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Vidéo de question : Déterminer le terme général d’une suite donnée Mathématiques

Déterminez, en fonction de 𝑛, le terme général de la suite (1, 2, 4, 8, ...) où 𝑛 ≥ 1.

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Transcription de vidéo

Déterminez en fonction de 𝑛 le terme général de la suite un, deux, quatre, huit et ainsi de suite où 𝑛 est supérieur ou égal à un.

Dans cette question, on nous demande de trouver l’expression du terme général ou 𝑛 ième terme de la suite. Commençons donc par établir la nature de la suite que nous avons.

S’il existe une différence constante c’est-à-dire qu’une même valeur est ajoutée ou soustraite entre deux termes consécutifs, alors nous aurons une suite arithmétique. Voyons donc si nous pouvons calculer la différence entre le premier et le deuxième terme. Eh bien, nous pouvons arriver au deuxième terme à partir du premier terme en ajoutant un. Cependant, pour passer du deuxième au troisième terme, il faut ajouter deux. Et du troisième au quatrième terme, nous devons ajouter quatre. Par conséquent, ceci n’est pas une suite arithmétique.

La prochaine chose que nous pourrions faire est d’établir si nous avons ou non une suite géométrique. Dans une suite géométrique, il existe un rapport constant entre des termes successifs. Calculons le rapport entre le premier et le deuxième terme. Et nous pouvons facilement voir que si nous multiplions le premier terme, un, par deux, nous obtiendrons le deuxième terme qui est deux. Nous pourrions également passer du deuxième au troisième terme en multipliant par deux. Et enfin, nous pouvons voir que le rapport entre le troisième terme et le quatrième terme est également de deux, ce qui signifie que nous avons bien une suite géométrique.

Nous pouvons nous rappeler que le 𝑛-ième terme 𝑎 indice 𝑛 d’une suite géométrique est donné par 𝑎 fois 𝑟 à la puissance 𝑛 moins un, où 𝑎 ou 𝑎 indice un est le premier terme et 𝑟 est le rapport constant entre les termes, également nommé la raison. Pour cette suite, nous avons établi que le rapport entre les termes est de deux. Cela signifie donc que 𝑟 est égal à deux. La valeur de 𝑎 est simplement celle du premier terme de la suite soit un. Lorsque nous remplaçons par ces valeurs dans la formule du 𝑛-ième terme, nous obtenons que 𝑎 indice 𝑛 est égal à un fois deux à la puissance 𝑛 moins un. Nous pouvons alors simplifier ce résultat pour nous donner que le terme général de la suite un, deux, quatre, huit, et ainsi de suite est égal à deux à la puissance 𝑛 moins un.

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