajoutant et en soustrayant des vecteurs, nous pouvons examiner chaque coordonnée séparément. Cela signifie que 𝑥 est égal à moins un plus moins quatre. C'est la même chose que moins un moins quatre, qui est égal à moins cinq. 𝑦 est égal à moins trois plus moins cinq. Cela est égal à moins huit. Enfin, 𝑧 est égal à moins cinq. Le vecteur 𝐁 est donc égal à moins cinq, moins huit, moins cinq.

On nous demande d'écrire le vecteur 𝐁 en fonction de vecteurs unitaires fondamentaux. Cela signifie que nous devons l'écrire sous la forme 𝑥𝐢 plus 𝑦𝐣 plus 𝑧𝐤. Le vecteur 𝐁 est donc égal à moins cinq 𝐢 moins huit 𝐣 moins cinq 𝐤.

Dans notre question suivante, nous allons déterminer les composantes d'un vecteur de position en 3D qui est représenté graphiquement.

À l'aide du graphique, écrivez le vecteur 𝐀 en fonction de ses composantes.

Comme nous avons un repère de coordonnées tridimensionnelles, le vecteur 𝐀 aura trois coordonnées, 𝑥, 𝑦, et 𝑧. En se déplaçant le long de l'axe des 𝑥, on peut voir que la coordonnée 𝑥 est deux. La coordonnée 𝑦 est trois. Enfin, la coordonnée 𝑧 est quatre. Cela signifie que le vecteur 𝐀 est égal à deux, trois, quatre. Le vecteur 𝐀, en fonction de coordonnées, est le déplacement du point 𝐴 de l'origine du repère dans les directions 𝑥, 𝑦 et 𝑧.

Dans notre dernière question, nous allons déterminer les cordonnées d'un vecteur en 3D qui est à nouveau représenté graphiquement.

Déterminez le vecteur 𝐀𝐆 en utilisant le graphique.

Une façon de répondre à cette question serait de rappeler que nous pouvons trouver le vecteur 𝐀𝐁 en soustrayant le vecteur 𝐀 du vecteur 𝐁. Cela signifie que dans notre question, nous devons soustraire le vecteur 𝐀 du vecteur 𝐆. Le vecteur 𝐀 est le déplacement du point 𝐴 depuis l'origine du repère. La coordonnée 𝑥 de ce vecteur est un, la coordonnée 𝑦 est un et la coordonnée 𝑧 est zéro. Cela signifie que le vecteur 𝐀 est égal à un, un, zéro. Le vecteur 𝐆 a une coordonné 𝑥 de quatre, sa coordonnée 𝑦 est quatre et sa coordonnée 𝑧 est trois. Cela signifie que le vecteur 𝐆 est égal à quatre, quatre, trois.

Pour calculer le vecteur 𝐀𝐆, nous devons soustraire un, un, zéro de quatre, quatre, trois. Lorsque nous soustrayons des vecteurs, nous soustrayons chaque composante séparément. Quatre moins un est trois. En soustrayant les composantes de 𝑦, nous obtenons également trois. Il en va de même pour les composantes de 𝑧, car trois moins zéro est égal à trois. Le vecteur 𝐀𝐆 est donc égal à trois, trois, trois.

Une autre méthode consisterait à reconnaître que nous avons un cube de longueur d’arête trois. Les sommets 𝐴 et 𝐺 sont des coins opposés du cube. Cela signifie que nous devons déplacer trois unités dans la direction 𝑥, 𝑦 et 𝑧 pour aller du point 𝐴 au point 𝐺. Cela confirme que le vecteur 𝐀𝐆 est égal à trois, trois, trois.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu dans notre première question que la norme d'un vecteur unitaire est un. Un vecteur de l'espace tridimensionnel peut être écrit en fonction de ses trois composantes, entre parenthèses 𝑥, 𝑦, 𝑧 ou 𝑥𝐢 plus 𝑦𝐣 plus 𝑧𝐤. Le vecteur reliant deux points 𝐴 et 𝐵 de l'espace tridimensionnel s'écrit vecteur 𝐀𝐁. Il est égal au vecteur 𝐁 moins le vecteur 𝐀. On peut donc calculer les coordonnées du vecteur 𝐀𝐁 à partir des coordonnées des points 𝐴 et 𝐵.

Nous avons aussi vu que nous pouvons trouver les coordonnées d'un point inconnu en utilisant les coordonnées d'un point connu et les coordonnées d'un vecteur connu. Enfin, nous avons vu dans les deux dernières questions que nous pouvons trouver les composantes d'un vecteur en 3D qui est représenté graphiquement.

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