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Vidéo de la leçon : Vecteurs dans l’espace Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à représenter un vecteur dans l’espace en utilisant un système de coordonnées en trois dimensions.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à représenter un vecteur dans l’espace en utilisant un système de coordonnées en trois dimensions. Nous allons commencer par étudier les vecteurs unitaires dans le sens des axes 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Nous apprendrons ensuite à déterminer les coordonnées d’un vecteur reliant deux points dans l’espace. Nous utiliserons pour cela des méthodes algébriques et graphiques.

Déterminez les coordonnées du vecteur unitaire dans le sens de l’axe des 𝑦.

Nous rappelons qu’un vecteur unitaire a une norme égale à un. Considérons le système de coordonnées en trois dimensions d’origine 𝑂. La questions indique que le vecteur pointe dans le sens de l’axe des 𝑦. Cela signifie que ses coordonnées 𝑥 et 𝑧 doivent être égales à zéro. Pour que le vecteur ait une norme de un, sa coordonnée 𝑦 doit donc être égale à un. Le vecteur unitaire dans le sens de l’axe des est zéro, un, zéro.

Nous pouvons vérifier que sa norme est égale à un en calculant la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées. Cela fait racine carrée de zéro au carré plus un au carré plus zéro au carré. Cela est égal à racine carrée de un. Et comme la norme doit être positive, elle est égale à un. Nous pouvons utiliser cette information pour déterminer les coordonnées des vecteurs unitaires dans le sens des axes des 𝑥 et des 𝑧.

Le vecteur unitaire dans le sens de l’axe des est un, zéro, zéro. Sa coordonnée 𝑥 est égale à un et ses coordonnées 𝑦 et 𝑧 sont nulles. Nous venons de voir que le vecteur unitaire dans le sens de l’axe des est zéro, un, zéro. Enfin, le vecteur unitaire dans le sens de l’axe des est zéro, zéro, un. Cette fois, la coordonnée 𝑧 est égale à un et les coordonnées 𝑥 et 𝑦 sont égales à zéro.

Nous allons maintenant étudier quelques questions où nous devons déterminer un vecteur entre deux points.

Laquelle des expressions suivantes est égale au vecteur 𝐀𝐁? Est-ce (A) 𝐀 plus 𝐁, (B) 𝐀 moins 𝐁, (C) 𝐁 moins 𝐀 ou (D) 𝐀 vectoriel 𝐁?

Commençons par considérer les deux points 𝐴 et 𝐵 sur un repère en deux dimensions. Le vecteur 𝐀 va de l’origine 𝑂 au point 𝐴. De même, le vecteur 𝐁 va de l’origine au point 𝐵. Nous devons alors déterminer comment aller du point 𝐴 au point 𝐵. Une façon de le faire est de passer par l’origine 𝑂. Cela signifie que le vecteur 𝐀𝐁 est égal au vecteur 𝐀𝐎 plus le vecteur 𝐎𝐁. Comme le vecteur 𝐎𝐀 est égal à 𝐀, alors le vecteur 𝐀𝐎 est égal à moins 𝐀, car il a la même norme mais est de sens opposé. Le vecteur 𝐎𝐁 est égal à 𝐁. Moins 𝐀 plus 𝐁 peut être réécrit comme 𝐁 moins 𝐀. Cela signifie que la bonne réponse est la réponse (C). Le vecteur 𝐀𝐁 est égal au vecteur 𝐁 moins le vecteur 𝐀.

Nous allons maintenant utiliser cette formule pour déterminer un vecteur entre deux points donnés.

Sachant que le vecteur 𝐀 égale six, un, quatre et que le vecteur 𝐁 égale trois, un, deux, trouvez le vecteur 𝐀𝐁.

Nous rappelons la formule générale pour la recherche d’un vecteur entre deux points: le vecteur 𝐀𝐁 est égal au vecteur 𝐁 moins le vecteur 𝐀. Nous souhaitons donc soustraire le vecteur six, un, quatre du vecteur trois, un, deux. Pour soustraire des vecteurs, on soustrait leurs coordonnées correspondantes. Dans ce cas, on doit soustraire six à trois. Ce qui fait moins trois. Un moins un égale zéro. Et deux moins quatre égale moins deux. La coordonnée 𝑥 est moins trois, la coordonnée est zéro et la coordonnée est moins deux. Le vecteur 𝐀𝐁 est égal à moins trois, zéro, moins deux.

Dans la prochaine question, nous devons trouver le vecteur position d’un point à partir du vecteur le reliant à un autre point.

Sachant que 𝐀𝐁 égale moins un, moins trois, zéro et que le vecteur 𝐀 est égal à moins quatre, moins cinq, moins cinq, exprimez le vecteur 𝐁 en fonction des vecteurs unitaires du repère.

