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Vidéo de question : Déterminer des inconnues dans les coordonnées d’un point en utilisant la formule du milieu Mathématiques

Calculez les valeurs de 𝑎 et 𝑏 tels que (-2𝑎; 2𝑎 + 𝑏) est le milieu du segment entre (-2; -3) et (2; 11).

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Transcription de vidéo

Calculez les valeurs de 𝑎 et 𝑏 tels que le point moins deux 𝑎, deux 𝑎 plus 𝑏 est le milieu du segment entre les points moins deux, moins trois et deux, 11.

Dans cette question, nous devons déterminer les valeurs de deux inconnues 𝑎 et 𝑏. Et ces inconnues apparaissent dans les expressions des coordonnées du milieu d’un segment. Nous connaissons de plus les coordonnées des extrémités de ce segment, ce sont les points moins deux, moins trois et deux, 11. Pour répondre à cette question, commençons donc par rappeler comment calculer les coordonnées du milieu d’un segment à partir de ses extrémités.

On rappelle d’abord que le milieu d’un segment est le point du segment équidistant de ses deux extrémités. De plus, si les extrémités du segment ont pour coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, alors le milieu a pour coordonnées 𝑥 un plus 𝑥 deux sur deux, 𝑦 un plus 𝑦 deux sur deux. En d’autres termes, l’abscisse du milieu du segment est la moyenne des abscisses de ses extrémités. De même, l’ordonnée du milieu est la moyenne des ordonnées de ses extrémités.

On définit alors 𝑥 un égale moins deux, 𝑦 un égale moins trois, 𝑥 deux égale deux et 𝑦 deux égale 11. Ce sont les coordonnées des extrémités données dans la question. 𝑥 un plus 𝑥 deux sur deux doit alors être égal à l’abscisse du milieu. Dans notre cas, elle est égale à moins deux 𝑎. Comme 𝑥 un égale moins deux et 𝑥 deux égale deux, on obtient moins deux 𝑎 égale moins deux plus deux sur deux. Et on peut déterminer la valeur du membre droit de cette équation. Le numérateur est égal à zéro. Donc, le membre droit de cette équation est égal à zéro. Par conséquent, moins deux 𝑎 égale zéro.

On peut alors calculer 𝑎 en divisant par moins deux. Et on obtient 𝑎 égale zéro. On peut à présent suivre le même calcul pour l’ordonnée. L’ordonnée du milieu est égale à deux 𝑎 plus 𝑏. Mais elle est aussi égale à la moyenne des ordonnées des extrémités d’après la formule. C’est-à-dire 𝑦 un plus 𝑦 deux sur deux. En substituant 𝑦 un égale moins trois et 𝑦 deux égale 11, on obtient moins trois plus 11 sur deux.

Et on peut à présent simplifier. Tout d’abord, la valeur de 𝑎 est zéro. On substitue donc 𝑎 égale zéro dans cette équation. Et comme deux fois zéro égale zéro, le membre gauche se simplifie par 𝑏. On peut alors déterminer la valeur du membre droit de cette équation. Au numérateur, on a moins trois plus 11, ce qui fait huit, ce qui nous donne ensuite 𝑏 égale huit sur deux, soit quatre. Par conséquent, nous avons montré si le point moins deux 𝑎, deux 𝑎 plus 𝑏 est le milieu du segment entre moins deux, moins trois, et deux, 11, alors 𝑎 doit être égal à zéro et 𝑏 doit être égal à quatre.

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