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Vidéo de question : Déterminer la limite d’une fonction rationnelle Mathématiques

Déterminez lim_(𝑥 → 3) (𝑥⁴−81)/(𝑥³−27).

07:42

Transcription de vidéo

Déterminez la limite quand 𝑥 tend vers trois de 𝑥 puissance quatre moins 81, le tout divisé par 𝑥 au cube moins 27.

Nous pouvons voir qu’on nous demande de calculer la limite quand 𝑥 tend vers trois d’un quotient de polynômes. Nous appelons les fonctions de ce type des fonctions rationnelles. Nous savons que nous pouvons essayer de déterminer les limites de fonctions rationnelles par substitution directe. Remplacer 𝑥 par trois dans notre fonction nous donne trois puissance quatre moins 81, le tout divisé par trois au cube moins 27. En faisant les calculs au numérateur et au dénominateur, nous obtenons zéro divisé par zéro. Il s’agit d’une forme indéterminée. Nous en déduisons que nous ne pouvons pas directement déterminer cette limite par substitution directe. Nous allons devoir utiliser une autre méthode.

Nous pouvons nous y prendre de différentes façons. L’approche la plus simple consiste à remarquer que notre fonction rationnelle est équivalente à 𝑥 puissance quatre moins trois puissance quatre, le tout divisé par 𝑥 au cube moins trois au cube. Il existe une formule pour déterminer les limites de cette forme. La limite quand 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑥 puissance 𝑛 moins 𝑎 puissance 𝑛, le tout divisé par 𝑥 puissance 𝑚 moins 𝑎 puissance 𝑚 est égale à 𝑛 sur 𝑚 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑚. Nous pouvons voir que nous avons réécrit notre fonction rationnelle sous cette forme, où 𝑛 est égal à quatre, 𝑚 est égal à trois et 𝑎 est égal à trois.

Ainsi, nous appliquons cette formule en utilisant ces valeurs de 𝑎, 𝑛 et 𝑚 et nous obtenons que notre limite est égale à quatre tiers fois trois puissance quatre moins trois. Nous pouvons ensuite simplifier cette expression. Trois puissance quatre moins trois est égal à trois puissance un, ce qui fait simplement trois. Quatre tiers fois trois est égal à quatre. Nous venons de voir la méthode la plus simple pour montrer que la limite qui nous est donnée dans l’énoncé est égale à quatre.

Une autre approche serait d’utiliser le théorème de factorisation des polynômes. Quand nous avons commencé par essayer de déterminer notre limite par substitution directe, nous avons pu voir que remplacer 𝑥 par trois dans les polynômes de notre numérateur et de notre dénominateur nous donnait un résultat de zéro dans les deux cas. Or, d’après le théorème de factorisation des polynômes, si remplacer 𝑥 par trois dans un polynôme nous donne zéro, alors 𝑥 moins trois est facteur de ce polynôme.

Ainsi, nous allons essayer de déterminer notre limite en réécrivant nos polynômes sous forme factorisée. Nous voulons factoriser le polynôme de notre numérateur et le polynôme de notre dénominateur par 𝑥 moins trois. Il existe plusieurs façons d’y parvenir. Nous pouvons par exemple utiliser la division euclidienne des polynômes. Cependant, pour notre numérateur, il existe une méthode plus simple.

Il faut d’abord remarquer que notre numérateur est une différence de deux carrés. En effet, 𝑥 puissance quatre est égal à 𝑥 au carré puissance deux et 81 est égal à neuf au carré. Par conséquent, nous pouvons appliquer l’identité remarquable de la différence des carrés, 𝑏 au carré moins 𝑐 au carré égale 𝑏 moins 𝑐 multiplié par 𝑏 plus 𝑐. Ainsi, nous pouvons factoriser notre numérateur en 𝑥 au carré moins neuf multiplié par 𝑥 au carré plus neuf. Nous remarquons alors que 𝑥 au carré moins neuf est aussi une différence de deux carrés, car neuf est égal à trois au carré. Ainsi, nous pouvons factoriser 𝑥 au carré moins neuf en utilisant à nouveau l’identité remarquable de la différence des carrés. Cela nous donne que 𝑥 au carré moins neuf est égal à 𝑥 moins trois multiplié par 𝑥 plus trois.

