Vidéo de la leçon: Volumes de cônes Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer le volume de cônes et à résoudre des problèmes. Nous allons commencer par établir les propriétés d’un cône et expliquer la formule utilisée pour calculer son volume. Dans cette vidéo, nous étudierons des cônes obliques et des cônes de révolution, dont un exemple est illustré sur ce schéma.

Un cône est une figure géométrique en trois dimensions qui a une base circulaire et un côté incurvé se rejoignant en un seul sommet. Un cône de révolution est un cône dont le sommet se situe au-dessus du centre de gravité de la base circulaire, tandis que dans un cône oblique, le sommet ne se situe pas directement au-dessus du centre de gravité de la base. La hauteur d’un cône est la distance verticale ou perpendiculaire du sommet à la base. La génératrice d’un cône de révolution est la distance entre le sommet et tout point situé sur la circonférence de la base. Enfin, le rayon, la hauteur et la génératrice forment un triangle rectangle à l’intérieur du cône de révolution.

Maintenant que nous avons rappelé quelques définitions clés des cônes, passons à son volume. Le volume de tout cône est égal à un tiers de 𝜋𝑟 carré fois ℎ. Considérons le cône oblique illustré ici. Comme la base de tout cône est un cercle, 𝜋𝑟 carré fait référence à l’aire de la base. Nous savons que l’aire de tout cercle est égale à 𝜋 fois le rayon au carré. ℎ fait référence à la hauteur comme indiqué. Nous rappelons qu’il s’agit de la distance verticale entre le sommet et la base. Comme ce cône est oblique, la hauteur ne passe pas par le centre du cercle dans cet exemple.

Prenons un exemple où cette hauteur est égale à 12 centimètres et le rayon de la base est de quatre centimètres. En substituant ces valeurs dans la formule, on trouve que le volume du cône est égal à un tiers fois 𝜋 fois quatre au carré fois 12. Comme la multiplication est commutative, on peut effectuer ces opérations dans n’importe quel ordre. Un tiers fois 12 ou un tiers de 12 égale quatre. Quatre au carré égale 16. Cela signifie que le volume est égal à quatre fois 16 fois 𝜋. Soit 64𝜋. Le volume est mesuré en unités cubes. Par conséquent, le volume de ce cône est de 64𝜋 centimètres cubes.

Nous allons maintenant étudier quelques exemples spécifiques de recherche du volume d’un cône.

Calculez le volume d’un cône de diamètre 10,5 et de hauteur 11,3. Donnez votre solution au centième près.

Commençons par dessiner le cône. Nous savons que le diamètre de la base circulaire est égal à 10,5. La hauteur du cône est de 11,3. Il s’agit de la distance perpendiculaire du sommet à la base. Notez que la question ne nous indique pas s’il s’agit d’un cône de révolution ou d’un cône oblique, mais cela n’a en fait pas d’importance comme nous connaissons sa hauteur. On applique en effet la formule du volume de la même manière dans les deux cas.

Afin de calculer le volume de tout cône, nous utilisons la formule un tiers de 𝜋𝑟 carré fois ℎ, où 𝑟 est le rayon de la base circulaire. Nous savons que le rayon d’un cercle est égal à la moitié de son diamètre, et nous savons que le diamètre est de 10,5. Le rayon est donc égal à un sur deux fois 10,5. Soit 5,25. Nous pouvons maintenant substituer les valeurs du rayon et de la hauteur dans la formule.

Le volume du cône est égal à un tiers fois 𝜋 fois 5,25 au carré fois 11,3. Taper ceci dans une calculatrice nous donne 326,1562 etc. Mais nous devons donner une réponse au centième près. Comme le chiffre des millièmes est un six, nous arrondissons au centième supérieur et nous obtenons une réponse de 326,16. Le volume est mesuré en unités cubes. Et comme les unités du diamètre et de la hauteur ne sont pas précisées, le volume est égal à 326,16 unités cubes.

Nous allons maintenant voir un exemple où nous connaissons la hauteur et le périmètre de la base d’un cône.

Déterminez au dixième près le volume d’un cône de révolution de hauteur 106 centimètres, sachant que le périmètre de sa base est de 318 centimètres. Utilisez 𝜋 égale 22 sur sept.

Comme il s’agit d’un cône de révolution, nous savons que le sommet se situe directement au-dessus du centre de gravité de la base circulaire. Cela signifie que la hauteur et le rayon sont perpendiculaires ou forment un angle droit. Nous savons que cette distance ou hauteur est égale à 106 centimètres. Il est de plus indiqué que le périmètre ou la circonférence de la base est égal à 318 centimètres. Nous rappelons que le volume d’un cône 𝑉 est égal à un tiers de 𝜋𝑟 carré fois ℎ. Pour calculer ce volume, nous devons donc d’abord calculer le rayon de la base circulaire.

La circonférence de tout cercle 𝐶 est égale à deux 𝜋𝑟. Et nous savons que la circonférence est égale à 318 centimètres. Par conséquent, 318 égale deux 𝜋𝑟. En divisant les deux membres de cette équation par deux, on obtient 159 égale 𝜋 𝑟. Nous pourrions alors substituer 22 sur sept à 𝜋. Mais nous allons simplement diviser les deux membres de l’équation par 𝜋, ce qui nous donne 𝑟 égale 159 sur 𝜋. Le rayon de la base circulaire de notre cône est de 159 sur 𝜋 centimètres.