Nous rappelons que pour la recherche de vecteur entre deux points, le vecteur 𝐀𝐁 est égal au vecteur 𝐁 moins le vecteur 𝐀. Si nous supposons que le vecteur 𝐁 a les coordonnées 𝑥, 𝑦, 𝑧, alors moins un, moins trois, zéro égale 𝑥, 𝑦, 𝑧 moins moins quatre, moins cinq, moins cinq. Ajouter le vecteur 𝐀 aux deux membres de cette équation nous donne moins un, moins trois, zéro plus moins quatre, moins cinq, moins cinq égale 𝑥, 𝑦, 𝑧.

Pour additionner ou soustraire des vecteurs, on considère chaque coordonnée séparément. Cela signifie que 𝑥 est égal à moins un plus moins quatre. Qui est égal à moins un moins quatre, soit moins cinq. 𝑦 égale moins trois plus moins cinq. Ce qui fait moins huit. Enfin, 𝑧 égale moins cinq. Le vecteur 𝐁 est donc moins cinq, moins huit, moins cinq.

Il est demandé d’exprimer le vecteur 𝐁 en fonction des vecteurs unitaires du repère. Cela signifie que nous devons l’écrire sous la forme 𝑥 𝐢 plus 𝑦 𝐣 plus 𝑧 𝐤. Le vecteur 𝐁 est donc égal à moins cinq 𝐢 moins huit 𝐣 moins cinq 𝐤.

Dans la prochaine question, nous devons déterminer les coordonnées d’un vecteur position en trois dimensions représenté graphiquement.

En utilisant le graphique, déterminez les coordonnées du vecteur 𝐀.

Comme le repère est en trois dimensions, le vecteur A aura trois coordonnées: 𝑥, 𝑦 et 𝑧. En se déplaçant le long de l’axe des 𝑥, nous pouvons voir que sa coordonnée 𝑥 est égale à deux. Sa coordonnée 𝑦 est égale à trois. Enfin, sa coordonnée 𝑧 est égale à quatre. Cela signifie que le vecteur 𝐀 est égal à deux, trois, quatre. Les coordonnées du vecteur 𝐀 représentent le déplacement du point 𝐴 depuis l’origine dans les directions des axes 𝑥, 𝑦 et 𝑧.

Dans la dernière question, nous devons déterminer les coordonnées d’un vecteur en trois dimensions, également représenté graphiquement.

Déterminez les coordonnées du vecteur 𝐀𝐆 en utilisant le graphique.

Une façon de répondre à cette question est de rappeler que nous pouvons trouver le vecteur 𝐀𝐁 en soustrayant le vecteur 𝐀 au vecteur 𝐁. Cela signifie que pour cette question, nous devons soustraire le vecteur 𝐀 au vecteur 𝐆. Le vecteur 𝐀 est le déplacement du point 𝐴 depuis l’origine. Il a une coordonnée 𝑥 de un, une coordonnée 𝑦 de un et une coordonnée 𝑧 de zéro. Cela signifie que le vecteur 𝐀 est égal à un, un, zéro. Le vecteur 𝐆 a une coordonnée 𝑥 de quatre, une coordonnée 𝑦 de quatre et une coordonnée 𝑧 de trois. Cela signifie que le vecteur 𝐆 est égal à quatre, quatre, trois.

Pour calculer le vecteur 𝐀𝐆, nous devons donc soustraire un, un, zéro à quatre, quatre, trois. Pour soustraire des vecteurs, nous soustrayons chaque coordonnée séparément. Quatre moins un égale trois. En soustrayant les coordonnées 𝑦, on obtient également trois. Il en va de même pour les coordonnées 𝑧 car trois moins zéro égale trois. Le vecteur 𝐀𝐆 est donc égal à trois, trois, trois.

Une autre méthode consisterait à reconnaître qu’il s’agit d’un un cube de côté de longueur trois. Les sommets 𝐴 et 𝐺 sont des sommets opposés du cube. Cela signifie que nous devons nous déplacer de trois unités dans les directions des 𝑥, 𝑦 et 𝑧 pour aller du point 𝐴 au point 𝐺. Cela confirme que le vecteur 𝐀𝐆 est égal à trois, trois, trois.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu dans la première question qu’un vecteur unitaire a une norme de un. Un vecteur dans un espace en trois dimensions peut être exprimé en fonction de ses trois coordonnées, 𝑥, 𝑦, 𝑧 entre parenthèses, ou par 𝑥𝐢 plus 𝑦𝐣 plus 𝑧𝐤. Le vecteur reliant deux points 𝐴 et 𝐵 dans un espace en trois dimensions est noté vecteur 𝐀𝐁. Il est égal au vecteur 𝐁 moins le vecteur 𝐀. Nous pouvons donc calculer les coordonnées du vecteur 𝐀𝐁 à partir des coordonnées des points A et 𝐵.

Nous avons également vu que nous pouvons déterminer les coordonnées d’un point inconnu en utilisant les coordonnées d’un point et d’un vecteur. Nous avons enfin vu dans les deux dernières questions que nous pouvons déterminer les coordonnées d’un vecteur en trois dimensions représenté graphiquement.

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