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Vidéo de question : Déterminer les racines carrées des nombres complexes sous forme algébrique Mathématiques

On pose 𝑧 = −8𝑖, déterminez les racines carrées de 𝑧 sans utiliser la forme trigonométrique.

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Transcription de vidéo

On pose 𝑧 est moins huit 𝑖, déterminez les racines carrées de 𝑧 sans utiliser forme trigonométrique.

Puisque nous voulons trouver la racine carrée du nombre complexe 𝑧 égal moins huit 𝑖, donnons une forme à notre racine carrée et appelons-la 𝑤 égale à 𝑥 plus 𝑖𝑦 de sorte que 𝑥 est la partie réelle et 𝑦 est le coefficient de la partie complexe de notre racine carrée. Ainsi, si 𝑤 est la racine carrée de 𝑧, alors 𝑤 au carré est 𝑧, ce qui donne moins huit 𝑖. Puisque 𝑤 est 𝑥 plus 𝑖𝑦, alors 𝑥 plus 𝑖𝑦 au carré doit être moins huit 𝑖. Si nous développons notre côté gauche, nous avons 𝑥 au carré plus deux 𝑖𝑥𝑦 moins 𝑦 au carré est égal à moins huit 𝑖. En comparant les parties réelles et imaginaires du côté gauche, nous avons 𝑥 au carré moins 𝑦 au carré est égal à zéro et deux 𝑥𝑦 est égal à moins huit.

Notre deuxième équation implique que 𝑥𝑦 est égal à moins huit sur deux ; soit moins quatre. Cela nous dit, d’une part, que les signes de 𝑥 et 𝑦 ne sont pas les mêmes. Ainsi, si 𝑥 est positif, 𝑦 doit être négatif et vice versa. Maintenant, rappelons que pour un nombre complexe 𝑧, qui est 𝑎 plus 𝑖𝑏, le module de 𝑧 est la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Cela signifie alors que le module de 𝑧 au carré est 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. En appliquant cela à notre racine carrée 𝑤, avec 𝑤 qui est 𝑥 plus 𝑖𝑦, nous avons le module de 𝑤 au carré qui est 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré. Cela doit être égal au module de notre nombre complexe initial 𝑧 qui est moins huit 𝑖. Cela donne la racine carrée de zéro au carré plus moins huit au carré, soit huit, c’est-à-dire que 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré est égal à huit.

Nous avons maintenant un ensemble de deux équations que nous pouvons résoudre pour 𝑥 et 𝑦. Nous avons 𝑥 carré moins 𝑦 carré égale zéro et 𝑥 carré plus 𝑦 carré égal huit. Maintenant, pour simplifier et faire de la place, appelons notre première équation l’équation un, soit 𝑥 au carré moins 𝑦 au carré égal zéro. L’équation deux est 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré égale huit. Ajouter les équations un et deux nous donne deux 𝑥 au carré égale huit. Autrement dit, 𝑥 au carré est égal à quatre de sorte que 𝑥 est égal à plus ou à moins deux.

Notre équation un nous dit que 𝑥 au carré est égal à 𝑦 au carré de sorte que si 𝑥 est plus ou moins deux, alors les valeurs 𝑦 correspondantes sont moins ou plus deux. Rappelons que nos racines carrées étaient 𝑤, qui est égal à 𝑥 plus 𝑖𝑦, et en utilisant les valeurs de 𝑥 et 𝑦 que nous venons de trouver, alors les racines carrées de 𝑧 égale moins huit 𝑖 sont deux moins deux 𝑖 et moins deux plus deux 𝑖.

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