Nous avons montré que nous pouvons factoriser notre numérateur 𝑥 puissance quatre moins 81 en 𝑥 moins trois multiplié par 𝑥 plus trois multiplié par 𝑥 au carré plus neuf. Nous devons maintenant factoriser notre dénominateur par 𝑥 moins trois également. Il y a plusieurs façons d’y parvenir. Nous remarquons que pour obtenir notre polynôme de degré trois à partir de notre facteur de degré un, il faut multiplier ce facteur de degré un par un polynôme de degré deux. Cependant, les valeurs des coefficients de ce polynôme de degré deux nous sont inconnues. Nous pouvons les noter 𝑎, 𝑏 et 𝑐.

Pour déterminer 𝑎, 𝑏 et 𝑐, nous allons multiplier notre facteur de degré un par notre polynôme de degré deux et comparer les coefficients ainsi obtenus à ceux de notre polynôme de degré trois. Commençons par déterminer la constante. Dans notre polynôme du troisième degré, la constante est égale à moins 27. Si nous multiplions notre facteur de degré un par notre polynôme de degré deux, nous obtenons une constante égale à moins trois fois 𝑐. Ces deux constantes doivent être égales. Ainsi, nous écrivons que moins 27 est égal à moins trois 𝑐. Nous divisons par moins trois et nous obtenons que 𝑐 est égal à neuf.

Nous pouvons procéder de la même façon avec les coefficients de 𝑥 au cube. Dans notre polynôme du troisième degré, le coefficient de 𝑥 au cube est égal à un. Si nous multiplions notre facteur de degré un par notre polynôme de degré deux, nous obtenons un coefficient de 𝑥 au cube égal à 𝑎 fois un, ou plus simplement 𝑎. Comme précédemment, ces deux coefficients doivent être égaux, donc 𝑎 est égal à un.

Il ne reste plus qu’à déterminer la valeur de 𝑏. Cependant, puisque nous n’avons plus aucun coefficient à comparer dans notre polynôme de degré trois, nous pouvons nous demander comment s’y prendre. Il suffit en fait simplement d’ajouter le terme zéro 𝑥 au carré. Cela ne change en rien la valeur de notre polynôme.

Nous pouvons maintenant comparer les coefficients de 𝑥 au carré. Dans notre polynôme du troisième degré, le coefficient de 𝑥 au carré est zéro. Il faut faire attention ici. Multiplier notre facteur de degré un par notre polynôme de degré deux, nous donne deux termes en 𝑥 au carré. On obtient les termes 𝑏 𝑥 au carré et moins trois 𝑥 au carré. Par conséquent, le coefficient de 𝑥 au carré est égal à 𝑏 moins trois.

Comme précédemment, ces coefficients de 𝑥 au carré doivent être égaux. Ainsi, nous écrivons que zéro est égal à 𝑏 moins trois. Il suffit ensuite de réarranger cette équation pour trouver que 𝑏 est égal à trois. Nous avons maintenant factorisé notre dénominateur. Nous avons déterminé que 𝑥 au cube moins 27 est égal à 𝑥 moins trois multiplié par 𝑥 au carré plus trois 𝑥 plus neuf.

Pour déterminer notre limite, nous allons annuler le facteur commun 𝑥 moins trois au numérateur et au dénominateur. Nous pouvons éliminer ce facteur commun car cela n’affecte pas la limite quand 𝑥 tend vers trois de cette fonction. Nous cherchons maintenant à déterminer la limite quand 𝑥 tend vers trois de 𝑥 plus trois multiplié par 𝑥 au carré plus neuf, le tout divisé par 𝑥 au carré plus trois 𝑥 plus neuf.

Il s’agit donc d’une fonction rationnelle. Nous savons que nous pouvons essayer de déterminer les limites de fonctions rationnelles par substitution directe. Remplacer 𝑥 par trois nous donne trois plus trois multiplié par trois au carré plus neuf, le tout divisé par trois au carré plus trois fois trois plus neuf. En faisant les calculs au numérateur et au dénominateur, nous obtenons quatre.

Ainsi, nous avons montré de deux façons différentes que la limite quand 𝑥 tend vers trois de 𝑥 puissance quatre moins 81, le tout divisé par 𝑥 au cube moins 27, est égale à quatre.

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