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Vidéo de question : Déterminer la vitesse d’un objet se déplaçant sur un plan lisse relié par une poulie à un objet suspendu verticalement Mathématiques

Un objet A de masse 180 g est au repos sur une table lisse horizontale. Il est relié par une corde légère inélastique qui passe sur une poulie lisse fixée au bord de la table, à un autre objet B de masse 120 g qui pend librement verticalement sous la poulie. Lorsque l’objet A est à 90 cm de la poulie, le système est relâché du repos. Déterminez la vitesse avec laquelle l’objet A entre en collision avec la poulie. Prenez 𝑔 = 9,8 m/s².

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Transcription de vidéo

Un objet A de masse 180 grammes est au repos sur une table horizontale lisse. Il est relié par une corde légère inélastique qui passe sur une poulie lisse fixée au bord de la table, à un autre objet B de masse 120 grammes qi pend librement verticalement sous la poulie. Lorsque l‘objet A est à 90 centimètres de la poulie, le système est relâché du repos. Déterminez la vitesse avec laquelle l’objet A entre en collision avec la poulie. Prenez 𝑔 égal à 9,8 mètres par seconde carrée.

Lorsque l’on traite ce genre de problème, il peut être très utile de dessiner un schéma. Ici, nous avons un petit croquis de notre système de poulie. L’objet A repose sur la table. Et l’objet B est suspendu librement à la corde verticalement sous la poulie. On nous dit que l’objet A a une masse de 180 grammes. Alors, d’habitude, nous cherchons à travailler en kilogrammes, mais dans cette question nous allons continuer à travailler en grammes. Cela signifie que nous devons convertir toutes les unités d’accélération en centimètres par seconde carrée. Et puis, nos unités de force vont être dynes.

L’objet A entraîne une force verticale vers le bas sur la table. Cette force est la masse multipliée par l’accélération due à la pesanteur. Donc, c’est 180𝑔. Et bien sûr, nous avons dit que nous allons travailler en centimètres par seconde carrée pour faire correspondre la masse en grammes. Donc, nous allons faire 𝑔 égal à 9,8 fois 100. Cela fait 980 centimètres par seconde carrée. L’objet B a une masse de 120 grammes, de sorte que la force descendante vers le bas due à la pesanteur est de 120 fois 𝑔.

Il y a un certain nombre d’autres forces agissant sur les objets. Il y a une tension dans la corde, qui reste constante tout au long de ce morceau de corde. Il y a la force de réaction de la table sur l’objet. Et c’est tout. On nous dit que la table est lisse, donc il n’y a pas de force de frottement. Et comme la corde est légère, nous n’avons pas besoin de prendre en compte sa masse.

Nous cherchons à déterminer la vitesse à laquelle l’objet A entre en collision avec la poulie. Maintenant, on nous dit que l’objet est à 90 centimètres de la poulie. Donc, nous allons calculer la vitesse après qu’il ait bougé de 90 centimètres. Et comme il part du repos, nous savons que sa vitesse initiale est égale à zéro. Donc, pour résoudre ce problème, nous devons utiliser les équations d’accélération constante, parfois appelées équations de SUVAT.

Nous le savons déjà, que 𝑢 est égal à zéro et 𝑠 est égal à 90. Nous cherchons à calculer la vitesse au point où elle atteint 90 centimètres. Et par conséquent, il est utile de connaître l’accélération de la particule partant du repos. Une fois que nous avons une accélération, nous pouvons utiliser la formule 𝑣 au carré égale 𝑢 au carré plus deux 𝑎𝑠.

Mais comment trouver l’accélération de la particule ? Eh bien, nous allons regarder les forces dans notre schéma. Rappelez-vous, 𝐹 est égal à 𝑚𝑎 ; la force résultante est égale à la masse multipliée par l’accélération. Nous faisons une hypothèse sur la direction dans laquelle les particules vont se déplacer. Et puis, nous construisons des équations pour la force totale, ou la force résultante, sur chaque particule. Pour l’objet A, la seule force qui agit horizontalement est la tension. Donc, nous pouvons dire que 𝐹 est égale à 𝑇, et la masse fois l’accélération est de 180𝑎.

Avec la particule B il y a quelques nouveautés. Nous avons la force vers le bas due à la pesanteur. C’est 120𝑔. Et puis, nous avons la tension qui agit dans la direction opposée. Puisque la particule se déplace vers le bas, nous savons que la force résultante est 120𝑔 moins 𝑇. Et cela équivaut à la masse multipliée par l’accélération. Nous allons remplacer 𝑇 par 180𝑎. Et ce faisant, nous obtenons une équation en termes de 𝑎 seulement. Ainsi, 120𝑔 moins 180𝑎 est égal à 120𝑎. Et nous allons maintenant ajouter 180𝑎 aux deux membres. Cela nous donne 120𝑔 est égal à 300𝑎.

Mais bien sûr nous savons que 𝑔 est de 980 centimètres par seconde carrée. Et donc, nous remplaçons 𝑔 par 980 dans notre équation. Et nous obtenons 120 fois 980 qui équivaut à 117600. Puis nous divisons par 300. Et nous trouvons que 𝑎 est égal à 392, ou 392 centimètres par seconde carrée. Bien sûr, nous pouvons revenir en arrière et utiliser ceci pour trouver la tension dans la corde en dynes, mais nous n’en avons vraiment pas besoin. Nous allons maintenant utiliser l’équation 𝑣 au carré égale 𝑢 au carré plus deux 𝑎𝑠. Nous remplaçons tout dans cette équation. Nous obtenons 𝑣 au carré est égal à zéro au carré plus deux fois 392 fois 90, ce qui simplifie à 70560.

Notre dernière étape consiste à prendre la racine carrée des deux membres de cette équation. Et quand nous le faisons, nous obtenons que 𝑣 est égal à 84 fois racine de 10. Nous avons travaillé en centimètres, centimètres par seconde au carré, tout au long de l’exercice. Donc, la vitesse ici doit être en centimètres par seconde. Rappelons-nous que la vitesse est la norme de vecteur vitesse. Donc, ici, c’est 84 fois racine de 10 centimètres par seconde.

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