Nous pouvons maintenant substituer les valeurs de ℎ et 𝑟 dans la formule du volume. 𝑉 égale un tiers fois 𝜋 fois 159 sur 𝜋 au carré fois 106. En substituant la valeur de 𝜋 et en tapant cette expression dans une calculatrice, on obtient 284 219,727 etc. Mais nous devons arrondir notre réponse au dixième près. Cela équivaut à arrondir à une décimale, ce qui nous donne un volume de 284 219,7 centimètres cubes. Notez que les unités de volume sont toujours des unités cubes.

Le prochain exemple consiste à calculer le rayon d’un cône à partir de de sa hauteur et de son volume.

Un cône a une hauteur de 92 pouces et un volume de 420𝜋 pouces cubes. Calculez le rayon du cône en donnant votre réponse au pouce près.

Pour répondre à cette question, nous devons rappeler la formule du volume d’un cône. Il est égal à un tiers de 𝜋𝑟 carré fois ℎ, où 𝑟 est le rayon de la base circulaire et ℎ est la distance perpendiculaire du sommet du cône à la base. La question donne les valeurs de la hauteur et du volume et nous demande de calculer le rayon. Nous allons donc commencer par réarranger la formule 𝑉 égale un tiers de 𝜋𝑟 carré ℎ pour isoler 𝑟.

On multiplie les deux membres de l’équation par trois pour obtenir trois 𝑉 égale 𝜋𝑟 carré ℎ. On divise ensuite les deux membres par 𝜋ℎ, ce qui donne 𝑟 carré égale trois 𝑉 sur 𝜋ℎ. On prend enfin la racine carrée des deux membres de l’équation. Comme le rayon doit être positif, 𝑟 est égal à racine carrée de trois 𝑉 sur 𝜋ℎ. Nous pouvons maintenant substituer 420𝜋 à 𝑉 et 92 à ℎ. Trois fois 420𝜋 égale 1 260 𝜋, et 𝜋 fois 92 égale 92𝜋. Sous la racine carrée, on peut alors diviser le numérateur et le dénominateur par 𝜋. Comme 1 260 et 92 sont tous les deux divisibles par quatre, 𝑟 égale racine carrée de 315 sur 23. Taper ceci dans une calculatrice nous donne 3,7007 etc.

Comme la réponse doit être au pouce près, nous devons vérifier le chiffre des dixièmes. Nous pouvons donc conclure qu’un cône de hauteur 92 pouces et de volume 420𝜋 pouces cubes a un rayon de quatre pouces, arrondi au pouce le plus proche. Nous pourrions vérifier cette réponse en substituant la valeur de 𝑟 dans la formule d’origine.

Dans le dernier exemple, nous devons comparer les volumes d’un cône et d’une pyramide.

Qui a le plus grand volume: un cône de révolution de rayon de base 25 centimètres et de hauteur 56 centimètres ou une pyramide régulière à base carrée dont le périmètre de la base est 176 centimètres et la hauteur est 48 centimètres?

Avant de commencer cette question, il convient de rappeler que le volume d’un cône et le volume d’une pyramide ont des formules très similaires. Le volume de ces deux figures est égal au tiers de l’aire de la base fois la hauteur. Comme il s’agit d’un cône de révolution et d’une pyramide régulière, la hauteur représente la distance perpendiculaire du sommet au centre de la base. Pour un cône, le volume est égal à un tiers de 𝜋𝑟 carré fois ℎ. Car la base d’un cône est un cercle et que l’aire d’un cercle est égale à 𝜋𝑟 carré.

Pour une pyramide à base carrée, le volume est égal à un tiers de 𝑙 carré fois ℎ, où 𝑙 est la longueur de chaque côté de la base carrée. La question indique que le cône a un rayon de base de 25 centimètres et une hauteur de 56 centimètres. Le volume 𝑉 est donc égal à un tiers fois 𝜋 fois 25 au carré fois 56. Taper ceci dans une calculatrice nous donne 36 651,91 etc. Au centimètre cube près, le volume du cône est de 36 652 centimètres cubes.

Avant de pouvoir calculer le volume de la pyramide, nous devons déterminer la longueur de chaque côté de la base carrée. Nous savons que le périmètre de la base est égal à 176 centimètres. La longueur du côté 𝑙 est donc égale à 176 divisé par quatre. Soit 44 centimètres. Le volume de la pyramide est donc égal à un tiers fois 44 au carré fois 48, car 48 est la hauteur de la pyramide carrée. En faisant un peu de place et en tapant ceci dans une calculatrice, nous obtenons 30 976. Le volume de la pyramide à base carrée est de 30 976 centimètres cubes. Comme cette valeur est inférieure au volume du cône, 36 652 centimètres cubes, la figure qui a le plus grand volume est le cône.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Un cône est une figure en trois dimensions avec une base circulaire et un côté incurvé se rejoignant en seul sommet. Le volume d’un cône peut être calculé en utilisant la formule un tiers de π carré fois ℎ. La partie 𝜋𝑟 carré de la formule correspond à l’aire de la base circulaire, où 𝑟 est le rayon. Et ℎ correspond à la hauteur; il s’agit de la distance verticale ou perpendiculaire du sommet à la base.

Pour un cône de révolution, cette hauteur va du sommet au centre de la base circulaire. Nous avons vu que le volume d’un cône est mesuré en unités cubes, par exemple, en centimètres cubes, en mètres cubes ou en pouces cubes. Nous pouvons utiliser cette formule pour calculer non seulement le volume d’un cône, mais également son rayon ou sa hauteur si nous connaissons les autres variables. Comme nous l’avons vu dans le dernier exemple, nous pouvons également comparer les volumes de différentes figures en trois dimensions.