Vidéo question :: Déterminer le signe des fonctions du second degré Mathématiques

Transcription de la vidéo

Déterminez l’ensemble sur lequel la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins 400 est strictement positive.

Ainsi, si nous voulons déterminer où la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré moins 400 est positive, alors nous voulons faire créer une inégalité. Cette inégalité est 𝑥 au carré moins 400 est supérieur à zéro. Bien, si nous voulons résoudre une inéquation comme celle-ci, alors la première chose que nous voulons faire est de la rendre égal à zéro. Nous voulons faire ceci parce que nous essayons de trouver les valeurs critiques. Nous utilisons ce terme car nous avons une inégalité du second degré.

Si nous avons 𝑥 au carré moins 400 est égal à zéro, il y a plusieurs façons de trouver les valeurs critiques. Tout d’abord, nous pouvons trouver les solutions en factorisant. Ainsi, si nous factorisons, nous avons la différence de deux carrés. Ainsi, comme nous pouvons le voir, 400 donne 20 au carré, alors nous allons avoir 𝑥 plus 20 multiplié par 𝑥 moins 20. A partir de là, si nous voulons déterminer quelles sont les valeurs 𝑥, nous rendons chacune de nos parenthèses égale à zéro. Nous faisons ceci parce que si l’une d’entre elles est égale à zéro, nous connaissons le résultat quand nous la multiplions par les autres parenthèses. Ceci, peu importe les valeurs. Le calcul nous donnera la réponse zéro.

Ainsi, si nous avons 𝑥 plus 20 est égal à zéro, cela signifie que nous savons que 𝑥 est égal à moins 20. Si nous avons 𝑥 moins 20 est égal à zéro, alors nous savons que 𝑥 va être égal à 20. Nous aurions aussi pu ajouter 400 de chaque côté de l’équation. De cette façon, nous aurions pu étudier 𝑥 au carré égale 400, pour prendre la racine carrée de chaque côté de l’équation. Cela nous aurait donné la même réponse parce que nous avons déjà 𝑥 est égal à plus ou moins 20.

Maintenant que nous avons nos valeurs critiques, que faisons-nous ? Comment pouvons-nous déterminer où la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins 400 est positive ? Bien, pour nous aider, nous pouvons faire un dessin. J’ai fait un dessin ici. J’ai donc montré que notre fonction ressemble à une parabole en forme de U. Ceci parce que nous avons utilisé un terme 𝑥 au carré qui est positif. Par ailleurs, j’ai montré qu’elle coupe l’axe des 𝑥 en moins 20 et plus 20. Ceci parce que ce sont nos valeurs critiques. J’ai également montré là où elle croise l’axe des 𝑦. Cette démarche n’est pas nécessaire en général. Cependant, je viens de le faire juste pour vous montrer comment faire. Nous trouvons ceci en remplaçant par 𝑥 égal à zéro. Si nous faisions cela dans notre fonction, nous obtenons que zéro moins 400 est égal à 𝑓 de 𝑥. Ainsi, 𝑓 de 𝑥 est égal à moins 400.

Maintenant, nous pouvons utiliser cela pour nous aider à résoudre notre inéquation parce que nous recherchons la région où notre fonction 𝑥 au carré moins 400 est supérieure à zéro. Nous voulons donc tout ce qui est au-dessus de l’axe des 𝑥. Si nous voulons réécrire cela en utilisant la notation de l’inéquation, nous pouvons dire que 𝑥 est inférieur à moins 20 ou 𝑥 est supérieur à 20. Cependant, si nous montrons cela en utilisant la notation des ensembles, nous pouvons dire que nous avons déterminé là où la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins 400 est positive. Elle est positive pour tous les nombres réels à l’exception d’un intervalle. Nous avons écrit cela avec un ℝ puis un moins. Puis, nous avons l’intervalle entre moins 20 et 20. Nous utilisons des crochets pour montrer que cela inclut moins 20 et 20. Ceci parce que, comme nous l’avons montré dans notre inéquation, ce ne sont pas des valeurs valides.

Nous avons donc maintenant résolu le problème, résolu notre inéquation et donné la réponse sous deux formes.